2021-2022学年江苏省镇江一中高二(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年江苏省镇江一中高二（上）月考数学试卷
（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为( )
A. 43，5
3
B. −43，−5
3
C. −34，−5
4
D. 34，5
4
2. 在复平面内，复数6+5i 与−3+4i 对应向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( )
A. −1+9i
B. 9+i
C. −9−i
D. 9−i
3. 下列说法正确的是( )
A. “a =−1“是“直线a 2x −y +1=0与直线x −ay −2=0互相垂直”的充要
条件
B. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y −2=0
C. 过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)两点的所有直线的方程为y−y 1
y 2−y 1=x−x 1
x 2−x 1
D. 直线ax +2y +6=0与直线x +(a −1)y +a 2−1=0互相平行，则a =−1
4. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列说法正确的是( )
A. 若a//α，b ⊂α，则a//b
B. 若a//b ，a//α，则b//α
C. 若a ⊥α，a//β，则α⊥β
D. 若a ⊥α，a ⊥b ，则b//α
5. 若α∈[π6,π
2)，则直线4xcosα+6y −7=0的倾斜角的取值范围是( )
A. [π6,π
2)
B. [5π
6,π)
C. (0,π
6]
D. (π2,5π
6]
6. 已知圆锥的母线长为3√2，其侧面展开图是一个圆心角为2π
3的扇形，则该圆锥的底
面面积是( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
7. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和
x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )
A. 2√3
B. 2√5
C. 2
D. 4
8. 已知三条直线l 1：
mx +ny =0，l 2：nx −my +3m −n =0，l 3：ax +by +c =0，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且a +c =2b.设直线l 1，l 2交于点P ，则点P 到直线l 3的距离的最大值是( )
A. √10+5√22
B. √102+√58
2 C. √10+√582 D. √102+5√2
2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知复数z =√3+i(i 为虚数单位)，z −
为z 的共轭复数，若复数z 0=z
−
z
，则下列结论
正确的是( )
A. z 0在复平面内对应的点位于第四象限
B. |z 0|=1
C. z 0的实部为1
2
D. z 0的虚部为√32
10. 已知直线l ：kx +y =0与圆M ：x 2+y 2−2x −2y +1=0，则下列说法中正确的
是( )
A. 直线l 与圆M 一定相交
B. 若k =0，则直线l 与圆M 相切
C. 当k =−1时，直线1与圆M 的相交弦最长
D. 圆心M 到直线l 的距离的最大值为√2
11. 光线自点(2,4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y =kx +1反射后经过点(5,0)，则
反射光线还经过下列哪个点( )
A. (14,2)
B. (14,9
8)
C. (13,2)
D. (13,1)
12. 已知图1中的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，体积为2√2，去掉其侧棱，再
将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是( )
A. A 2B 2//平面ABC
B. AB 2=2√63
C. 四边形ABA 2B 2为正方形
D. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球的体积相等
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.过点A(1,3)，斜率是直线y=−4x斜率的1
的直线方程为______．
3
14.方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围
为______．
15.直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小
值为______，此时m的值为______．
16.四棱锥A−BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，
∠BCD=60°，且AB=CB=BE=ED=2，则此球的体积等于______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知△ABC的顶点坐标为A(−3,9)、B(2,2)、C(5,3)．
(1)求AC边的长；
(2)求AC边中线所在直线的方程；
(3)求△ABC的面积．
18.如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，
PA=6，BC=8，DF=5.求证：
(1)直线PA//平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC．
19.已知直线l过点(2,1)，点O是坐标原点．
(1)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l方程；
(2)若直线l与x轴正方向交于点A，与y轴正方向交于点B，求OA+OB的最小值及此
时的直线方程．
20.如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−1，在该块
土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．
(1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；
(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．
21.如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长2的等边
三角形，PA=PC=√5，点F在线段BC上，且FC=3BF，
D为AC的中点，E为的PD中点．
(Ⅰ)求证：EF//平面PAB；
(Ⅱ)若二面角P−AC−B的平面角的大小为2π
，求直线
3
DF与平面PAC所成角的正弦值．
22.已知直线l：(m+2)x+(1−2m)y+4m−2=0与圆C：x2−2x+y2=0交于M，
N两点．
(1)求出直线l恒过定点的坐标；
(2)求直线l的斜率的取值范围；
(3)若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？
若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线3x +4y +5=0化为y =−3
4x −5
4．
∴直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为−3
4，−5
4． 故选：C ．
把直线方程化为斜截式即可得出．
本题考查了把直线的一般式方程化为斜截式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,5)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−9,−1)， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是−9−i ． 故选：C ．
由向量减法的坐标运算求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则答案可求．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量减法的坐标运算，是基础题．
3.【答案】D
【解析】A 选项：根据直线垂直的定义可知，①若两直线斜率都存在且不为0时，k 1⋅k 2=−1⇔l 1⊥l 2，
本题中当两直线斜率都存在且不为0，即a ≠0时，k 1=1
a 2,k 2=a ， 则当1
a 2⋅a =−1⇔a =−1时，两直线垂直；
②当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直，此时a =0，故A 错误；
B 选项：根据题意假设直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，则有
①当a =b =0时，即直线经过原点，且过点(1,1)，此时直线方程为x −y =0； ②当a =b ≠0时，则可设直线的截距式方程为x
a +y
b =1，代入点(1,1)可得， 直线方程为x +y −2=0；故B 错误；
C选项：根据直线的两点式方程定义可知，若直线经过点(x1,y1)，(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2时，
可得直线的两点式方程为，
但当①x1=x2，y1≠y2时，直线方程为y=y1；②x1≠x2，y1=y2时，直线方程为x=x1；故C错误；
D选项：根据直线平行的判定可知，当两直线的斜率都不存在，或都存在且相等时，两直线平行；
本题中，①当a=0时直线ax+2y+6=0斜率为0，直线x+(a−1)y+a2−1=0斜率为1，此时两直线不平行；
②当a≠0时，k1=−a
2,k2=1
1−a
，若两直线平行，则有−a
2
=1
1−a
，
解之可得，a=2，或a=−1；故D选项正确．
故选：D．
A选项，可根据两直线的垂直关系进行证明，但是在用斜率关系判定直线的垂直关系时，需要考虑斜率不存在的特殊情况；B选项是对直线的截距式方程进行考查，所以可以用直线的截距式方程定义进行求解但需要考直线在坐标轴上的截距为0的特殊情况；C选项主要考查直线的两点式方程定义，在定义中一定要注意条件x1≠x2，y1≠y2；D选项主要考查两直线平行的判定，所以可以根据两直线斜率相等进行判断．
本题主要考查直线位置关系的判定，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A：a//α，b⊂α，则a//b，a与b可能异面；
对于B：a//b，a//α，则b//α，b可能在面α内；
对于C，a⊥α，a//β，则α⊥β，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确；
对于D：a⊥α，a⊥b，则b//α，b可能在面α内．
故选：C．
利用直线与平面的位置关系以及直线与平面垂直的位置关系，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，直线与直线以及直线与平面的平行与垂直关系的应用，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：直线4xcosα+6y−7=0的斜率为−2cosα
3
，
∵α∈[π
6
,
π
2
),∴0<cosα≤
√3
2
,
∴−√3
3≤−2cosα
3
<0，
∴直线4xcosα+6y−7=0的倾斜角的取值范围为[5π
6
,π)，
故选：B．
由α的取值范围求出cosα的范围，进而计算出直线的斜率的范围，再利用直线的倾斜角与斜率关系即可求出倾斜角范围．
本题主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意可得，
3√2=2π
3
，解得r=√2，
所以圆锥的底面面积为π⋅(√2)2=2π．
故选：B．
设圆锥的底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求出半径r，由圆的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，
所以
√12+22=12
√32+42
，
解得|c1−c2|=2√5．
故选：B．
利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．
本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题可知：a +c =2b ，∴直线l 3：ax +a+c 2
y +c =0过定点E(1,−2)，
直线l 1，l 2交点P(n 2−3mn m 2+n 2
,
3m 2−mn m 2+n 2
)，点P 到直线l 3的距离的最大值为P 到定点的距离，即
|PE|， |PE|=√(
3m 2−mn m 2+n 2
−1)2+(
3mn−n 2m 2+n 2
+2)2=√26−
22n 2+4mn m 2+n 2
，
当m =0时，|PE|=2，当n =0时，|PE|=√26， 设n
m =t ，当m ≠0时，|PE|=√26−22×
n 2m 2+4×n m 1+n 2m
2
=√26−
22t 2+4t 1+t 2
，
令y =26−
22t 2+4t 1+t 2
，由判别式法可得：(4−y)t 2−4t +26−y =0，
则△=16−4(4−y)(26−y)≥0，解得y ≤15+5√5， ∴|PE|≤
√102
+
5√2
2
． 故选：D ．
由题可知：a +c =2b ，从而直线l 3：ax +a+c 2
y +c =0过定点E(1,−2)，直线l 1，l 2交
点P(
n 2−3mn m 2+n 2
,
3m 2−mn m 2+n 2
)，点P 到直线l 3的距离的最大值为P 到定点的距离，即|PE|，由此能
求出结果．
本题考查本题考查点到直线的最大距离的求法，考查两直线交点坐标、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：∵z =√3+i ，
∴z 0=z −
z =√3−i √3+i =
(√3−i)2
(√3+i)(√3−i)
=
√3i+i 2(√3)2+12
=
2−2√3i 4
=1
2
−
√3
2
i ， 则z 0在复平面内对应的点位于第四象限，故A 正确； |z 0|=√(1
2)2+(−
√32
)2=1，故B 正确；
z 0的实部为12，故C 正确； z 0的虚部为−√3
2，故D 错误．
由已知利用复数代数形式的乘除运算化简z 0，然后逐一分析四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由x 2+y 2−2x −2y +1=0，得(x −1)2+(y −1)2=1，
直线l ：kx +y =0过原点O ，且不与y 轴重合， ∴当k >0时，直线l 与圆M 相离，故A 错误； 若k =0，则直线l 与圆M 相切，故B 正确； 当k =−1时，直线1过圆心M ，直线l 与圆M 的相交弦最长，故C 正确；
当k =1时，圆心M 到直线l 的距离取最大值为√2，故D 正确． 故选：BCD ．
化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，画出图形，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：由题意知，直线l 的斜率k =tan135°=−1， ∴直线l 的方程为y =−x +1，
设点(2,4)关于直线l 的对称点为B(m,n)，
则{n+42=−
m+22
+1
n−4
m−2
⋅(−1)=−1，解得m =−3，n =−1，
∴B(−3,−1)，
∴反射光线所在直线的方程为y =0−(−1)
5−(−3)⋅(x −5)，即x −8y −5=0， 当x =14时，y =9
8；当x =13时，y =1， ∴反射光线还经过(14,98)和(13,1)．
设点(2,4)关于直线l的对称点为B(m,n)，根据中点坐标公式和两条直线垂直的条件，求出点B的坐标，再由点斜式写出反射光线所在直线的方程，然后代入选项中的点，进行验证即可．
本题考查直线的方程，两条直线的位置关系，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2//平面ABC，
从而A2B2//平面ABC，故A正确；
对于B：因棱柱体积V=S△ABC⋅AA1=√3
4×22⋅AA1=2√2，解得AA1=2√6
3
，
设H为B2在平面ABC上的射影，
如图所示：
则：点H在BO的延长线上，且OH=OB=2√3
3
，
又B2H=OO2=AA1=2√6
3
，
从而AH=AO=BO，
所以AB2=√B2H2+AH2=2，故B错误；
对于C：因为A2B2//A1B1//AB，且A1B1=A2B2=AB，
故四边形ABB2A2为平行四边形，
由对称性可知：AA2=BB2，又AB2=AB=2，
所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；
对于D：因旋转前后正三棱柱ABC−A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．
直接利用柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】4x+3y−13=0
【解析】解：直线y=−4x的斜率是−4，
则所求直线的斜率是1
3×(−4)=−4
3
，
所以直线方程为y−3=−4
3
(x−1)，
化为一般式方程是4x+3y−13=0．
故答案为：4x+3y−13=0．
求出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．
本题考查了直线的斜率与直线方程的求法问题，是基础题．
14.【答案】(0,1)
【解析】解：方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0化为标准方程为(x−a)2+(y−2a)2=a−a2，
则圆心坐标为(a,2a)，
因为方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0表示圆心在第一象限的圆，
所以{a>0
2a>0
a−a2>0
，解得0<a<1，
所以实数a的范围为(0,1)．
故答案为：(0,1)．
先将方程化为标准方程，求出圆心坐标，然后列出不等式组，求解即可．
本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
15.【答案】21
【解析】解：直线l：mx−y+1=0恒过(0,1)，圆x2+y2+4x−6y+4=0的圆心(−2,3)，半径为3，
所以定点与圆心的距离为：√(0+2)2+(1−3)2=2√2，
所以则|MN|的最小值为：2√32−(2√2)2=2，
此时直线MN与定点和圆心连线的直线垂直．可得m=−−2−0
3−1
=1．
故答案为：2；1．
求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值，推出m即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16.【答案】20√5
3
π
【解析】解：如图，
由已知可得，底面四边形BCDE为等腰梯形，
设底面外接圆的圆心为G，连接BG，则2BG=2
sin30o
=4，
∴BG=2，又AB=2，设四棱锥外接球的球心为O，
则OA=√5，即四棱锥外接球的半径为√5．
∴此球的体积等于V=4
3π×(√5)3=20√5
3
π.
故答案为：20√5
3
π.
由题意画出图形，可得底面四边形BCDE为等腰梯形，求底面外接圆的半径，进一步求得四棱锥外接球的半径，代入球的体积公式即可．
本题考查多面体外接球的体积的求法，考查转化思想方法、计算能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)△ABC的顶点坐标为A(−3,9)、B(2,2)、C(5,3)，
则AC=√(5+3)2+(3−9)2=10；
(2)AC的中点M的坐标为(1,6)，
所以直线AM的方程为y−6=9−6
−3−1
(x−1)，
即AC边中线所在直线的方程为4x−y−10=0；
(3)由题意可得，直线AC的方程为y−9=3−9
5−(−3)
(x+3)，即3x−4y−27=0，
所以点B到直线AC的距离为ℎ=
√32+42=13
5
，
则△ABC的面积为S=1
2×AC×ℎ=1
2
×10×13
5
=13．
【解析】(1)利用两点间距离公式求解即可；
(2)求出AC的中点M的坐标，由点斜式求解方程即可；
(3)求出直线AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，由三角形的面积公式求解即可．
本题考查了直线方程的求解与应用，两点间距离公式、点到直线的距离公式的应用，中点坐标公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
18.【答案】证明：(1)∵D、E为PC、AC的中点，
∴DE//PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA//平面DEF；
(2)∵D、E为PC、AC的中点，
∴DE=1
2
PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，
∴EF=1
2
BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE//PA，PA⊥AC，
∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，AC，EF⊂平面ABC，
∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC．
【解析】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，属于中等题．
(1)由D、E为PC、AC的中点，得出DE//PA，从而得出PA//平面DEF；
(2)要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
19.【答案】解：(1)①当直线l过原点时，直线l的方程为y=1
2
x，即x−2y=0，
②当直线l不过原点时，设直线l的方程为x
a +y
a
=1，
代入点(2,1)得：2
a +1
a
=1，
解得：a=3，
所以直线l的方程为x
3+y
3
=1，即x+y−3=0，
综上所述，直线l方程为x−2y=0或x+y−3=0．
(2)设直线l的方程为x
a +y
b
=1(a>0,b>0)，
代入点(2,1)得：2
a +1
b
=1，
∴OA+OB=a+b=(a+b)(2
a +1
b
)=3+2b
a
+a
b
≥3+2√2b
a
⋅a
b
=3+2√2，
当且仅当2b
a =a
b
，即a=2+√2，b=1+√2时，等号成立，
此时直线l的方程为x+2y−(2+√2)=0．
【解析】(1)对直线l是否过原点分情况讨论，分别求出直线l的方程即可．
(2)依题意可设直线l的方程为x
a +y
b
=1(a>0,b>0)，则2
a
+1
b
=1，再利用基本不等式
即可求出a+b的最小值，以及此时直线l的方程．
本题主要考查了直线方程的截距式，考查了基本不等式的应用，是基础题．
20.【答案】解：(1)以点A 为坐标原点，建立平
面直角坐标系如图所示，
由题意，设点P(a,1)，且直线AN 的斜率为k AN =tanα=−1，经过点A(0,0)， 所以直线AN 的方程为x +y =0， 又点P 到直线AN 的距离为√2， 所以
|a+1|√2
=√2，解得a =1或a =−3(舍)，
故点P 的坐标为(1,1)；
(2)由题意可知，直线BC 的斜率一定存在， 设直线BC 的直线方程为y −1=k(x −1)， 联立直线BC 与AN 的方程，{y −1=k(x −1)x +y =0，
解得点C 的坐标为(k−1k+1,1−k
k+1)，
在直线BC 的方程中，令y =0，解得x B =−1
k +1=k−1k
，
所以S △ABC =12⋅
k−1
k
⋅(−
k−1k+1
)=4，
解得k =−1
3，
故直线BC 的方程为x +3y −4=0．
【解析】(1)以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，求出直线AN 的方程，利用点到直线的距离公式求出a 的值，即可得到答案；
(2)设直线BC 的方程，与AN 的方程联立，求出点C 的坐标，由三角形的面积公式求出k 的值，即可得到直线BC 的方程．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】(Ⅰ)证明：如图所示，在平面PAC 内作EG//AC ，交PA 于点G ，
在平面BAC 内作EH//AC ，交BA 于点H ，
则：GE =12AD =1
4AC =FH ，
从而四边形EGHF 为平行四边形，EF//GH ， 而EF 不在平面PAB 内，GH 在平面PAB 内， 故EF //平面PAB ；
(Ⅱ)解：如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DB 方向分别为x 轴，y 轴正方向，与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系D −xyz ，
由于PD =√5−1=2，
故：A(1,0,0),B(0,√3,0),P(0,−1,√3),D(0,0,0),F(−14
,
3√3
4
,0)， 从而：DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−14,3√3
4,0)，
设平面PAC 的法向量为m
⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则：{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅(1,0,0)=x =0
m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅(−1,−1,√3)=−x −y +√3z =0
，
取y =√3，则z =1，x =0，即m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值： sinθ=|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |
|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|m ⃗⃗⃗ |
=
9
42×
√72
=
9√728
．
【解析】(Ⅰ)作出辅助线，利用线面平行的判断定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后计算线面角的正弦值即可．
本题主要考查线面平行的证明，空间直角坐标系的应用等知识，属于中等题．
22.【答案】解：(1)由直线l ：(m +2)x +(1−2m)y +4m −2=0，
得m(x −2y +4)+(2x +y −2)=0， 联立{x −2y +4=02x +y −2=0，解得{x =0y =2，
∴直线l 恒过定点(0,2)；
(2)由圆C ：x 2−2x +y 2=0，知圆心C(1,0)，半径r =1， 当直线l 和圆C 相切时，√(m+2)2+(1−2m)2
=1，
得m =1
2或m =−1
2，
当m =12时，直线l 方程x =0，
当m =−12时，直线l 方程3x +4y −8=0，
∴直线l 与圆C 相交时，直线l 的斜率取值范围(−3
4,0)； (3)由(2)知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +b ， 联立{y =kx +b
x 2−2x +y 2
=0，得(1+k 2)x 2+(2kb −2)x +b 2=0， x 1+x 2=−
2kb−2
1+k 2
，x 1x 2=b 21+k 2
，
k 1+k 2=y 1x 1
+y
2x 2
=
x 2y 1+x 1y 2
x 1x 2
=
x 2(kx 1+b)+x 1(kx 2+b)
x 1x 2
=
2kx 1x 2+b(x 1+x 2)
x 1x 2=2k +b ⋅
x 1+x 2x 1x 2
=2k +b ⋅
2−2kb b 2
=2k +2
b −2k =2
b ．
由(1)可知，b =2，则k 1+k 2=1， ∴k 1+k 2是定值，定值为1．
【解析】(1)直接由直线系方程求解直线l恒过定点的坐标；
(2)先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时斜率的取值范围；
(2)设直线l方程为y=kx+b，联立直线与圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数的关系即可证明k1+k2为定值．
本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．。