【步步高】2021届高考数学总温习 第四章 4.4三角函数的图像和性质强化训练 理 北师大版(1)

§4.4 三角函数的图像和性质
1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，－1)，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π
2，0)，(2π，1)．
2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图像
定义域 R R
{x |x ∈R 且x ≠π
2
＋
k π，k ∈Z }
值域
[－1,1] [－1,1]
R
单调性
[－
π2
＋2k π，
π2＋
2k π](k ∈Z )上递增； [π2
＋2k π，
3π2＋
2k π](k ∈Z )上递减
[－π＋2k π，
2k π](k ∈Z )上递增； [2k π
，
π
＋
2k π](k ∈Z )上递减
(－π2＋k π，π
2＋
k π)(k ∈Z )上递增
最值
x ＝
π2
＋2k π(k ∈Z )
时，y max ＝1；
x ＝－π
2＋2k π(k ∈Z )
时，y min ＝－1
x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；
x ＝π＋2k π(k ∈Z )
时，y min ＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数
1． (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π
2]上是增函数．
( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．
( × )
(4)y ＝tan x 在整个概念域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，那么y max ＝k ＋1. ( × ) (6)假设sin x >
2
2，那么x >π
4.
( × )
2． (2021·福建)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π4的图像的一条对称轴是
( )
A ．x ＝π
4
B ．x ＝π
2
C ．x ＝－π
4
D ．x ＝－π
2
答案 C
解析 方式一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π
4，k ∈Z .
取k ＝－1，那么x ＝－π
4.
方式二 用验证法．
x ＝π
4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ；
x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；
x ＝－π
4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；
x ＝－π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2－π4＝－2
2，不合题意，故D 项也不正确．
3． 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，假设f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2<f (π)，那么以下结
论正确的选项是
( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1112π＝－1
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π5
C ．f (x )是奇函数
D ．f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )
答案 D
解析 ∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，
∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π
6
，k ∈Z .
∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2<f (π)，sin(π＋φ)＝－sin φ<sin(2π＋φ)＝sin φ，sin φ>0.∴φ＝2k π＋π
6，k ∈Z .
不妨取φ＝π6，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
11π12＝sin 2π＝0，∴A 错； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30<0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π5＋π6＝sin 17π30>0，∴B 错； ∵f (－x )≠－f (x )，∴C 错；
∵2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z ，∴D 对．应选D.
4． (2021·湖北)将函数y ＝
3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所取得的图像关于
y 轴对称，那么m 的最小值是
( )
A.π
12 B.π6
C.π3
D.5π6
答案 B 解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后取得y ＝2sin(x ＋π
3
＋m )，它关于y 轴对
称可得
sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6
.
5． 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________.
答案
255
解析 由f (x )＝sin x ＋2cos x 可得f (x )＝
5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，当x ＋φ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )时函数
f (x )取得最大值，因此cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－φ＋2k π＝sin φ＝25
5.
题型一 求三角函数的概念域和最值
例1 (1)(2021·山东)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为
( )
A ．2－
3
B ．0
C ．－1
D ．－1－
3
(2)函数y ＝1tan x －1
的概念域为______________________．
思维启发 求函数的概念域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．
答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z }
解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6
，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－32，1.
∴y ∈[
]
－
3，2，∴y max ＋y min ＝2－
3.
(2)要使函数成心义，必需有⎩⎪⎨⎪
⎧
tan x －1≠0
x ≠π
2
＋k π，k ∈Z ，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≠π
4
＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .
故函数的概念域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π
2
＋k π，k ∈Z }．
思维升华 (1)求三角函数的概念域事实上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
(1)函数y ＝lg(sin x )＋
cos x －1
2的概念域为________．
(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为
( )
A ．[－1,1]
B ．[－5
4，－1]
C ．[－5
4
，1]
D ．[－1，5
4
]
答案 (1){x |2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z } (2)C
解析
(1)要使函数成心义必需有⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x >0，cos x －1
2≥0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x >0，
cos x ≥1
2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
2k π<x <π＋2k π，
－π3
＋2k π≤x ≤π
3＋2k π(k ∈Z )，
∴2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z ，
∴函数的概念域为{x |2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z }．
(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，那么有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]， 画出函数图像如下图，从图像能够看出，
当t ＝－1
2及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，
可得y ∈[－5
4
，1]．
题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出以下函数的单调区间及周期：
(1)y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.
思维启发 (1)化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求
单调性及周期．
解 (1)y ＝－sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3的减区间，
它的减区间是y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3的增区间．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π
12≤x ≤k π＋5π
12，k ∈Z .
由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12
，k ∈Z .
故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；
增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k π＋5π12，k π＋
11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)观看图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦
⎥⎤k π－π
2，k π，k ∈Z .
最小正周期T ＝π.
思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果是ω<0，那么必然先借助诱导公式将ω化为正数，避免把单调性弄错．
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原那么，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”． (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．
求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．
解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π
2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x
＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋4x .
∴y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π
2.
当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π
2
＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，
∴函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．
当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π
2
＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．
当x ＝π24＋k π
2 (k ∈Z )时，y max ＝2；
当x ＝－5π24＋k π
2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝
⎛⎭⎪⎫
|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对称，那么φ的
值为________．
(2)若是函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.π
6
B.π4
C.π3
D.π2
答案 (1)π
6
(2)A
解析 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3，
y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．
∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π
6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6
.
(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3＋φ＋2π
＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π
6
.
思维升华 假设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，那么当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，那么当x ＝0时，f (x )＝0. 若是求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π
2＋k π (k ∈Z )，求x .
若是求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．
(1)假设函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，那么它的图像的一个对称中心为
( )
A ．(－π
8，0)
B ．(0,0)
C ．(－1
8
，0)
D ．(1
8
，0)
(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π
12
对称，那么在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π
3，0)对称；③在[0，
π6]上是增函数；④在[－π
6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)由条件得f (x )＝
2sin(ax ＋π
4
)，
又函数的最小正周期为1，故2π
a
＝1，∴a ＝2π，
故f (x )＝
2sin(2πx ＋π
4
)．
将x ＝－1
8
代入得函数值为0.
(2)∵T ＝π，∴ω＝2.
又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π
3(k ∈Z )．
∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，
由图像及性质可知②④正确． 三角函数的单调性、对称性
典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2
，π)上单调递减，那么ω的取值范围是( )
A ．[12，5
4]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2
]
D ．(0,2]
(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π
8)＝1，那么实数b 的值为
( )
A ．－1
B ．3
C ．－1或3
D ．－3
(3)(2021·课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对
称轴，那么φ等于
( )
A.π
4
B.π3
C.π2
D.3π4
(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π
3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数
图像与y 轴交点的纵坐标为
( )
A.1
2
B.22
C.32
D.
6＋24
思维启发 (1)(π
2
，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；
(2)由f (x ＋π
4
)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；
(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是T
2
；(4)可结合图像分析函数的单调性，周期性确信ω，
φ.
解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π
4，
由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π
2
]，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
π
2ω＋π4≥π
2
，πω＋π4≤3π2
，∴12≤ω≤5
4
，应选A.
(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π
8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最
值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期．
由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π4－π4＝2π，
∴2π＝2π
ω
，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，
∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π
4
.
(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，
由该函数在区间[π6，2π
3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，
可知2π3－π6＝π2为半周期，那么周期为π，ω＝2πT ＝2π
π
＝2，
现在原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，
又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像过点(π
6，1)，
代入可得φ＝π
6
，
因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝1
2.
答案 (1)A (2)C (3)A (4)A
温馨提示 (1)关于已知函数的单调区间的某一部份确信参数ω的范围的问题，第一，明确已知的单调区间应为
函数的单调区间的子集；第二，要确信已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点. 方式与技术
1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．
2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π
|ω|.
3． 关于函数的性质(概念域、值域、单调性、对称性、最值等)能够通过换元的方式令t ＝ωx ＋φ，将其转化为
研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范
1． 闭区间上最值或值域问题，第一要在概念域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的阻
碍．
2． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽可能化成ω>0时情形．
A 组 专项基础训练 (时刻：40分钟) 一、选择题
1． 以下函数中，周期为π且在[0，π
2
]上是减函数的是
( )
A ．y ＝sin(x ＋π
4)
B ．y ＝cos(x ＋π
4
)
C ．y ＝sin 2x
D ．y ＝cos 2x
答案 D
解析 关于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，
当x ∈[0，π
2
]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．
2． (2021·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6的值域为
( )
A ．[－2,2]
B ．[－
3，
3]
C ．[－1,1]
D.⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－32，
32 答案 B
解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．
∵f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π6
＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π
6
＝sin x －32cos x ＋1
2
sin x ＝
3⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫32sin x －12cos x
＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π6(x ∈R )，
∴f (x )的值域为[－
3，
3]．
3． (2021·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π
2
”的
( )
A ．充分没必要要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也没必要要条件
答案 B
解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π
2”的必要条件．
又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π
2.
∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π
2
”的充分条件．
4． 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是
( )
A ．[0,1]
B ．[1
2
，1]
C ．[－1,2]
D ．[0,2]
答案 A 解析
y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋
1－cos 2x 2＝1＋cos 2x
2
. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．
5． (2021·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π
4个单位长度，所得图像通过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，0，那么
ω的最小值是
( )
A.1
3
B ．1
C.53
D ．2
答案 D
解析 依照题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π4，
将⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ
2＝0，那么ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题
6． 函数y ＝cos(π
4
－2x )的单调减区间为________．
答案 [k π＋π8，k π＋5π
8](k ∈Z )
解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π
4)得
2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z )，
故k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z )．
因此函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π
8
](k ∈Z )．
7． 函数y ＝sin x 的概念域为[a ，b ]，值域为[－1，1
2
]，那么b －a 的最大值为________．
答案 43
π
解析 由正弦函数的图像知(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π
3
.
8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)，y ＝f (x )的部份图像如图，
则f (π
24)＝________.
答案
3
解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π
2，
因此ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π
8，0)，
因此0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π
4＋φ＝k π(k ∈Z )，
因此φ＝k π－3π
4(k ∈Z )，
又|φ|<π2，因此φ＝π
4
.
又图像过定点(0,1)，因此A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π
4)，
故有f (π
24)＝tan(2×π
24＋π4)＝tan π
3＝
3.
三、解答题
9． 设函数f (x )＝sin ()
2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π
8
.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π
4，k ∈Z ，
又－π<φ<0，那么φ＝－3π
4
.
(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －3π4，
令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
可解得π8＋k π≤x ≤5π
8
＋k π，k ∈Z ，
因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8＋k π，5π
8＋k π，k ∈Z .
10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8
＋1.
(1)求f (x )的最小正周期．
(2)假设函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，4
3]时，y ＝g (x )的最大值．
解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx
4
＝32sin πx 4－32cos πx
4
＝
3sin(πx 4－π3
)，
故f (x )的最小正周期为T ＝2π
π
4
＝8.
(2)方式一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．
由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上， 从而g (x )＝f (2－x )＝
3sin[π4(2－x )－π3
]
＝
3sin[π2－πx 4－π3]
＝
3cos(πx 4＋π3
)．
当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π
3，
因此y ＝g (x )在区间[0，4
3
]上的最大值为
g (x )max ＝
3cos π3＝32
.
方式二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[2
3，2]，
且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，4
3]上的最大值为
y ＝f (x )在[2
3，2]上的最大值．
由(1)知f (x )＝
3sin(πx 4－π3
)，
当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，4
3
]上的最大值为
g (x )max ＝
3sin π6＝32
.
B 组 专项能力提升 (时刻：30分钟) 1． 函数y ＝
|sin x ＋cos x |－1的概念域是
( )
A ．[k π，k π＋π
2](k ∈Z )
B ．[2k π，2k π＋π
2
](k ∈Z )
C ．[－π
2＋k π，k π](k ∈Z )
D ．[－π
2＋2k π，2k π](k ∈Z )
答案 A
解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ， 故原函数的概念域是[k π，k π＋π
2
](k ∈Z )．
2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π
4
)，假设存在如此的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，那么
|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2
解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2
π
＝4，
f (x 1)，f (x 2)应别离为函数f (x )的最小值和最大值，
故|x 1－x 2|的最小值为T
2
＝2.
3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出以下四个命题：
①假设f (x 1)＝－f (x 2)，那么x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π
4]上是增函数；
④f (x )的图像关于直线x ＝3π
4对称．
其中真命题是________． 答案 ③④
解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π
2
时，
f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；
当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π
2]，故③是真命题；
因为f (3π4)＝12sin 32π＝－1
2
，
故f (x )的图像关于直线x ＝3
4π对称，故④是真命题．
4． 已知函数f (x )＝sin 2x －
3cos 2x ＋1.
(1)当x ∈[π4，π
2]时，求f (x )的最大值和最小值；
(2)求f (x )的单调区间． 解 (1)f (x )＝sin 2x －
3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π
3
)＋1.
∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π
3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π
3)＋1≤3，
∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z
得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π
6，k ∈Z ，
∴k π－π
12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z ，
即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π
12]，k ∈Z ，
同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2
，k ∈Z
得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π
12
]，k ∈Z .
5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.
(1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．
解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，7π6.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
2，1，
∴－2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6∈[－2a ，a ]．
∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，
∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.
(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6－1，
g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋7π6－1
＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6－1，
又由lg g (x )>0，得g (x )>1，
∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6－1>1，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>1
2，
∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z ，
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π
2
，k ∈Z 时，
g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴g (x )的单调增区间为⎝
⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6
，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3
，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。