八年级数学下册第18章平行四边形本章整合pptx课件新版新人教版
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一
二
一、四边形中的折叠问题
【例1】 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折
叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长;
(2)求梯形ABCE的面积.
解:(1)设EF=x,由折叠可得,DE=EF=x,CF=CD=6.
∵在Rt△ADC中,AC= 62 + 82=10,
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
关闭
B
答案
1
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4.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于
点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的
值为(
)
关闭
连接 BP,如图,
24
A.4
B. 5
∵四边形 ABCD 为菱形,
∴∠MEH=∠DAH=∠EAH=45°,
∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM= 2HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°-45°=15°,
∴∠ADM=45°-15°=30°,
1
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF为矩形.
12
【例2】如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边
AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.
一
二
(1)证明:∵四边形EFGH是矩形,
∴EH=FG,EH∥FG,
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,
1
1
∴12=2×5×EO+2×5×EF,
关闭
24
.
EO+EF=
∴
5(EO+EF)=24,
∴
C
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解析
答案
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7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知
∠BOC=120°,DC=3 cm,则AC的长为
cm.
关闭
6
答案
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8.如图,菱形ABCD的周长为16,AC,BD交于点O,点E在BC上,OE∥AB,
= ,
∴△ABC≌△DCE(SAS).
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11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A
作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
求证:(1)△BDE≌△FAE;
(2)四边形ADCF为矩形.
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证明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
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12.如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上,且BC=AB,
连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.
又AB=BC,∴AD=BC.
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(1)证明:∵在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,
∴AD∥BC,AO=CO,
∴∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC,
∴△AOM≌△CON(AAS),∴AM=CN.
∴四边形ANCM为平行四边形.
(2)解:∵在矩形ABCD中,AD=BC,
由(1)知AM=CN,∴DM=BN.
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在Rt△ADM中,DM=2AM,即DM=2BE,故①正确;
∵CD∥EM,EC∥DM,
∴四边形CEMD是平行四边形,
∵DM >AD,AD=CD,∴DM >CD,
∴四边形CEMD不可能是菱形,故③错误,
∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,
∴∠AHM<∠BCA=45°,
③在点M的运动过程中,四边形CEMD可能成为菱形;
④无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.
以上结论正确的有 ①②④ .(把所有正确结论的序号都填上)
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解析:如图,连接DH,HM.
由题可得,AM=BE,
∴AB=EM=AD.
∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,
∴∠CHM >135°,故④正确.
由上可得正确结论的序号为①②④.
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10.如图,已知E是▱ABCD的边BC延长线上的一点,且CE=BC.
求证:△ABC≌△DCE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠B=∠DCE.
= ,
在△ABC 和△DCE 中, ∠ = ∠,
(
)
关闭
∵AB=6,BC=8,∴矩形 ABCD 的面积为 48,AC= 2 + 2 =10,
48
32
1
∴AO=DO=2AC=5. B.
A.
3
5
24
12
C.
D. 5 O,∴△AOD 的面积为 12.
∵5对角线 AC,BD 交于点
∵EO⊥AO,EF⊥DO,∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,
∵AE∥BF,即AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又AB=AD,∴四边形ABCD为菱形.
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13.如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与
矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
点A恰好落在BD上的点F处,求∠BFC的度数.
解 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A+∠ABC=180°,BD平分∠ABC.
∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°.
根据折叠的性质可得AB=BF,∴FB=BC,
∴∠BFC=∠BCF=(180°-30°)÷2=75°.
一
二
二、矩形对角线相等的转化应用
∴AB=EG.
∵四边形EFGH是矩形,∴EG=FH=2,
∴AB=2,∴菱形ABCD的周长为8.
一
二
一
二
跟踪演练
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上
的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,
则线段MN的最小值为
.
12
答案: 5
∴AF=AC-CF=4,AE=AD-DE=8-x.
在Rt△AEF中,有AE2=AF2+EF2,
即(8-x)2=42+x2,解得x=3.∴EF=3.
(2)由(1)知,AE=8-3=5.
(+)·
∴S 梯形 ABCE=
2
=
(5+8)×6
2
=39.
一
二
一
二
跟踪演练
1.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,
∵四边形ANCM为平行四边形,MN⊥AC,
∴平行四边形ANCM为菱形,
∴AM=AN=NC=AD-DM,
∴在Rt△ABN中,根据勾股定理,得AN2=AB2+BN2,
3
∴(4-DM)2=22+DM2,解得 DM=2.
13
一
二
解析:∵∠BAC=90°,且 BA=3,AC=4,
∴BC= 2 + 2 =5.
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°,
∴四边形 DMAN 是矩形,∴MN=AD.
当 AD⊥BC 时,AD 的值最小,此时
1
1
S△ABC=2AB×AC=2BC×AD,
×
∴AD=
=
12
,∴MN
5
12
的最小值为 .
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1.如图,下列四个条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是(
A.∠ADB=90°
C.OA=OC
)
B.OA=OB
D.AB=BC
关闭
D
答案
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2.下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一
个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是(
)
A.由②推出③,由③推出①
B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出②
D.由①推出③,由③推出②
关闭
A
答案
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3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,点F是线段DE上的
一点.连接AF,BF,∠AFB=90°,且AB=8, BC=14,则EF的长是
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH.
∴BG=DE.
一
二
(2)解:如图,连接EG.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵E为AD的中点,
∴AE=DE.
∵BG=DE,∴AE=BG.
∵AE∥BG,
∴四边形ABGE是平行四边形,
则OE的长是
.
关闭
2
答案
1
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9.如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重
合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到,若过点E作EH⊥AC,H为垂
足,则有以下结论:
①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;
②无论点M运动到何处,都有 DM= 2HM ;
48
C.6
D.
菱形 ABCD 的周长为 20,
5
1
∴BA=BC=5,S△ABC=2S 菱形 ABCD=12.
∵S△ABC=S△PAB+S△PBC,
1
1
24
关闭
∴
B 2×5×PE+2×5×PF=12,∴PE+PF= 5 .
解析
答案
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5.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5, AC=3,把Rt△ABC沿直线BC向
右平移3个单位长度得到△A'B'C',则四边形ABC'A'的面积是
(
)
A.15
C.20
B.18
D.22
关闭
A
答案
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6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O, AB=6,BC=8,过点O作
OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为
二
一、四边形中的折叠问题
【例1】 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折
叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长;
(2)求梯形ABCE的面积.
解:(1)设EF=x,由折叠可得,DE=EF=x,CF=CD=6.
∵在Rt△ADC中,AC= 62 + 82=10,
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
关闭
B
答案
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4.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于
点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的
值为(
)
关闭
连接 BP,如图,
24
A.4
B. 5
∵四边形 ABCD 为菱形,
∴∠MEH=∠DAH=∠EAH=45°,
∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM= 2HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°-45°=15°,
∴∠ADM=45°-15°=30°,
1
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF为矩形.
12
【例2】如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边
AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.
一
二
(1)证明:∵四边形EFGH是矩形,
∴EH=FG,EH∥FG,
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,
1
1
∴12=2×5×EO+2×5×EF,
关闭
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.
EO+EF=
∴
5(EO+EF)=24,
∴
C
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解析
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7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知
∠BOC=120°,DC=3 cm,则AC的长为
cm.
关闭
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答案
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8.如图,菱形ABCD的周长为16,AC,BD交于点O,点E在BC上,OE∥AB,
= ,
∴△ABC≌△DCE(SAS).
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11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A
作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
求证:(1)△BDE≌△FAE;
(2)四边形ADCF为矩形.
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证明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
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12.如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上,且BC=AB,
连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.
又AB=BC,∴AD=BC.
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(1)证明:∵在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,
∴AD∥BC,AO=CO,
∴∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC,
∴△AOM≌△CON(AAS),∴AM=CN.
∴四边形ANCM为平行四边形.
(2)解:∵在矩形ABCD中,AD=BC,
由(1)知AM=CN,∴DM=BN.
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在Rt△ADM中,DM=2AM,即DM=2BE,故①正确;
∵CD∥EM,EC∥DM,
∴四边形CEMD是平行四边形,
∵DM >AD,AD=CD,∴DM >CD,
∴四边形CEMD不可能是菱形,故③错误,
∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,
∴∠AHM<∠BCA=45°,
③在点M的运动过程中,四边形CEMD可能成为菱形;
④无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.
以上结论正确的有 ①②④ .(把所有正确结论的序号都填上)
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解析:如图,连接DH,HM.
由题可得,AM=BE,
∴AB=EM=AD.
∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,
∴∠CHM >135°,故④正确.
由上可得正确结论的序号为①②④.
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10.如图,已知E是▱ABCD的边BC延长线上的一点,且CE=BC.
求证:△ABC≌△DCE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠B=∠DCE.
= ,
在△ABC 和△DCE 中, ∠ = ∠,
(
)
关闭
∵AB=6,BC=8,∴矩形 ABCD 的面积为 48,AC= 2 + 2 =10,
48
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1
∴AO=DO=2AC=5. B.
A.
3
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C.
D. 5 O,∴△AOD 的面积为 12.
∵5对角线 AC,BD 交于点
∵EO⊥AO,EF⊥DO,∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,
∵AE∥BF,即AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又AB=AD,∴四边形ABCD为菱形.
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13.如图,在矩形ABCD中,O为对角线AC的中点,过点O作直线分别与
矩形的边AD,BC交于M,N两点,连接CM,AN.
(1)求证:四边形ANCM为平行四边形;
(2)若AD=4,AB=2,且MN⊥AC,求DM的长.
点A恰好落在BD上的点F处,求∠BFC的度数.
解 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠A+∠ABC=180°,BD平分∠ABC.
∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°.
根据折叠的性质可得AB=BF,∴FB=BC,
∴∠BFC=∠BCF=(180°-30°)÷2=75°.
一
二
二、矩形对角线相等的转化应用
∴AB=EG.
∵四边形EFGH是矩形,∴EG=FH=2,
∴AB=2,∴菱形ABCD的周长为8.
一
二
一
二
跟踪演练
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上
的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,
则线段MN的最小值为
.
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答案: 5
∴AF=AC-CF=4,AE=AD-DE=8-x.
在Rt△AEF中,有AE2=AF2+EF2,
即(8-x)2=42+x2,解得x=3.∴EF=3.
(2)由(1)知,AE=8-3=5.
(+)·
∴S 梯形 ABCE=
2
=
(5+8)×6
2
=39.
一
二
一
二
跟踪演练
1.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,
∵四边形ANCM为平行四边形,MN⊥AC,
∴平行四边形ANCM为菱形,
∴AM=AN=NC=AD-DM,
∴在Rt△ABN中,根据勾股定理,得AN2=AB2+BN2,
3
∴(4-DM)2=22+DM2,解得 DM=2.
13
一
二
解析:∵∠BAC=90°,且 BA=3,AC=4,
∴BC= 2 + 2 =5.
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°,
∴四边形 DMAN 是矩形,∴MN=AD.
当 AD⊥BC 时,AD 的值最小,此时
1
1
S△ABC=2AB×AC=2BC×AD,
×
∴AD=
=
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,∴MN
5
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的最小值为 .
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1.如图,下列四个条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是(
A.∠ADB=90°
C.OA=OC
)
B.OA=OB
D.AB=BC
关闭
D
答案
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2.下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一
个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是(
)
A.由②推出③,由③推出①
B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出②
D.由①推出③,由③推出②
关闭
A
答案
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3.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,点F是线段DE上的
一点.连接AF,BF,∠AFB=90°,且AB=8, BC=14,则EF的长是
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH.
∴BG=DE.
一
二
(2)解:如图,连接EG.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵E为AD的中点,
∴AE=DE.
∵BG=DE,∴AE=BG.
∵AE∥BG,
∴四边形ABGE是平行四边形,
则OE的长是
.
关闭
2
答案
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9.如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重
合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到,若过点E作EH⊥AC,H为垂
足,则有以下结论:
①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;
②无论点M运动到何处,都有 DM= 2HM ;
48
C.6
D.
菱形 ABCD 的周长为 20,
5
1
∴BA=BC=5,S△ABC=2S 菱形 ABCD=12.
∵S△ABC=S△PAB+S△PBC,
1
1
24
关闭
∴
B 2×5×PE+2×5×PF=12,∴PE+PF= 5 .
解析
答案
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5.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5, AC=3,把Rt△ABC沿直线BC向
右平移3个单位长度得到△A'B'C',则四边形ABC'A'的面积是
(
)
A.15
C.20
B.18
D.22
关闭
A
答案
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6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O, AB=6,BC=8,过点O作
OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为