福州市八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

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八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）
1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ）
A 0x ∀≤，20x x ->
B 0x ∀>，02≤-x x
C 0>∃x ，02<-x x
D 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 2
4x y =的焦点坐标为（ ） A )1,0( B )0,1( C )161,
0( D )0,16
1
( 3．若向量)1,0,1(-=→
a ，向量),0,2(k
b =→
，且满足向量→
a //→
b ，则k 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2-
4．“21<<m ”是“方程1312
2=-+-m
y m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2
212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A 12422=-y x
B 14222=-x y
C 14
222=-y x
D 12
42
2=-x y
6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若
→
→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（ ）
A 21,21=-
=y x B 21
,21-==y x C 21,21-=-=y x D 2
1
,21==y x
7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则C
B
A sin sin sin -=（ ）
A
53 B 53± C 54 D 5
4± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→
M A
与→
1DC 所成角的余弦值为（ ）
A 62-
B 62
C 1010-
D 10
10
9． 已知抛物线:C )0(22
>=p px y 的焦点为F ，准线为l l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（ ）
A 2
p
B 23p
C 2
2p D 232p
10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )
A z y x ,,全是直线
B z y x ,,全是平面
C z x ,是直线，y 是平面
D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a b +
=>>与双曲线
222
2
1(0,0)x y m n m n -
=>>有共同的焦点)0,(c -和
)0)(0,(>c c ，
且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A
33 B 22 C 41 D 2
1
12．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线22
2
=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”x y 1=；根据以上材料可推理得出双曲线1
1
3-+=x x y 的焦距为（ ）
A 4
B 24
C 8
D 28
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

）
13．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”的否命题的真假性为 14．若“a x <”是“0322≥--x x ”的充分不必要条件，则a 的取值范围为
15．已知ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中)2,,1(m BA =,),,2(n m BC =（R n m ∈,）,则=+n m
16．在平面直角坐标系中，已知 ),0,(),0,(a N a M -其中R a ∈,若直线l 上有且只有一点P ，使得10=+PN PM ，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”。

由此定义可判断以下说法中正确的是
○
1当7=a 时，坐标平面内不存在黄金直线； ○2当5=a 时，坐标平面内有无数条黄金直线； ○3当3=a 时，黄金点的轨迹是个椭圆；
○4当0=a 时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；
三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．命题p ：a x
x x >+
>∀1,0 ；命题q ：012,02
00≤+-∈∃ax x R x 。

若q ⌝
为假命题，q p ∧为假命题，则求a 的取值范围。

18．已知双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦距为4，且经过点()
62,3-。

(Ⅰ)求双曲线C 的方程和其渐近线方程；
(Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有且只有一个公共点,求所有满足条件的k 的取值。

19．如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，D 是线段AB 的中点，11===CC CB CA ，
090=∠ACB 。

(Ⅰ)证明：//1BC 面CD A 1；
(Ⅱ)求面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值。

20. 已知抛物线:C )0(22
>=p px y 过点)2,1(-M 。

(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程；
(Ⅱ) 过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于两点、),(11y x A ),(22y x B ，点D 在抛物线C 的准线上，且满足直线BD 平行x 轴，试判断坐标原点O 与直线AD 的关系，并证明你的结论。

A
B C
A
B
C
D
21. 已知椭圆12222=+b
y a x (0>>b a )的离心率为23
，且右焦点)0)(0,(>c c 到直线3
=x 的距离为3。

(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知点)1,2(-A ，过原点且斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆交于两点、),(11y x P ),(22y x Q ，求APQ ∆面积的最大值。

22． 如图（1），ABD ∆为等边三角形，BCD ∆是以C 为直角顶点的等腰直角三角形且2=CD ，E 为线段CD 中点，将ABD ∆沿BD 折起（如图2），使得线段AC 的长度等于2，对于图二，完成以下各小题：
(Ⅰ)证明：⊥AC 平面BCD ；
(Ⅱ)求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值；
（III ）线段AB 上是否存在点P ，使得平面CPE 与平面ABD 垂直？若存在，请求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由。

（图1） （图2）
●
A
B
C
E D
A
B
C
D
●
E
2014---2015学年度第一学期八县（市）一中期末联考
高中 二 年 数学（理）科答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 假 14. 1-≤a 15. -1 16. ①②③ 三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）
17.解：不妨设p 为真，要使得不等式恒成立只需min
)1
(x x a +<,
又∵当0>x 时，
2
)1
(≥+x x )""1(==时取当且仅当x ∴2<a ……………………………4分 不妨设q 为真，要使得不等式有解只需0≥∆，即04)2(2
≥--a
解得11≥-≤a a 或 ………………………………………………………………………………8分 ∵q ⌝假，且“p q ∧”为假命题, 故 q 真p 假………………………………………………10分
所以⎩
⎨
⎧
≥-≤≥112a a a 或 ∴实数a 的取值范围为2≥a ……………………………………………12分 18.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2,0） 根据定义有
2
)062()23()062()23(22222=-+----++-=
a
∴1=a ，由以上可知：3,4,12
22===b c a ．∴所求双曲线C 的方程为：132
2
=-y x ．…4分
渐近线方程为：x y 3±= …………………………………………………………………………6分
(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1312
2
2y x kx y 得：
074)x k -(322=--kx .………………………………………………7分 ①当0k -32
=即3±=k 时，此时直线l 与双曲线相交有一个公共点，符合题意……………8分 ② 当0k -32
≠即3±≠k 时，由△=0得7±=k ，
此时直线l 与双曲线相切有一个公共点，符合题意………………………………………………11分
综上所述：符合题意的k 的所有取值为7,7,3,3--。

……………………………………12分
19.解：（法一）(1)连结M AC C A 于交11，连结DM
又D,M 分别是AB,AC 1的中点，故DM 为△ABC 1的中位线 ∴DM //1BC
又∵CD A BC CD A DM 111,面面⊄⊂ ∴CD A BC 11//平面 (4)
（2）如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ……………………………………5∴
)
0,21
,21(),1,0,1(),0,0,0(1D A C ∴ )1,0,1(1=CA ，)0,21,21(=CD 设平面A 1CD 的一个法向量为),,(z y x m =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD m CA m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒021210y x z x ，取1=x ，得)1,1,1(--=m ．……………………………8分
依题意可知平面A 1CA 的法向量：)
0,1,0(==CB n ………………………………………………10分
则3
3
3
11|||,cos -
=⨯-=
>=
<n
m n m ∴面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值为33
……………………………………12分
（法二）(1) 如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ………………………………………………1分
∴)
1,0,0(),0,1,0(),0,21
,21(),1,0,1(),0,0,0(11C B D A C
∴)1,0,1(1=CA ，
)
0,21,21(=CD ,)1,1,0(1-=BC 设平面A 1CD 的一个法向量为),,(z y x m =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD m CA m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒021210y x z x ，取1=x ，得)1,1,1(--=m ．……………………………4分
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
●
●
M
∴0)1(1)1()1(101=-⨯+-⨯-+⨯=⋅m BC ∴m BC ⊥1
又∵CD A BC 11面⊄ ∴CD A BC 11//平面 …………………………………………………8分 （2）依题意可知平面A 1CA 的一个法向量：)
0,1,0(==CB n …………………………10分
则3
33
11,cos -
=⨯-=
>=
<n m ∴面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值为33
……………………………………12分
（说明：由于平面的法向量不唯一，所以解答过程．．不唯一） 20.解:（1） 将M(1，-2)代入y 2=2px ， 得(-2)2
=2p ·1，所以p=2.
故所求的抛物线C 的方程为：x y 42
= …………………………………………………………3分 其准线方程为x=-1. …………………………………………………………………………………4分
（2）判断坐标原点O 在直线AD 上，……………………………………………………………5分 现证明如下：依题意可设过F 的直线l 方程为：x=my+1（m R ∈）， 设),(,),(2211y x B y x A ,),1(2y D -
由⎩⎨⎧=+=,
4,12x y my x 得：044my -y 2=- 依题意可知恒成立0>∆，且421-=y y ………………………………………………………9分
又∵1
211122
11122
1112112114)4(44)4(1x y y y x y y y x y y
y x y x y y x y k k OD
OA +=+=---=---=--=- 又∵421-=y y ， ∴0=-OD OA k k
即证坐标原点O 在直线AD 上……………………………………………………………………12分
（说明：直线l 方程也可设为：y=k （x-1），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分） 21.解：(1) 依题意可知
3
3=-c ,∴)(032舍去或==c c ……………………………2分
又∵离心率为23
，∴4=a ，故42
22=-=c a b 因此椭圆的方程为：141622=+y x ……4分
（2）将直线l 方程：y=kx 与椭圆方程联立消y 得
016)x 4k (12
2=-+，
所以
224116
x k +=
…………………………………………………………………………………6分
∴
222124116
211k k x x k PQ +⨯
⨯+=-+= …………………………………………8分
又∵点A 到直线l 的距离d=2
11
2k k ++ ……………………………………………………………9分
故APQ ∆的面积=222411
4444112421k k k k k d PQ +++⨯
=++⨯=⋅ k k k k 414
14414142
++
⨯=++
⨯= 当k>0时, )""2
1(414==≥+时取当且仅当k k k ，
故当时2
1
=
k ，APQ ∆的面积有最大值24 …………………………………………………12分 22.解：（1）∵22,2=====AD BD AB CB CD
又∵,2=AC ∴2
228AB CB AC ==+ ∴CB AC ⊥
同理可证CD AC ⊥ 故AC 垂直面BCD 内两条相交直线 则⊥AC 平面BCD …………………………………………………3分
(2) 由(1)知CB AC ⊥,CD AC ⊥,又有CB CD ⊥
故可建如图所示建立空间直角坐标系C-xyz. ……………………………………………………4分 ∴)0,1,0(),0,2,0(),0,0,2(),2,0,0(),0,0,0(E D B A C
∴ )2,0,2(-=AB ，)2,2,0(-=AD ,)2,1,0(-=,)0,1,0(=CE 设平面ABD 的一个法向量为),,(z y x m =，
则⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD m AB m ⎩⎨⎧=-=-⇒022022z y z x ，取1=x ，得)1,1,1(=m ．…………………………………6分 设直线AE 与平面ABD 所成角为θ，
则
15
153
51||||,cos |sin =
⨯=
=
><=AE
m AE m θ，……………………………………7分
∴设直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为1515
. ……………………………………………8分
（3）假设存在符合条件的点P,并设)2,0,2()2,0,2(λλλλ-=-==BA BP (]1,0[∈λ) 则)2,0,22()2,0,2()0,0,2(λλλλ-=-+=+=BP CB CP 设平面CPE 的一个法向量为),,(z y x n =，
则⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅=⋅→→00CP n CE n ⎩⎨⎧=+-=⇒02)22(0z x y λλ，取λ=x ，得)1,0,(-=λλ．……………11分 要使得平面CPE 与平面ABD 垂直,只需0=⋅n m 即0)1(1101=-⨯+⨯+⨯λλ 解得2
1=
λ]
1,0[∈，
故线段AB 上存在点P ，使得平面CPE 与平面ABD 垂直，此时线段BP 的长度为2………14分 （说明：①答案提及“存在”而不能说明理由的得1分
②第（3）小题也可设P （2-t,0,t ）展开解答）。