高中文科数学公式大全(完整完全精华版)

高中数学公式及知识点速记
1、函数的单调性
(1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，
若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； 若()=0f x '，则)(x f 有极值。

2、函数的奇偶性
若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。

若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
4、几种常见函数的导数
①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧x
x 1
)(ln '= 5、导数的运算法则
（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.
（3）''
'2
()u u v uv v v -=.
6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时：
① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂
(1)
m n
a =
(2)1m n
m n
a
a
-
=
=
.
8、根式的性质 （1
）n a =.
（2）当n
a =；
当n
,0
||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
.
9、有理指数幂的运算性质 (1)r
s r s a
a a +⋅=；
(2)()r s
rs
a a =；
(3)()r r r
ab a b =. 10、对数公式
（1）指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=。

（2）对数的换底公式 :log log log m a m N
N a
=.
（ 3）对数恒等式：①log log n a a b n b =； ②log log m n
a a n
b b m
=
； ③log a N
a
N =； ④log 10a =； ⑤log 1a a =
11、常见的函数图象
12、同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ
θ
cos sin .
13、正弦、余弦的诱导公式
诱导公式一：sin(α+k ⋅2π)=sin(α+2k π)=sin α； cos(α+k ⋅2π)=cos(α+2k π)=cos α tan(α+k ⋅2π)=tan(α+2k π)=tan α 诱导公式二：sin(πα+)=－sin α； cos(πα+)=－cos α； tan(πα+)=tan α.
诱导公式三：sin （α－）=－sin α； cos （α－）=cos α； tan （α－）=－tan α. 诱导公式四：sin(πα-)=sin α； cos(πα-)=－cos α； tan(πα-)=－tan α. 诱导公式五：sin(2
π
α-)=cos α；
cos(
2
π
α-)=sin α； 诱导公式六：sin(2
π
α+)=cos α；
cos(
2
π
α+)=－sin α.
14、和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±
=.
sin cos a b αα+)αϕ+；(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ= ). 15、二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 公式变形： ;
2
2cos 1sin ,2cos 1sin 2;
2
2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α
αααα
ααα-=-=+=+=
16、三角函数的周期
函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期2||
T π
ω=
，最大值为|A|；函数tan()y A x ωϕ=+（2
x k π
π≠+
）的周期||
T πω=
. 17.正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔=== ::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= 18.余弦定理
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-. 19.面积定理
111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
20、三角形内角和定理
在△ABC 中，有A B C π++= ()C A B dx π⇔=-+ 222
C A B π+⇔=- 222()C A B π⇔=-+.
21、三角函数的性质
22、a 与b 的数量积:a ·b =|a |⋅|b |cos θ． 23、平面向量的坐标运算
(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (3)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +. (6)设a =),(y x ，则22y x a +=
24、两向量的夹角公式：21
cos x
a b x a b
θ⋅=
=
+⋅；(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
25、平面两点间的距离公式：,A B d =||AB =26、向量的平行与垂直： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则
a ∥
b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b ⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 27、数列的通项公式与前n 项的和的关系
11
,
1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩；( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++
+).
28、等差数列的通项公式
11(1)n a a n d dn a d =+-=+-；
29、等差数列其前n 项和公式为 1()2
n n n a a s +=
1(1)
2n n na d -=+. 30、等差数列的性质：
①等差中项：2n a =1n a -+1n a +； ②若m+n=p+q ，则m a +n a =p a +q a ；
③m S ，2m S ，3m S 分别为前m ，前2m ，前3m 项的和，则m S ，2m S -m S ，3m S -2m S 成等差数列。

31、等比数列的通项公式 11n n a a q -=；
32、等比数列前n 项的和公式为
11
(1)
,11,1n n a q q q s na q ⎧-≠⎪
-=⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a q q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.
33、等比数列的性质： ①等比中项：2
n b =11n n b b -+⋅； ②若m+n=p+q ，则m n b b ⋅=p q b b ⋅；
③m S ，2m S ，3m S 分别为前m ，前2m ，前3m
项的和，则m S ，2m S -m S ，3m S -2m S 成等比数列。

34、常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈⇒2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
35、直线的3种方程
（1）点斜式：11()y y k x x -=-； (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式：y kx b =+；(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式：0Ax By C ++=；(其中A 、B 不同时为0). 36、两条直线的平行和垂直
若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠且; ②12121l l k k ⊥⇔⋅=-.
37、点到直线的距离
d =； (点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
38、 圆的2种方程
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨=+⎩.
39、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =
d r >⇔点P 在圆外; d r =⇔点P 在圆上; d r <⇔点P 在圆内. 40、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 其中2
2
B
A C Bb Aa d +++=
0d r >⇔⇔∆<相离方程组无解：；
0d r =⇔⇔∆=相切方程组有唯一解：；
0d r <⇔⇔∆>相交方程组有两个解：.
41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
①椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，焦点（±c,0），222b c a =-，离心率2=2a c
e c a =
=焦距长轴，参数方程是cos sin x a y b θ
θ
=⎧⎨=⎩.
②双曲线：122
22=-b y a x (a>0,b>0)，焦点（±c,0），222b a c =-，离心率2=2a c e c a =
=焦距长轴，渐近线方程是x a
b y ±=.
③抛物线：px y 22=，焦点)0,2
(p
,准线2p x -=。

抛物线上的点到焦点距离等于它到准线
的距离.
42、双曲线的方程与渐近线方程的关系
若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a
b
y ±=.
43、抛物线px y 22=的焦半径公式
抛物线22y px =的焦半径2||0p x PF +=.（抛物线上的点（0x ，0y ）到焦点（2
p
，0）距离。

）
44、平均数、方差、标准差的计算
平均数:n
x x x x n
++=21；
方差:])()()[(1
222212x x x x x x n s n -+-+-= ；
标准差:])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -+-+-= ； 45、回归直线方程
y a bx =+，其中()()()1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑. 46、独立性检验
)
)()()(()
(2
2d b c a d c b a bd ac n K ++++-=；n=a+b+c+d.
①K ﹥6.635，有99%的把握认为X 和Y 有关系； ②K ﹥3.841，有95%的把握认为X 和Y 有关系； ③K ﹥2.706，有90%的把握认为X 和Y 有关系； ④K ≤2.706，X 和Y 没关系。

47、复数
①z a bi =+共轭复数为z a bi =-；
②复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==；
③复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +
④复数的四则运算法则
(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++； (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-； (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；
(4)()222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad
a bi c di i c d c d c d ++-+-+÷+=+=+++
⑤ 复数的乘法的运算律 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.
结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否互逆否互为逆否
互
互逆
否
互48、参数方程、极坐标化成直角坐标
①⎩⎨⎧==y x θρθρsin cos ； ② ⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=)
0(tan 2
22x x y y x θρ 49、命题、充要条件
充要条件（记p 表示条件，q 表示结论；即命题“若p ，则q ”） ①充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. ②必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
③充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. ④命题“若p ，则q ”的否命题：若p ⌝，则q ⌝；
否定：若p ，则q ⌝
50、真值表
51、量词的否定
①含有一个量词的全称命题的否定:
全称命题p ：,()x M p x ∀∈,它的否定 p ⌝：00,()x M p x ⌝∃∈ ②含有一个量词的特称命题的否定:
特称命题p ：00,()x M p x ∃∈ ,它的否定p ⌝：,()x M p x ⌝∀∈
52、空间点、直线、平面之间的位置关系
①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理1的作用：判断直线是否在平面内
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理2的作用：确定一个平面的依据。

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。

公理2 推论3：两条平行直线确定一个平面。

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据 53、空间中直线与直线之间的位置关系 ①空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内；没有公共点；
异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

注意点：
1.两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；
2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；
3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线在平面外 直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
直线在平面平行 —— 没有公共点
注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a ∩α=A a ∥α
55、直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a α
b β ⇒ a ∥α a ∥b
C ·
B
· A · α P · α L
β 共面直线
⇒a ∥c 2π
56、平面与平面平行的判定
①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。

符号表示：a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
②判断两平面平行的方法有三种：
（1）判定定理；
（2）平行于同一平面的两个平面平行；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

57、直线与平面、平面与平面平行的性质
①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
③两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。

58、直线与平面垂直的判定
①定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。

l
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

α p
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

59、平面与平面垂直的判定
①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

60、直线与平面、平面与平面垂直的性质
①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

②性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。