山东省济宁市鱼台一中2012-2013学年高一数学上学期期末模拟试题(含解析)新人教A版

2012-2013学年某某省某某市鱼台一中高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2012•某某）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）
A．3B．6C．8D．10
考
点：
元素与集合关系的判断．
专
题：
计算题．
分析：由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B 中所含有的元素个数，得出正确选项
解答：解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选D
点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数
2．（5分）判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）（1）f（x）=，g（t）=t﹣3（t≠﹣3）；
（2）f（x）=•，g（x）=；
（3）f（x）=x，g（x）=；
（4）f（x）=x，g（x）=．
A．（1），（4）B．（2），（3）C．（1）D．（3）
考
点：
判断两个函数是否为同一函数．
专
题：
计算题．
分析：当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素（定义域、值域、对应法则）都相同，分别判断四个答案中函数的定义域和解析式是否一致即可得到答案．
解
答：
解：（1）中，f（x）=，g（t ）=t﹣3（t≠﹣3）；
的定义域相同，解析式相同，故表示同一函数；
（2）中，f（x）=•的定义域是{x|x=1}，g（x）=的定义域是{x|﹣1＜x ＜1}，两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；
（3）中，f（x）=x，g（x ）=的定义域不同，故不表示同一函数；
（4）中，f（x）=x，g（x）=定义域，解析式均相同，故表示同一函数；
故选A．
点评：本题考查两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素（定义域、值域、对应法则）都相同．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题
3．（5分）（2004•某某）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）
A．B．C．D．
考组合几何体的面积、体积问题．
点：
专
题：
计算题；转化思想．
分析：剩下的几何体的体积，就是正方体的体积求得8个正三棱锥的体积，求出体积差即可．
解
答：
解：由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得8个正三棱锥的体积，
故选D；
点
评：
本题考查多面体的体积的求法，考查转化思想，计算能力，是基础题．4．（5分）函数的定义域是（）
A．B．[1，+∞）C．D ．（﹣∞，1] 考
点：
函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
专
题：
计算题．
分
析：
欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可．
解答：解：欲使函数的有意义，须，
∴
解之得：
故选C．
点评：对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写．
5．（5分）已知函数f （x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2D．9
考
点：
函数的值．
专
题：
计算题．
分
析：
先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．
解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．
点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．
6．（5分）（2013•东坡区一模）函数f（x）=log2|x|，g （x）=﹣x 2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）
A．B．C．D．
考
点：
函数的图象与图象变化．
专数形结合．
题：
分析：要判断f（x）•g（x），我们可先根据函数奇偶性的性质，结合f（x）与g（x）都是偶函数，则f（x）•g（x）也为偶函数，其函数图象关于Y轴对称，排除A，D；再由函数的值域排除B，即可得到答案．
解答：解：∵f（x）与g（x）都是偶函数，
∴f（x）•g（x）也是偶函数，由此可排除A、D．又由x→+∞时，f（x）•g（x）→﹣∞，可排除B．故选C
点评：要判断复合函数的图象，我们可以利用函数的性质，定义域、值域，及根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．
7．（5分）（2005•某某）已知实数a、b 满足等式，下列五个关系式：
①0＜b＜a；
②a＜b＜0；
③0＜a＜b；
④b＜a＜0；
⑤a=b，
其中不可能成立的关系式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考
点：
基本不等式．
分析：先画出函数y=与y=的图象，再讨论时a，b的情况即可．
解答：解：画出函数y=与y=的图象，
当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，
当x ＞0时，y=的图象在y=的图象上方， 当a ＜0，b ＜0时，则a ＜b ＜0，
当a=b=0时，成立，
当a ＞0，b ＞0时，
则a ＞b ＞0，
故①②⑤成立，③④不可能成立，故选B
点评： 本题主要考查了指数函数单调性，以及指数函数的图象，属于基础题．
8．（5分）已知
的解集为（ ）
A ． （﹣1，0）∪（0，e ）
B ． （﹣∞，﹣1）∪（e ，+∞）
C ． （﹣1，0）∪（e ，+∞）
D ． （﹣∞，1）∪（0，
e ）
考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．
专题： 综合题；转化思想；综合法．
分析： 本题函数是一个分段函数，解此类不等式应分段求解，然后再取它们的并集 解
解：由题意，当x ＞0时，有lnx ＞1=lne ，解得x ＞e 符合题意
答：当x＜0时，x+2＞1，得x＞﹣1，故有﹣1/，x＜0 综上知不等式的解集是（﹣1，0）∪（e，+∞）
故选C
点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，求解的关键是理解分段函数型不等式求解的原理，以及利用对数的单调性解不等式，本题属于基本性质运用题．
9．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
考
点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断．
解答：解：A不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；
B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n⊂α；
D正确，由m∥n，m⊥a得n⊥α，因n⊥β，得α∥β
故选D．
点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感．
10．（5分）如图在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）
A．B．C．D．
考
点：
棱锥的结构特征．
专
题：
证明题；探究型．
分
析：
总保持PE⊥AC，那么AC垂直PE所在的一个平面，AC⊥平面SBD，不难推出结果．
解答：解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB，
∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．
故选A．
点评：本题考查学生应用线面垂直的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
11．（5分）（2011•某某）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）
A．3B．2C．D．1
考
点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专
题：
计算题；压轴题．
分析：设球心为点O，作AB 中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．
解答：解：设球心为点O，作AB中点D ，连接OD ，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB 且
SD===
在等腰三角形CAB 中，CD⊥AB 且CD===
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD，
因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==
则：sin∠SDC==
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3 所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD==
故选C
点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．
12．（5分）（2012•某某）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）
A．335 B．338 C．1678 D．2012
考函数的周期性；函数的值．
点：
专
题：
计算题．
分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．
解答：解：∵f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，
又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；
当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，
∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，
f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）
=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）
=335×1+f（1）+f（2）
=338．
故选B．
点评：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．
考
点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专
题：
计算题；数形结合；数形结合法．
分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值
解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z
∴ω=n×，n∈z
又ω＞0，故其最小值是
故答案为
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，本题重点是判断出是周期的整数倍，则问题得解
14．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值X围是（3，+∞）．
考
点：
对数函数的值域与最值；对数的运算性质．
专
题：
计算题．
分析：画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b 化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可
解答：解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1 ∴﹣lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）
∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3
∴a+2b的取值X围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）
点评：本题主要考查了对数函数的图象和性质，利用“对勾”函数求函数值域的方法，数形结合的思想方法，转化化归的思想方法，属基础题
15．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调递增，若f（lg2•lg50+（lg5）2）+f（lgx﹣2）＜0，则x的取值X围为（0，10）．
考
点：
奇偶性与单调性的综合．
专
题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：先将函数中的变量化简，再确定函数f（x）是在实数集R上单调递增，利用函数的单调性，即可求得x的取值X围．
解答：解：∵lg2•lg50+（lg5）2=（1﹣lg5）（1+lg5）+（lg5）2=1
∴f（lg2•lg50+（lg5）2）+f（lgx﹣2）＜0，可化为f（1）+f（lgx﹣2）＜0，
∵函数f（x ）是定义在实数集R上的奇函数，
∴f（lgx﹣2）＜f （﹣1）
∵函数f（x ）是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调递增，∴函数f（x）是在实数集R上单调递增
∴lgx﹣2＜﹣1
∴lgx＜1
∴0＜x＜10
故答案为：（0，10）．
点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，解题的关键是确定函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，属于基础题．
16．（5分）有4个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=x的图象有三个公共点；
③把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；
④函数在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是①（填上所有真命题的序号）．
考点：命题的真假判断与应用；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专
题：
计算题．
分析：由y=sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，知它的最小正周期是T==π；在同一坐标系中，函数y=sinx与y=x的图象有两个公共点；把函数的图象向右平移，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象；函数
在[0，π]上是增函数．
解解：①∵y=sin4x﹣cos4x=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，
答：∴它的最小正周期是T==π，故①是真命题；
②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=x的图象有一个公共点，故②是假命题；
③把函数的图象向右平移，
得到y=3sin[2（x ﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故③是假命题；
④函数在[0，π]上是增函数，故④是假命．
故答案为：①．
点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）=
（1）求f（f（3））的值
（2）当﹣4≤x＜3时，求f（x）的值域．
考
点：
函数的值域；函数的值．
专
题：
函数的性质及应用．
分析：（1）由题意可得f（3），然后再代入符合条件的解析式即可；（2）分别求得函数每段解析式的值域，最后取并集即可．
解答：解：（1）由题意可得f（3）=4﹣32=﹣5，
所以f（f（3））=f（﹣5）=1﹣2（﹣5）=11；
（2）由分段函数可知：
当﹣4≤x＜0时，函数的解析式为y=1﹣2x∈（1，9]；当x=0时，y=2；
当0＜x＜3时，函数的解析式为y=4﹣x2∈（﹣5，4）；
故当﹣4≤x＜3时，求f（x）的值域为：（﹣5，9]
点
评：
本题为分段函数的考查，分别代入和求解是解决问题的方法，属基础题．
18．（12分）如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB 上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．
考
点：
空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．
专
题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：如图所示，连接CG交DE于点H．在△ABC利用中位线定理证出DH∥AG，再由平行线的性质得到H为CG的中点，从而得到△SGC中FH∥SG，最后根据直线与平面平行的判定的判定定理，可证出SG∥平面DEF，得到本题答案．
解答：解：根据题意，可得SG与平面DEF的位置关系是SG∥平面DEF，证明如下：
如图所示，连接CG交DE于点H，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB．
又∵在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG．
∴H为CG的中点，可得FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG．
又∵SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF．
点评：本题在三棱锥中利用中位线定理证明了线面平行，着重考查了空间直线与平面平行的判定定理及其应用等知识，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）=log0.5（sin2x）
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶性和周期性．
考
点：
复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的判断．
专
题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）由sin2x＞0，能求出f（x）的定义域，由0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，能求出f（x）的值域，由f（x）的单调递减区间满足，单调递增区间满足2kπ+≤2x＜2kπ+π，k∈Z，能求出f（x）的单调区间．（2）由，而没有意义，知f（x）是非奇非偶函数由y=sin2x 是周期函数，且最小正周期为π，知f（x）是周期函数，且最小正周期为π．
解答：解：∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，即，∴f（x）的定义域为．
∵0＜sin2x≤1，
∴0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．
∵f（x）的单调递减区间满足，∴，
故f（x）的单调递减区间为；
∵f（x ）的单调递增区间满足2kπ+≤2x＜2kπ+π，k∈Z，∴kπ+≤x＜kπ+，k∈Z．
故f（x）的单调递增区间为．（2）因，而没有意义
故f（x）是非奇非偶函数
由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为π．
点评：本题考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期性的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
20．（12分）设函数f（x）=cos2x+asinx﹣﹣．
（1）当0≤x≤时，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值；（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解？
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系；正弦函数的图象．
专
题：
计算题．
分析：（1）用同角公式对f（x）化简得f（x）=﹣sin2x+asinx+1﹣﹣，设sinx=t，则函数g（t）是开口向下，对称轴为t=的抛物线，根据二次函数的性质，对a进行讨论得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表达式即可得出结果．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx．即=sin2x+sinx，x∈[0，2π）欲使方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．则必须∈（0，2）∪{﹣}，从而求出a 的X 围即可．
解答：解：（1）f（x）=﹣sin2x+asinx+1﹣﹣，
∵0≤x≤
∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则f（t）=﹣t2+at+，t∈[0，1]
∴M（a）=．
（2）当M（a）=2时，
或a=﹣2（舍）；
．
∴或a=﹣6．
①当a=﹣6时，f（x）min=﹣5；
②当时，f（x ）min =﹣．
（3）方程f （x）=（1+a）sinx
即﹣sin2x+asinx+1﹣﹣=（1+a）sinx，
即=sin2x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin2x+sinx∈[，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．∴∈（0，2）∪{﹣}，
∴﹣6＜a＜2或a=3．
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．
21．（12分）已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）已知A≠∅，若f（x）是在R上单调递增函数，是否有A=B？若是，请证明．
（2）记|M|表示集合M中元素的个数，问：（i）若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|A|=0，则|B|是否等于0？若是，请证明，（ii）若|B|=1，试问：|A|是否一定等于1？若是，请证明．
考
点：
函数单调性的判断与证明；集合中元素个数的最值．
专
题：
新定义．
分析：（1）先用所给定义证明A⊆B，再根据单调性用反证法证明B⊆A；
（2）（i）|A|=0即f（x）=x无实根，分a＞0，a＜0两种情况即可证明；（ii）先根据定义可证明存在性，再用反证法证明唯一性即可；
解答：（1）证明：有A=B．先证
任取x0∈A，则f（x0）=x0，f（f（x0））=f（x0）=x0，
∴x0∈B，∴A⊆B；
再证任取y0∈B，f（f（y0））=y0，
若f（y0）≠y0，不妨设f（y0）＞y0，
由单调递增可知：f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾，
同理f（y0）＜y0也矛盾，所以f（y0）=y0，∴B⊆A，
综上，A=B．
（2）（i）若|A|=0，则|B|=0，下面证明：
若a＞0，由于f（x）=x无实根，则对任意实数x，f（x）＞x，从而f（f（x））＞f （x）＞x，
故f（f（x））=x无实根；
同理，若a＜0，对任意实数x，f（x）＜x，从而f（f（x））＜f（x）＜x，
故f（f（x））=x也无实根，
所以|B|=0．
（ii）若|B|=1，则|A|=1，下面证明：
存在性：不妨设x0是B中唯一元素，则f（f（x0））=x0，
令f（x0）=t，f（t）=x0，那么f（f（t））=f（x0），而f（x0）=t，故f（f（t））=t，说明t也是f（f（x））的不动点，
由于f（f（x））只有唯一的不动点，故x0=t，即f（t）=t，这说明t也是f（x）的不动点，从而存在性得证；
以下证明唯一性：若f（x）还有另外一个不动点m，即f（m）=m，m≠t，
则f（f（m））=f（m）=m，这说明f（f（x））还有另外一个稳定点m与题设矛盾．故唯一性得证．
点评：本题考查函数单调性、集合运算，考查学生推理论证能力及运用所学知识分析问题解决新问题的能力，综合性强，难度大．
22．（12分）如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．（1）证明：SC⊥EF；
（2）若，
求三棱锥S﹣AEF的体积．
考
点
：
棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
专
题
：
计算题；证明题．
分析：（1）先由AC为圆的直径，点B在圆上⇒BC⊥AC．再利用SA⊥平面ABC，BC⊂平面
ABC⇒AE⊥BC，通过线面垂直的判定定理即可证明AE⊥面SBC，从而有AE⊥SC，通过线面垂直的判定定理即可证明SC⊥面AEF，从而证明结论；（2）由（1）知AE⊥面SBC，
，求出，进而求得三角形△AEF的面积
根据已知条件求得，进而求得三棱锥S﹣AEF的体积．
解答：解：（1）证明：
．
．．（6分）（2）解：Rt△SAC中，∵
又AF⊥SC，∴F为SC的中点，∴（8分）
由（1）知AE⊥面SBC ，∴
得，∴（10分）
由（1）知SC⊥面AEF，
∴（12分）
点评：此题是个中档题．考查线面垂直的判定定理和性质定理以及棱锥的体积等基础知识，同时考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．。