【代数法】存在性问题之等腰三角形

【代数法】存在性问题之等腰三角形
一、两点间距离公式
设两个点A、B以及坐标分别为
(的,加)、(Z2,z∕2 ),则A和B两点之间的距离为：
MBl = 丁31 —劣2产 + (41 一统)2
二、例题讲解
例I s如图，已知抛物线解析式为
y=-x2+2x + 3,与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C。

在抛物线对称轴上是否存在一点P f使得^PCB为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在说明理由？
分析：根据题意我们可以求出B s C点坐标,分别为(3,0) , (0,3),
P点是抛物线对称轴上一动点,所以需要先设P点坐标,既然P点在x=l这条直线上,所以横坐标为1 ,则设P点坐标为(Lm),
分别计算BC、PC s PB的长度，使用两点间距离公式，但是一般我们使用平方来表示，即：
BC2 = (0- 3)2 + (3- O)2 = 18
PC2 = (1- O)2 + (m — 3)2= τn2 - 6m + 10
PB2 = (1 — 3)2 + (m —O)? = τ∏2 + 4
下面分别以不同的点为顶点进行分类讨论：
①当PB = PC时(以P点为顶点),则：
m2 ÷ 4 = m2— 6m + 10 ；
② 当BC=PB时(以B点为顶点),则：
18 = Tn 2 + 4 ；
③当BC=PC时(以C点为顶点),贝■$:
18 = m2—6m + 10
计算上面三种情况下m的值，但是还需要进行检验，可能求出的P点刚好与B、C共线呢？所以还需要求出BC所在直线的解析式，将上面的点代入到解析式中进行验证即可。

解：由题意得，B、C点坐标分别为(3,0) , (0,3),设P点坐标为(Lm),则：(1)当PB = PC 时，即:
BC2 = (0- 3)2 ÷(3- O)2 = 18
PC2 = (1- O)2 + (m- 3)2 = m2 - 6τn + 10
PB2 = (1 - 3)2÷ (τn - O)2 = Tn2 + 4
解得：m = l
∙∙∙ P(Ll)
(2)当BC=PB 时,即:
18 = m2 + 4 ；
解得：
m =±χ∕14
P(l,√∏) ≡E P(1,-√I4)
(3 )当BC=PC 时,即:
18 = m2— 6m + 10
解得：
m = 3±√17
P(l, 3 + √T7)或P(l, 3 - √17)
∙∙∙ B、C点坐标分别为(3,0) , (0,3)
/. BC所在直线的解析式为：y=-x+3
经检验,以上各点都不在直线BC上
综上所述：满足^BCP是等腰三角形的P点坐标为：
(1,1) 、(1,√14)、(1,-√14)、(1,3 + √I7)、
(1,3-√I7).
例2、如图，抛物线
y = ax2 + + 4
交X轴于A(∙3,O) , B (4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC, BC .点P
是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式；
(2 )过点P作PM，X轴，垂足为点M , PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q f使得以A , C , Q为顶点的三角形是等腰三角形,若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
分析：本题中A、C都是定点，P是抛物线第一象限内的一动点，则Q点也是一动点,且在线段BC (不含B、C两点)上运动,所以本题需要先求出BC所在直线的解析式，然后根据等腰三角形存在性问题代数法求解即可。

解：(1)将(-3,0),(4,0)代入抛物解析式得：
(90-3b + 4 = 0
116α + 4δ + 4 = 0
解得：
—
所以抛物线的解析式为：
1 2 1 ,
g = 一铲+铲+ 4
(2)V抛物线的解析式为：
1 2 1 ,
y = -^χ + w①+ 4 O O
.∙. C点坐标为(0,4)
∙∙∙ C(0,4),B(4,0)
BC所在直线解析式为：y=-x+4
Q点是直线CB上一动点,设Q点坐标为(m,-m+4 )∙∙∙ A ( -3,0 ) ,C ( 0z4 )
松=25,
CQ2 =Tn2 + (_m + 4-4)2 = 2m2 , AQ2= (τn + 3)2 + (-m + 4)2 = 2m2—2m + 25 (1)当AC=AQ 时，即：
25 = 2m2—2m + 25
解得：m=0（舍去）或m = l
∙∙∙ PQ,3）
（2）当AC=CQ 时，即：
25 = 2m2
解得：
m =2或巾=一32（舍去）
2 2
（3）当AQ=CQ 时，即：
2m2 = 2m2 - 2m + 15
解得：
15 τn=— 2
（舍去）
综上所述：满足^ACQ是等腰三角形的Q点坐标为：
（1,3）、（挈4 一竽）.
三.使用代数法步骤
L先计算出三角形每边的距离，采用两点间距离公式，通常用平方表示;
2、以各点为顶点，分类讨论腰相等三种情况，建立方程并求解；
3、检验所求点是否符合题意，不符合则舍去。