2020高考热点第3讲三角函数图像与性质

第3讲三角函数的图象和性质
a . . b
1.辅助角公式 asin a+ bcos a=«a + b sin（ a+ 耳，其中 cos （j）= / 2+ 1，sin 4= /2+ b
b
或 tan j=一
a-
2.三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法
- ____ _ , ,一，兀一，，, 一，1 一，,
⑴若f(x)=Asin(cox+昉为偶函数，则 Q kjt+q(kC Z),同时当x= 0时，f(x)取得最大或最小值.若
f(x) = Asin(cox+ @为奇函数，则Q kjt kC Z),同时当x= 0时，f(x) =
0.
(2)f(x)= Acos(cox+ 当kTt+^kC Z)时为奇函数;当上knkC Z)时为偶函数；对
称轴方程可由 wx+(^= k Tike Z)求得.f(x)= Atan(wx+机当(j)==(k€ Z)时为奇函数. (3)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y= Asin(④x+耳，y= Acos(co x+昉,
一一2兀 2兀兀.. ..
y=Atan(cox+财的形式，再分别应用公式丁=1|, 丁=71，丁=「求解.
国网⑷
⑷对于函数y= Asin(cox+/ 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点一对称中心的叱
坐标一定是函数的零点.
(5)若 f(x)=Asin(cox+ 昉，则对称轴为 x=2kk 对称中心为:kj=^), 0 (kCZ).
2 co co _w
k
2L 1
f(x) = Atan(cox+ @的对称中心为(=---- ,0)(k€ Z).
考点一三角函数的图象及变换
小心仲缩”看A、6;由图”定式“找对象”
一…一、… C 1 . …兀... . .. …，•一一，
例(1)已知函数f(x)=sin1 2(cox) —2(3>0)的最小正周期为2,若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位，所得图象关于原点对称，则正实数
a的最小值为( )
兀- 3兀兀兀
A.4 B- 7 C.2 D- 8
解析：选D.依题意得f(x)=1~c o s 2°X-；=—1cos 2cox,最小正周期丁=尹=5 3 = 2, 2 2 2 2 co
2
1 . 1 .. ... ............. ... ....
所以f(x) = -2cos 4x,将f(x) = — 2cos 4x的图象向右平移a个单位后得到函数g(x)
1 1
=-2cos[4(x— a)]的图象.又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0) = —2cos
4a=0, 4a= k^。

kCZ,即a = A8，底Z,因此正实数a 的最小值是8.
(2)已知函数f(x)=Asin(cox+@(A,。

是常数， A>0, «>0, 0W g 兀)的部分图
象如图所示，其中 M, N 两点之间的距离为 5,则f(6) =.
解析：由题图可知A=2,因为M, N 两点分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，设 M(x i , 2), N(x 2, —2),因为 |MN|=5,所以
(x i —X 2)2
+ [2 — (— 2) ]2
= 5,
解得|X 1 —X 2|=3,因为M, N 两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即 T=3,
解得T=6,所以f(6) = f(0)=1.答案：1
总结：
⑴已知函数y= Asin(cox+(f))(A>0, 3>0)的图象求解析式时， 常采用待定系数法，由图 中的最高
点、最低点或特殊点求
A;由函数的周期确定
3；确定。

常根据 五点法”中
的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口， 可以从图象的升降找准第一个零
点的位置.
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中
的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位 长度数和方向. 变式训练
1.已知函数f(x)=Asin(cox+ 9)(A>0, |。

|<兀的部分图象如
图所示，将函数 y = f(x)的
图象向右平移4个单位长度彳#到函数 y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的解析式为(
)
A . g(x) = 2sin 2x 一 .、一 .一
C. g(x)= 2sin 2x+ 4
一 一一，一 1 7兀 解析：图象法由图得A= 2, T=7-- o
3兀工
因为 x= 8 2 8 = $寸,y=2,所以 2X8^ 0= + 2kjt k € Z),所以 0= j+ 2kjt KCZ),
因为|。

|〈兀，所以。

=4,所以函数f(x) = 2sin 2x+4 .因为函数g(x)的图象由函数f(x)的图 象向右平移 J 单位长度得到，所以g(x)=f x-4 =2sin[2(x —4) +j = 2sin 2x —4 .故选 D.
B. g(x) = 2sin 2x+-
o 一 ,、
D . g(x) = 2sin 2x — 4
考点二 三角函数的性质及应用
例2 （2018全国卷n ）若f （x ） = cos x-sin x 在［-a, a ］上是减函数，则 a 的最大值是（ ）
兀
A.4 C 37t
解析：导数法——转化不等式恒成立模型
f' x) = — sin x — cos x= — (sin x+ cos x) = — >/2sin x+ 4 . 由题意知，f'x ）w0,即一J2sin x+4 < 0在区间［—a, a ］上恒成立,
r
、n I
兀
，一、一
，-I 、、
也就是sin x + 4 > 0在区间［ — a, a ］上恒成立.
由 sin x+4 >0,得 2k 送 x+jw 2卜兀+ 兀 kC Z),解得 2k 兀一j< x<2kTt+ 34r
(ke Z). . _ _ 兀 3兀
所以[—a, a]? 2kL4, 2k%+ — (kCZ),显然当k=0时，上述关系才能成立，
-a>--.
即[—a, a]? --f, 37 ,此时
解得a<-?.从而a 的最大值为，选A.
44
3 兀 4
4
aw T ，
例 3 已知函数 f(x) = sin(④x+ 昉 w >0, |(f)|<2 , x= — j 为 f(x)的零点，x=4为 y=f(x)图 象的对称轴，且f （x ）在京，16t
上单调，则④的最大值为（） A. 11 B. 9
C. 7
D. 5
斛析： 由 f —4=。

佝，—4 3+ 4= k 兀 k C Z),后 k 兀+ — w,则 f (x) = sin co x+ k 兀+ 4 co =
sin 3 x+ 4w , k= 2n
4
,
兀 ， rr 兀 兀 Tt ,
(n C Z).由 f 4 = ± 1,即 sin 4 3 + 4 3 = sin 2w= ± 1,
一 sin 3 x+4 3 , k=2n+ 1
所以 k 只能取 0, — 1, - 2, — 3.当 k= 0 时，(-2, 2);当 k= — 1 时，(2, 6); 当k=- 2时，«€ (6, 10);当k=- 3时，«€ (10, 14).因为 ④是正奇数(不超过12), 所以 «€ {1 , 3, 5, 7, 9, 11}.
万 5 7r TT
117r
当 3=11 时，xC ―, 36 , wx+ 4W= 11x+^-€
D.兀
可知3为正奇数（3>0）.由
n n
2< k7t+ 43V
2K o 55 _K J 2
36-18
-2-4k< «<2-4k, co< 12.
又由于 w> 0,
121兀154兀中行人士 7兀口"、 ,里
面含有丁，则f （x ）
36 36 2
在5,雪上不可能单调，不符合题意. 18 36
99 % 126 兀中-T 人 2n+1
箭 26-，里面不含 一2一迷€ Z) 中的任何一个，f(x)在 白，工上单调,
18 36
综上，3的最大值为9.故选B.
总结求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 ⑴求单调区间的两种方法：
①代换法：求形如 y=Asin(cox+ @(或 y=Acos(cox+(j)(A, w,())为常数，A WQ W >0) 的单调区间
时，令 cox+(j)= z,则y = Asin z(或y = Acos z),然后由复合函数 的单调性求得.
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.
(2)判断对称中心与对称轴： 利用函数y=Asin(cox+昉的对称轴一定经过图象的最高点或 最低点，对称中心一定是函数值等于零的点这一性质，通过检验
f(xo)的值进行判断.
(3)三角函数的周期的求法： ①定义法.②公式法：y=Asin(cox+昉和y=Acos(cox+ 0
的最小正周期为 汗 y=tan(cox+昉的最小正周期为 产.③利用图象对称性求周期.
心| 心|
课后练习
1. (2019全国卷n)下列函数中，以2为周期且在区间4, 2单调递增的是() A . f(x)= |cos 2x| B . f(x)= |sin 2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)= sin|x|
解析：选A.作出函数 f(x)=|cos 2x|的图象，如图.
J 、/ , 由图象可知f(x) = |cos 2x|的周期为2,在区间：，2上单调递增.
号4 晋〉普“
同理可得f(x)=|sin 2x|的周期为2t
，在区间4, 2上单调递减，f(x)=cos|x|的周期为2 71f(x) = sin 冈不是周期函数，排除 B, C, D.故选A. 3
兀 8兀 14兀厂一 _
2. (2019长沙*II 拟)已知函数f(x)=2cos cox+ 6(co>0)满足：f 目=
f^~，且在区间
8 兀 14 兀，.一 .. . .......... .। 一
竽 14工内有最大值但没有最小值.给出下列四个命题: 3 3
7t
18，36，④x+ 4(D =9X +了3e
符合题意.
pi: f(x)在区间［0 , 2兀上单调递减；p2： f(x)的最小正周期是 4 % P 3： f(x)的图象关于直线x=2^■称；P 4： f(x)的图象关于点 一学 0对称.
其中的真命题是() A . p i , P 2 B.
p i, P 3
C. P 2, P 4
D. P 3, P 4
解析：选C.由题意得，当x= 3
3
, f(x)取得最大彳t,则 cos11%+2 = i, 2
3 3 6
11「+ 2= 2k% 3= * 1 (kC N *),又易知 T= 2-^> 14工等三 2 兀，0<
1,所以 k =
3 6 22 co 3 3
1 _ x 兀… ............ ...... 27t, … 1, 3=2, f(x) = 2cos 2+6 .故 f(x)的最小正周期 T=—=4it, P 2是真命题， 又£—4^=0，因此f(x)的图象关于点 一• 0对称，P 4是真命题.故选 C. 3 3
考点三与三角函数有关的值域、最值
小 上心 sin 2x+ sin x., 例⑴函数f (x)
=-*的值域为 --------------------------
sin 2x+ sin x
斛析：f
(x)=
sin x =2C0
s x
+1,且x
次为所以彳3域为(
T,
3)
-
......... ，一… C 1 - 兀 —
(2)(2019 苏州模拟)已知函数 f(x) = — 10sin 4
x —10sin x-2, xC -2, m 的值域为
1 ........ 一
--,2 ,则实数m 的取值范围是( )
3
1 -
1 一
，、
10 t+2 +2.因为函数的取大值为
2,显然此时t= —5.令g(t) = —万，得t=— 1或t=0,
由题意知xC -2 m ,当x=—^, t=—1, g( —1)= —结合g ⑴的图象及函数的 值域为 —1, 2 ,可得—1< sin m< 0,解得—-?< mW 0.故选B.
4
2
6
总结：求三角函数在指定区间上最值的类型和方法 (1)化归与整体意识：化一角一函数型的三角函数形如
f(x)= Asin(wx+(j))+ B,注意x 的
范围.
(2)换元转化意识：对于 f(x)=asin 2
x+ bsin x+ c 和 y= a(sin x+ cos x) + bsin xcos x+c 型
常用换元法，转化为二次函数在限定区间上的最值问题.
A.
0 B.
-6c , 0
C.-
兀 3
jr
6
D.
jt _rt
6' 3
__ _ 、一_ 兀__ _ _ . ... c 1 解析：选 B.记 t=sin x, xC —2, m ,则函数 f(x)可转化为 g(t) = - 10t2—10t-- = —
变式训练
1,已知函数f(x)=sin wx+ 4 (w>0)在 温 3上有最大值，但没有最小值，则 ④的取 值范围是 ________
最小正周期T=2f=
1 兀 兀上八ur ,…、r
2.函数 f(x)=5sin x+3 +cosx —g 的取大值为( )
6 3 1 A. 5 B. 1
C.5
D.
解析： 选 A.cos x-6 = cos 2— x+3 =sin sin
x+3 ,函数的最大值为6.
3,定义一种运算
a b =ad-bc,将函数
c d
解析：选 C.f(x)= 2cosx — 2msin x= 4cos x+3 ,
依题意 g(x) = f(x+ @ = 4cos x+3c
+。

是偶函数(其中(f)> 0).
2
4= k Tt, k C Z ,则际所=;兀.
3
解析：由题意得:
兀3
12
,兀 兀，〜 兀 兀 3兀，~
r" 4 -<-+k^k Tt< 3w+4<-+ 2k
^,底 Z , T = 2 Tt 兀 兀_ 1
- m ------ ■=-
-w<3+24k, kC Z, 15
3〈分 6k, kC Z,
4 得
观察可得
3
一 一 3 一3
k=0,故 coC -, 3 .答案：3
0V co<8,
课后练习
1
函数f(x)=E 的最小正周期为
c 兀 - B. 2 C.兀 D. 2兀
sin x 解析：选C.f(x)
tan x 1 + tan 2
x
cos x sin 2
x
1 + cos 2
x
sin xcos x
cos 2
x+ sin 2
x
1 . = sin xcos x=2sm 2x,所以 f(x)的 5
兀 r, 、 1 兀，• 兀 6
x+-,贝U f(x) = 5sin x + 3 +sin x+- =-
2 2sin x
f(x)=
的图象向左平移
(X(f)> 0)
个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则
4的最小值是(
)
A. _K
6 兀 2
兀
3 C. 3 D. 5_K 6 7
…兀 r 0 x、E一切，4.已知函数f(x) =Asin( 3 x+(j))(A>0, w> 0),右f(x)在区间0, /上是单倜函数，
一兀一………
且f(一兀4f(0) = — f 2 ,则 3的值为 .
.・一 ... ■TT .. 一一.T 7r.. …... …
解析：因为f(x)在0, 2上单调，所以->2,即T>兀若T= 为则3=2;若T>为因为f(- Tt>f(0) = -f 2 ,所以直线 x=-2fe f(x)的图象的一条对称轴，且在区间
0, 2上f(x)图象的对称中心是4, 0，所以4= j一一2 = ?，所以T= 3 & 3= -^
2
=二
3.
，一 2 ,
答案：2或2
3。