定积分的定义在求无穷和式极限中的应用

度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
（６）对已建立协议的教学实习基地要不断加强联系与 交流，建立牢固的长期合作关系，每学年邀请基地领导来 我院共同研究实习基地建设问题，并做好年度实习基地建 设工作总结。继续考察、遴选新的实习基地，加快建立满 足新专业要求的实习基地。
（７）积极开展第二课堂活动，推进导师制，言传身教 使学生在参加科技实践创新活动中，提高实践能力及创新 能力。
在高等数学的教学中，介绍了很多求函数极限的方
法。但是当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形
式（以下简称无穷和式），就不能用这些常规的方法了。
通常是先求出无穷数列前ｎ项的和，再求和式的极限。但当
数列的前ｎ项的和不易求出时，我们就可以考虑用定积分的
定义来求它的极限了。
学过定积分的定义，我们知道定积分是积分和的极
参考文献： ［１］ 常 庚 哲 等 ．数 学 分 析 教 程 （上 ）［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版
社，２００３：３００～３３１． ［２］ 吉米多维奇．数学分析习题集题解（六）［Ｍ］．济南：山东科学技术
出版社，２００２：１０３～１４８． ［３］ 上海财经大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．上海：上海财经大学出
（３）出台相应的激励政策，鼓励教师参与实践教学的 改革，并通过实践教学活动和科研有机结合起来，产学研 相长，不断提高实践教学水平。
（４）在进行各教学环节的调整和改革时，以院主管教 学的领导牵头，教办协助各教研室、实验室组织实施，最 终确定合理的整改方案并在学院内制度化，形成教学的管 理规范。
（５）以各课程组为单位，收集、论证并提供实验室所 需仪器设备，建设满足学生从基本技能操作训练、综合实 验到参与进行科研项目研究等的实验室。
（５）创建新的实践环节考核制度。实践环节的考核是 检验和推进实践水平的主要手段。要改变从过去考核实验 和实习报告为主的传统考评方法向将来的考核放在学生在 实践教学过程中所表现出来的主动性与创新性的综合能力 为主的考评方法过渡，即对学生的考核包括实验报告和实 践总结的撰写水平、实验理论的书面考核、实践过程的态
（４）改进实践教学的方法。改变实验和实习教学由实 验技术人员准备实验和实习、教师讲解、学生照做的传统 方法，突出学生在实验和实习教学中的主体地位，淡化教 师的设计者或领导者的角色，强化教师的引导者和指导者 的作用，逐步实现实验室开放，充分利用各类实验室和实 习基地教学资源，尽可能多给学生提供动手的机会和思考 的余地，重点培养学生的独立思考、独立设计、独立操 作、独立分析能力。丰富本专业实验课程体系的内涵。
故不能用无穷小的性质。否则会得到错误的答案，而应该
先计算出数列通项的和，再求和式的极限。
解：
＝
．
分去求值。通过同例２一样的分析可知此题可看成 在区间［０，１］上的一个和式的极限。
解：
＝
。
例４：求极限
。
分析：此题所研究的极限为ｎ项和的形式，可看成函数
在区间［０，１］上的一个和式的极限。
解：
例２：求极限
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教育与人才
和发挥专业知识，扩展知识面，培养能力，提高综合素质 的机会。在短学期实践教学过程中，学生可能会遇到许多 课堂上没讲到的问题，通过独立思考，深入研究专业知 识，用查阅文献资料和进一步实践操作等办法解决问题， 从而可以锻炼学生操作和应用能力，提高学生运用和掌握 知识的水平，培养学生科研和创新能力等。
参考文献： ［１］ 吴 立 根 ． 食 品 质 量 与 安 全 专 业 的 实 践 教 学 体 系 构 建 与 改 进
［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２００８，１７（１）：６０～６２． ［２］ 朱正伟，刘东燕，何 敏．进一步加强高校实践教学环节的思考
［Ｊ］．高等理科教育，２００８（２）：７４～７６． ［３］ 励建荣，邓少平，顾振宇等．我国食品质量与安全专业人才教育
在［０，１］上连续，所以
。
存在。即：
例６：求极限
。
原式＝
。
分析：此题可看成函数
在区间［０，１］上的定
例３：求极限
。
积分。
分析：此题所研究的和式为ｎ项和的形式，可化为定积
解：
收稿日期：２００９－１２－０６ 修回日期：２００９－１２－２７
（下转第７７页）
作者简介：刘涛（１９７９－），男，湖北蕲春籍，主要从事高等数学教学和研究工作。
模式的思考与实践［Ｊ］．中国食品学报，２００４，（４）：１０９～１１２．
（上接 第８ ６页）
。
综上所述，数列无穷和式的极限可依据定积分的定义
将其转化为定积分的积分和的形式，即
，
只要给出了函数ｆ（ｘ）和区间［ａ，ｂ］，就可以通过计算定积分
来求和式的极限。但是函数ｆ（ｘ）与区间［ａ，ｂ］的选取方法往
往不是唯一的。我们可以根据具体问题有针对性地选取。
版社，２００５：２２５～２３６．
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中国西部科技 ２０１０年０１月（下旬）第０９卷第０３期总第２００期
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
刘涛
（黄石理工学院，湖北 黄石 ４３５０００）
摘 要：本文从定积分定义出发， 介绍了利用定积分的定义来求无穷和式的极限的若干方法。 关键词：极限；连续函数；无穷和式；积分和式
Abstract:From the aspect of definition of definite integral,the author has introduced several methods of how to calculate the limit of infinite sum by using the definition of definite integral. Key words:limit;Continuous function;Infinite sum;Integral sum
。
通过上述四个例题的分析，我们知道数列的ｎ项之和的
分析：此题所研究的和式为ｎ项和的形式，却不易求出 极限可以通过定积分的定义来计算。下面举例说明含有三
该数列的前ｎ项和，所以不能像例１那样先求和再求极限， 角函数数列的ｎ项之和的极限的求法。
而应该用定积分的定义来求。如能找到函数ｆ（ｘ）和区间
例５：求极限
限，也是无穷和式的极限，即
．故对
某些无穷和式的极限，只要能将此和式写成某个函数在某
个 区 间 上 的 积 分 和 的 形 式 ， 其 关 键 是 函 数 ｆ（ｘ）和 区 间
［ａ，ｂ］的确定，这样就可以利用定积分求此极限。下面就通
过若干实例来进行说明。
例１：求极限
。
分析：这个极限为“无穷多个无穷小之和”的形式，
。
［ａ，ｂ］，构成
的形式，则可化为定积分去求值。
分析：此题所研究的是］上的一个积分和式，又由于ｓｉｎｘ是
连续函数，所以
存在。
解：
这样变化就可看成是函数
在区间［０，１］上将区
间［０，１］ｎ等分，且取子区间右端点
为介点构成的积分
和式的极限，由于
（３）改进实验教学的内容。实验教学课程的安排本着 “厚基础、强技能”的原则，优化实验课程体系。基础课 实验注重与食品安全相关的化学实验，主要夯实学生的基 本实验技能、实验素质的培养。专业基础课实验则偏重于 食品工艺学、食品化学、食品微生物学、生物化学实验知 识，强化学生对食品中某些成分的动态变化，了解与食品 相关的生化反应，利于食品“生产、流通和销售”的质量 管理。专业课和专业选修课程的实验教学，注重学生食品 检测、检验技术、食品安全评价等能力的培养，提高学生 的实践技能。在实验教学内容设置上形成以基础训练为主 的验证性实验、以提高综合能力为主的综合性实验、以提 高研究能力和创新思维为主的研究性或创新性实验等不同 层次实验类型的实验教学内容，突出设计性、综合性实 验，兼顾实验内容的与时俱进。三类课程实验教学相辅相 成，实验内容有机结合，满足社会对食品质量与安全专业 实践能力培养目标的需要。