2020届新高考艺术生数学复习课件：第六章 第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，
错误的打“×”． (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( ) (2)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于 A 点，记
作 α∩β＝A.( ) (3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ) (5)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不 可能是平行直线．( ) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
求证：(1)E，C，D1，F 四点共面． (2)CE，D1F，DA 交于一点．
证明：(1)如图，连接 CD1，EF，A1B，
因为 E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，所以 EF∥A1B 且 EF＝12A1B. 又因为 A1D1∥BC，且 A1D1＝BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四 边形．所以 A1B∥CD1， 所以 EF∥CD1， 即 EF 与 CD1 确定一个平面 α. 且 E，F，C，D1∈α， 即 E，C，D1，F 四点共面．
邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形．]
3．如图正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点则 这四个点不共面的一个图是( )
解析：D [A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．]
4．已知直线 a，b，c，有下面四个命题： ①若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面； ②若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交； ③若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等； ④若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c. 其中真命题的序号是 __________ . 解析：①a，c 可能相交、平行或异面；②a，c 可能相交、平行 或异面；③正确；④a，c 可能相交、平行或异面． 答案：③
高考总复习
第六章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置
关系
艺考生山东版数学
最新考纲
1.理解空间直 线、平面位置关 系的定义． 2.了解可以作为 推理依据的公理 和定理． 3.能运用公理、 定理和已获得的 结论证明一些空 间位置关系的简 单命题
核心素养
1.平面的基本性质及 应用，增强逻辑推 理和数学抽象的素 养． 2.空间两直线的位置 关系，达成直观想 象和逻辑推理的素 养． 3.异面直线所成的 角，提升直观想 象、数学抽象和数 学运算的素养
考点二 空间两直线的位置关系(自主练透)
直观想象——空间中线线位置关系中的核心素养 平面几何和立体几何在线与线的位置关系中是不同的，借助确定 的空间几何体模型，利用直观想象来研究和判定线与线的位置关系显 得尤为重要．
若 P∈α 且 P∈β， 个公共点，那么
则 α∩β＝a，且 P 它们 有且只
∈a 有一条 过该 点的公共直线
2.空间两条直线的位置关系 位置关系的分类 共面 ① 相交 直线：同一平面内，有且只有 一个 公共点； 直线 ② 平行 直线：同一平面内， 没有 公共点. 异面直线：不同在 任何 一个平面内， 没有 公共点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，因为 G、H 分别为 FA、FD 的中点，所 以 GH∥AD 且 GH＝12AD， 又 BC∥AD 且 BC＝12AD， 故 GH∥BC 且 GH＝BC， 所以四边形 BCHG 是平行四边形．
5．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE， BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，
①GH 与 EF 平行； ②BD 与 MN 为异面直线； ③GH 与 MN 成 60°角； ④DE 与 MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 ________ .
解析：还原成正四面体知 G H 与 EF 为异面直线，B D 与 M N 为
[命题角度 3] 证明三点共线 3．如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点， G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线．
证明：(1)∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD.在△BCD 中，GBGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C 三点共线．
3．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 . 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或 互补 . 5．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直 线 a 与 b 所成的角． (2)范围：0 载体，考查与点、线、面的 位置关系等有关命题真假的 判断、求异面直线所成的角 是高考考查的重点．判断空 间线面的位置关系可以用相 关定理进行判断．也可以构 造长方体模型来判断，还可 以直接举反例来判断。题型 既有选择题、填空题，又有 解答题，一般难度不会太 大，属中低档题型
证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化 归为证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面 的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线．
[跟踪训练] 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC，AD， DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F，求证：E，F，G，H 四点 必定共线．
(1)求 AH∶HD； (2)求证：EH、FG、BD 三线共点．
解：(1)∵AEEB＝CFBF＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面 ACD，而 EF⊂平面 EFGH， 平面 EFGH∩平面 ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴HAHD＝GCGD＝3，∴AH∶HD＝3∶1.
(2)证明：∵EF∥GH，且AECF＝13，GACH＝14， ∴EF≠GH，∴四边形 EFGH 为梯形． 令 EH∩FG＝P，则 P∈EH，而 EH⊂平面 ABD， 又 P∈FG，FG⊂平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD，∴EH、FG、BD 三线共点．
6．空间直线、平面的位置关系 图形语言 符号语言
公共点
相交 直线
与平 面
平行 在平
面内
a∩α＝A
1个
a∥α a⊂α
0个 无数 个
平面 平行 与平
面 相交
α∥β
0个
α∩β＝l
无数 个
1.公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是 异面直线．
异面直线，G H 与 M N 成 60°角，D E⊥M N .
答案：②③④
考点一 平面的基本性质及应用(多维探究) [命题角度 1] 证明点、线共面 1．如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都 是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD 且 BC＝12AD，BE∥AF 且 BE＝12AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
[小题查验] 1．已知 l，m，n 为不同的直线，α，β，γ 为不同的平面，则下 列判断正确的是( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n C．若 α∩β＝l，m∥α，m∥β，则 m∥l D．若 α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则 l⊥α
解析：C [A 中，m ，n 可能的位置关系为平行、相交、异面， 故 A 错误；B 中，m 与 n 也有可能平行，B 错误；C 中，根据线面平
证明：因为 AB∥CD，所以 AB，CD 确定一个平面 β. 又因为 AB∩α＝E，AB⊂β，所以 E∈α，E∈β，即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点． 同理可证 F，G，H 均为平面 α 与 β 的公共点， 因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直 线， 所以 E，F，G，H 四点必定共线．
(2)由(1)可知，EF∥CD1，且 EF＝12CD1，所以四边形 CD1FE 是 梯形．所以 CE 与 D1F 必相交．设交点为 P，如图，则 P∈CE⊂平面 ABCD，且 P∈D1F⊂平面 A1ADD1.又因为平面 ABCD∩平面 A1ADD1 ＝AD，所以 P∈AD，所以 CE，D1F，DA 交于一点．
(2)C，D，F，E 四点共面．理由如下： 由 BE∥AF 且 BE＝12AF，G 是 FA 的中点知 BE∥GF 且 BE＝GF， 所以四边形 EFGB 是平行四边形，所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH， 故 EC，FH 共面．又点 D 在直线 FH 上， 所以 C，D，F，E 四点共面．
[跟踪训练] 如图，ABCD－A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O 三点共线 C．A，M，C，O 不共面
B．A，M，O，A1 不共面 D．B，B1，O，M 共面
解析：A [连接 A1C1，AC，则 A1C1∥AC，所以 A1，C1，C，A 四点共面，所以 A1C⊂平面 ACC1A1.
因为 M∈A1C，所以 M∈平面 ACC1A1，又 M∈平面 AB1D1，所 以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，所以 A，M，O 三点共线．故选 A.]
[命题角度 2] 证明三线共点 2．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，
行的性质可知 C 正确；D 中，若 m ∥n，根据线面垂直的判定可知 D
错误，故选 C .]
2．(人教 A 版教材习题改编)空间四边形的两条对角线互相垂直，
顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
解析：B [顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边
形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两
1．平面的基本性质 图形
公理 1
文字语言 如果一条直线 上的 两点 在一个平面内， 那么这条直线
在此平面内
符号语言
A∈l BA∈ ∈lα⇒l⊂α B∈α
公理 2 公理 3
过不在 同一 A，B，C 三点不共 条直线上的三 线⇒有且只有一 点 ，有且只有 个平面 α，使 A∈
一个平面 α，B∈α，C∈α 如果两个不重 合的平面有一
证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共 点，则这三点都在交线上，即三点共线． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线 上，从而得三点共线．
[跟踪训练] 如图，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上， 且满足 AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过 E、F、G 的 平面交 AD 于点 H.
点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分 点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元 素确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． (3)反证法． 提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的 平面内是否能证明．