(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第三节 二次函数与幂函数 理

第三节 二次函数与幂函数

A 组 专项基础测试 三年模拟精选

一、选择题

1．(2015·西安八校联考)若关于x 的方程x 2

＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，则实数m

的取值范围是( ) A ．(－1，1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－2，2)

解析 因为关于x 的方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝m 2

－4×14×1

＞0，即m 2

＞1，解得m ＜－1或m ＞1，故选B. 答案 B

2．(2015·安徽淮南模拟)设函数y ＝x 1

3与y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区

间是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，14 解析 构造函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，从而转化为函数的零点的问题，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12· f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13<0，所以在⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，12存在零点，故选B.

答案 B

3．(2015·广东汕头一中月考)若a <0，则下列不等式成立的是( )

A ．2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a

>(0.2)a

B ．(0.2)a

>⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a

>2a C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a

>(0.2)a

>2a D ．2a >(0.2)a

>⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a

解析 若a <0，则幂函数y ＝x a

在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a

>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a

>0.所以(0.2)a

>⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a

>2a .

答案 B

4．(2014·海南万宁二模)设f (x )＝|2－x 2

|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(0，2)

B ．(0，2)

C ．(0，4)

D ．(0，22)

解析 ∵f (a )＝f (b )，且0<a <b ，则a <2<b ，∴|2－a 2

|＝|2－b 2

|，即a 2

＋b 2

＝4.由(a ＋

b )2≤2(a 2＋b 2)，易知a ＋b ≤22(当且仅当a ＝b 时取等号)，又0<a <b ，故0<a ＋b <2 2.

答案 D 二、填空题

5．(2014·杭州模拟)若(a ＋1)－

12

<(3－2a )

－

12

，则a 的取值范围是________．

解析 令f (x )＝x

－

12

＝

1

x

，则f (x )的定义域是{x |x >0}，且在(0，＋∞)上单调递减，则

原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，

解得23<a <3

2

.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫23，32

三、解答题

6．(2014·深圳模拟)指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－22的

大小．

解 f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋1（x ＋2）

2＝1＋(x ＋2)－2，其图象可由幂函数y ＝x －2

向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图象关于直线x ＝－2对称(如图)．

又∵－2－(－π)＝π－2＜－22－(－2)＝2－2

2

， ∴f (－π)＞f ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－

22. 一年创新演练

7．设a ＝0.512，b ＝0.914

，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是________．

解析 a ＝0.5

12

＝0.25

14

，b ＝0.9

14

，所以根据幂函数的性质知b >a >0，而c ＝

log 50.3<0，所以b >a >c . 答案 b >a >c

B 组 专项提升测试 三年模拟精选

一、选择题

8．(2015·山东滨州模拟)定义在R 上的函数f (x )，当x ∈(－1，1]时，f (x )＝x 2

－x ，且对任意的x 满足f (x －2)＝af (x )(常数a >0)，则函数f (x )在区间(5，7]上的最小值是( ) A ．－14

a 3

B.14

a 3

C.14a

3 D ．－14a

3

解析 f (x －2)＝af (x )⇒f (x －4)＝af (x －2)＝a 2

f (x )⇒f (x －6)＝af (x －4)＝a 3

f (x )，x ∈(5，7]⇒x －6∈(－1，1]，则f (x )＝

1

a

3

f (x －6)＝

1

a

3

[(x －6)2

－(x －6)]＝

1

a 3

⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －6）－122

－14a 3

，当x －6＝12时，f (x )有最小值为－14a 3

. 答案 D

9．(2015·广东湛江模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

8，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，

y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：

①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 2)<x 2f (x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）

x 2

. 其中正确结论的序号是( ) A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．②③

解析 设幂函数为y ＝x n

，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＝2－3n ＝24＝2－32，得n ＝12，则幂函数为y ＝x ，由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x 增大而减小，即

f （x 2）x 2<f （x 1）

x 1

，x 1f (x 2)<x 2f (x 1)，所以②③正确，选D.

答案 D 二、填空题

10．(2013·江苏无锡一模)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x

，g (x )＝x 2

，则h (3)的值等于________．