华南师大附中 2022-2023 学年度第一学期阶段测试(二)参考答案(2)017

华南师大附中2022-2023学年度第一学期阶段测试（二）
高二数学参考答案
一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分）
7．【详解】∵公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且457,,{15,0}a S S ∈-， 又 174
747()72722
a a a S a +⨯=
== , 当40a =时,70S = ，∴515=-S , 1130
54
5152a d a d +=⎧⎪
∴⎨⨯+⨯=-⎪⎩
, 解得193a d =-=， ， 则93(1)312n a n n =-+-=-，
令3120n a n =-≤， 得4n ≤ ，∴n S 的最小值为443
4(9)3182
S ⨯=⨯-+⨯=- ， 当415a =- 时，7105{15,0}S =-∉- ，不符合题意， 故n S 的最小值为18-， 故答案为：18-.选A
8.显然211a a =+，32121a a a =-+=-+，
43134a a a =+=-+，于是得到12346a a a a +++=，同理可求出 567814a a a a +++=，910111222a a a a +++=…，
设4342414n n n n n b a a a a ---=+++，则数列{}n b 是以6为首项，8为
公差的等差数列，所以数列{}n a 的前80项和为数列{}n b 的前20项和
20198
20616402
⨯⨯⨯+
=. 故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
11． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m =−1
2（舍去）， ∴aij ＝ai 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，
∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(an 1＋an2＋an 3＋……＋ann )=
a 11（1−3n ）
1−3
+
a 21（1−3n ）
1−3
+⋯⋯+
a n1（1−3）
n
1−3
=12（3n ﹣1）•
（2+3n−1）n
2
=1
4n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.
12．【详解】由(
)
1ln 2n
a n n a a +=+-e 可得1
221n n n n
a a a a ++==+e e e e ，令n
a n
b =e ，则121n n b b +=+， 又10a =，则11b =，23b =，当2n ≥时，111
224
113221n n n n b b b b +--=+=+=-
++ ， 3153b b =
>，4211
5b b =<，设()()1114322n n n b f b n b +--==-
≥+，()432
f x x =-+在()0,∞+上单调递增，∵13b b <，∴()()3135b f b f b b =<=，传递下去，可得()21211n n b b n -+<≥，同理可得()2222n n b b n ->≥，∴{}21n b -是单调递增数列，{}2n b 是单调递减数列，
又∵n a
n b =e ，e x y =在R 上单调递增，所以{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数
列，故D 正确； 由11b =，12
1n n
b b +=+
得1n b ≥，23b =，11432n n b b +-=-+得3n b ≤，
∴1213n b b b =≤≤=，即0ln 3n a ≤≤，
∵[]123,5n n n b b b +=+∈，∴()[]11ln ln 3,ln 5n n n n a a b b +++=∈， ()()()201912345201820191009ln 5S a a a a a a a =+++++
++≤，显然2019
20192S <，故C 正确；
先证：()
212n b n *
-<∈N ，
当1n =时，112b =<成立，
假设当()n k k =∈*N 时，212k b -<成立， 那么当1n k =+时，()()21212143222
k k k b f b f b +--=-
=<=+成立，
综上，()212n b n -<∈*N 成立， 同理可得()22n b n >∈*N ，
∴212n n b b -<，即212n n a a -<，故B 正确；
要使ln 2n a =，则2n b =，而()
212n b n *
-<∈N ，()22n b n >∈*N ，所以2n b ≠，即l
n 2n a ≠，
故A 错. 故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分． 13． −1或1
14．()2
21k +##()2
12k + 15．b n =2n−3
16.
500
729
9+ 15【详解】根据题意得，{a 1+a 1q 2=10a 1q +a 1q 3=5 ，解得{a 1=8q =12 ，故a n =.12/n−4，
n ≥2时，b n −b n−1=
1a n
=2n−4，
故b n =b 1+(b 2−b 1)+(b 3−b 2)+⋯+(b n −b n−1) =1
4
+2−2+2−1+⋯+2n−4=1
4
+
1
4
(1−2n−1)1−2
=2n−3．
16．
【详解】
因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， 且外围第一个正方形1111D C B A 的边长为1，所以2123A B =
，211
3
B B =,
由勾股定理有：22A B ===
设第n 个正方形n n n n A B C D 的边长为n l ，则
11l =，21l ==
，……，1n n l -==，
所以1
1
1n n n l l --==⎝⎭
⎝⎭
，
所以第7个正方形的周长是6
3765125500
44443729729l =⨯=⨯=⨯=⎝⎭， n 个正方形的周长之和为
1
11
1
5
4119
3
3
n
n n
n
T
-
--
-
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪⎪=++==-→+
⎪
⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎭
故答案为：
500
729
，9+
四、解答题：本大题共6小题，满分48分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17．【详解】(1)由题意，设等差数列{}n a的首项为1a，公差为d．
由2524
a a
+=，
17
66
a=，即11
1
424,
1666,
a d a d
a d
+++=
⎧
⎨
+=
⎩
解得1
2,
4.
a
d
=
⎧
⎨
=
⎩
------------2’
所以，数列{}n a的通项公式为24(1)42
n
a n n
=+-=-．---------------3’
所以
2022
4202228086
a=⨯-=．----------------4’
(2)
令422023
n
a n
=-=，解得2025
4
n N
=∉，所以，2023不是数列{}n a中的项．---6’18．
【详解】（1）因为S n=2n2−19n，
所以n≥2时，S n−1=2(n−1)2−19(n−1)=2n2−23n+21，
由①②相减可得，a n=4n−21，n≥2，----------------1’
当n=1时，a n=4n−21也满足题意----------------2’
故*a n+的通项公式为：a n=4n−21．
所以n≥2时，a n−1=4(n−1)−21=4n−25，
所以n≥2时，a n−a n−1=4总成立，----------------3’
所以数列*a n+是等差数列．
（2）因为b n=|a n|，
所以T n=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|，
当a n=4n−21<0时，n≤5；当a n=4n−21>0时，n≥6，---------------4’
由(1)中结论可知，当n≤5时，T n=−a1−a2−⋯−a n=−S n=−2n2+19n；
当n≥6时，T n=−S5+(S n−S5)=S n−2S5=2n2−19n+90，
从而T n={
−2n2+19n,n≤5
2n2−19n+90,n≥6
----------------6’
19．（1）
由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列*a n +，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列*b n +，
∴*a n +是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；
*b n +是以6+1.5=7.5为首项，1.5为公差的等差数列，----------------2’ ∴a n =20(1+5%)n ，b n =6+1.5n . ----------------4’ （2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为S n ，
∴S n =(a 1−b 1)+⋯+(a n −b n ) =(a 1+a 2+⋯+a n )−(b 1+b 2+⋯+b n ) =(20×1.05+20×1.052+⋯+20×1.05n )−(7.5+9+⋯+6+1.5n) =
(20+1.05)×(1−1.05n )
1−1.05
−n 2
(7.5+6+1.5n) =420×1.05n −34n 2−
274
n −420，-----------6’
当n =5时，S n =420×1.276−3
4×25−274
×5−420=420×0.276−2104
=63.42≈
63.4. ----------------7’
∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.4万吨. ----------------8’
20 【详解】（1）由题意可得111333(1)n n n a a a --+=+=+，()
*2,N n n ≥∈，113a +=，
所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，----------------2’ 所以1
133
3n n n a -+=⨯=，故31n n a =-. ----------------3’
（2）由（1）得3(31)log (311)3n n n
n b n n =-⋅-+=⨯-，----------------4’
所以1211323(1)33(12)n n
n S n n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯-++⋅⋅⋅+
令1211323(1)33n n
n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①，则(1)
2
n n n n S T +=-
，----------------5’ 因为231
31323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②，
①-②得1231
13(13)233333313
n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-，----------------7’
所以1(21)33
4
n n n T +-⨯+=，
所以1(21)33(1)
42
n n n n n S +-⨯++=-
. ----------------8’ 21． 【详解】（1）数列{an }满足，a 1+a
22+a 33
+⋯+
a n n
=1
2n(n +1)(n ∈N ∗)①．
当n ＝1时，a 1＝1． 当n ＝2时，a 1+
a 22=1
2×2×3，解得a 2＝4．----------------2’
（2）当n ≥2时，a
22+
a 33
+⋯+
a n−1n−1
=1
2n(n −1)②，
①﹣②得：
a n n
=
n(n+1)2
−
n(n−1)2
＝n ，
所以a n =n 2（适合n =1）． 故a n =n 2． ----------------5’ （3）根据题意b n =2n+1
a
n a n+1
＝1n 2−1
(n+1)2，----------------6’
所以S n =1−1
4+1
4−1
9+⋯+1
n 2−1
(n+1)2＝1﹣1
(n+1)2＜1，----------------8’ 当n ＝1时，S 1=1−1
4=3
4． 且函数f(x)=1−1(x+1)2为增函数， 所以∀n ∈N *，3
4⩽S n ＜1．----------------10’
22 【详解】（1）数列*a n +不是“K 数列”，理由如下： ∵a n =5n ，∴S n =
5(1−5n )1−5
=5
4
×(5n −1)
当n =2时，S n =54
×(52−1)=30，此时找不到k ∈N *，使得S n =a k 所以数列a n =5n (n ∈N *)，不是“K 数列”. ----------------2’ （2）①*b n +是等差数列，且首项b 1=1，公差d ∈N *， 则b n =1+(n −1)d ， S n =n +
n(n−1)2
d ----------------3’
故对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使得n +n(n−1)2
d =1+(k −1)d 成立，
则k =
n−1d
+
n(n−1)2
+1，其中
n(n−1)2
+1为非负整数，
要使k ∈N *，需要
n−1d
恒为整数，即d 为所有非负整数的公约数，
又d ∈N *，所以d =1 ----------------5’ ②由①知，b n =1+(n −1)d =n ， 则c n =
3+.−13/
n
1−.−13
/
n
=
3n+1+(−1)n 3n −(−1)n
=
3×,3n −(−1)n -+4×(−1)n
3n −(−1)n
=3+4×(−1)n
3n −(−1)n - ----------------6’
令d n =4×(−1)n
3n −(−1)n =4
(−3)n −1， 记数列*d n +的前n 项和为D n ，
()
1
44
031
31
n n ++
<----
所以当n 为偶数时：2111114031313131n n n D -⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫=++++< ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，且()
11
4
031
n n n D D ++=+
<--，故而对*0n n N D ∀∈<，
数列*c n +的前n 项和为T n ， 则
333n n n n T n D D b n n
+==+< 由T n ≤mb n 对任意n ∈N ∗成立，即m ≥3. ----------------9’ 下证3m <不满足题意：（反证法）
假设03m ∃<满足题意，则*0,3n n N n D m n ∀∈+<恒成立，即()030n m n D -+<恒成立，而 14
4
43131
3n n n
++
>----
所以当n 为偶数时2131111111
12
44223133131313
33n n n n n
D --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
++>-+++
=-+>- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当23n m
>-时，()()00
0233203n m n D m m -+>-⨯-=-， 这与假设矛盾，因此实数m 的取值范围为m ≥3。

----------------10’。