中考数学复习专题17：三角形及其性质(含中考真题)

专题17 三角形及其性质
☞解读考点
知识点名师点晴
三角形的重要线段
中线、角平分线、高线
理解三角形有关的中线、角平分线、高线，
并会作三角形的中线、角平分线、高线
三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质
三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边
理解三角形的三边关系，并能确定三角形第
三边的取值范围
三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°
掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形
的内角和定理
三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明
☞2年中考
【题组】
1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C．
【解析】
试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．
考点：三角形三边关系．
2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C．
【解析】
试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．
考点：三角形的外角性质．
3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D ．
考点：三角形的外角性质．
4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A ．5，6，10
B ．5，6，11
C ．3，4，8
D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 【答案】A ． 【解析】
试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误． 故选A ．
考点：三角形三边关系．
5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ． 【解析】
试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是12． 故选B ．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2
430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．10 【答案】B ．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．
7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A ．118°
B ．119°
C ．120°
D ．121° 【答案】C ． 【解析】
试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，
∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21
（∠ABC+∠BCA ）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ． 考点：三角形内角和定理．
8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根
恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）
A ．10
B ．14
C ．10或14
D ．8或10 【答案】B ．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．
9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心 【答案】D ． 【解析】
试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ． 考点：三角形的重心．
10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形 【答案】A ． 【解析】
试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．
考点：三角形的稳定性．
11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）
A ．4
B ．4或5
C ．5或6
D ．6 【答案】B ． 【解析】
试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是
S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S S
h -<<+
，即2233S S S
h <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．
考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．
12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D ．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ）
A ．正方形
B ．矩形
C ．平行四边形
D ．直角三角形 【答案】D ． 【解析】
试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ． 考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．
14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A ． 【解析】
试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ． 考点：三角形的角平分线、中线和高．
15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）
A ．256
B ．51
C ．254
D ．257
【答案】A ．
考点：1．概率公式；2．三角形的面积．
16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=1
2AB ，点
E 、
F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）
A．1
7 B ．
1
6 C．
1
5 D．
1
4
【答案】C．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．
17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．
【答案】75°．
【解析】
试题分析：如图，
∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．
考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．
18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．
【答案】80°．
考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．
19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足
22
9(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．
【答案】1＜c ＜5． 【解析】
试题分析：由题意得，2
90a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．
考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度．
【答案】60． 【解析】
试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．
考点：三角形的外角性质．
21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个． 【答案】10． 【解析】
试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10． 考点：三角形三边关系．
22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4．
考点：1．三角形的面积；2．综合题．
23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．
【答案】5． 【解析】
试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴
EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴1
2×AB×EM=8，解得：EM=4，即
AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=22
43+=5，故答案
为：5．
考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．
24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．
【答案】53 2．
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．
25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交
于点O ，则OB
OD = ．
【答案】2． 【解析】
试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OB
OD =2．故答案为：2．
考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．
26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．
【答案】理由见试题解析．
考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．
27．（达州）化简22
21
432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，
且a 为整数．
【答案】1
3a -，1．
【解析】
试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．
考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．
28．（青岛）【问题提出】
用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
【问题探究】
不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=3时，m=1．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
所以，当n=4时，m=0．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=5时，m=1．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=6时，m=1．
n 3 4 5 6
m 1 0 1 1
【探究二】
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）
n 7 8 9 10
m
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…
【问题解决】：
用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设
n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）
表③
n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2
m
【问题应用】：
用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）
【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．
【题组】
1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）
A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：
A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；
B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．
故选B．
考点：三角形的三边关系．
2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）
A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm
【答案】D．
考点：三角形的中位线．
3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．
故选C．
考点：三角形中位线定理．
4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°
【答案】B．
考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．
5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）
A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．
试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-
60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=1
2∠ABC=
1
2×50°=25°，在
△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=1
2（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°
=35°，故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠
DAC=1
2（180°-70°）=55°，故D选项正确．
故选B．
考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．
6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）
【答案】4（答案不唯一）．
考点：三角形的三边关系．
7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．
【答案】140．．
【解析】
试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．
考点：三角形的外角的性质．
8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．
【答案】75．
【解析】
试题分析：如答图．
∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．
考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．
☞考点归纳
归纳 1：三角形的有关线段
基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心
高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．
角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段
中位线：连接三角形两边中点的线段
基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半
注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．
【答案】1．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．
归纳 2：三角形的三边关系
基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．
【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）
A．5 B．10 C．11 D．12
【答案】B．
考点：三角形三边关系．
归纳 3：内角和定理
基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．
基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．
注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）
A．45°B．54°C．40°D．50°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1
2∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠
BAD=40°．故选C．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
归纳 4：三角形的外角
基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．
【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】B．
考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．
☞1年模拟
1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．
考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．
2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）
A．61° B．71° C．109° D．119°
【答案】A ．
考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．
3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）
A．20° B．40° C．30° D．25°
【答案】A．
【解析】
试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．
考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．
4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）
A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°
【答案】D．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．
5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）
A
5
5
25
5
22
5
10
5
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵
55，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=
5
5
BE
AB
，故选A．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．
6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
【答案】4．
考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．
7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．
【答案】1 5．
【解析】
试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两
个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5
两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是
21105 ． 考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．
8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．
【答案】220．
考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．
9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．
【答案】1
2；6．
【解析】
试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323
A B B A B B S S
=12，
22
33
A B A B =
212323
A B B A B B S
S
=
12
，再由
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。