2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国卷)理

课标全国(理)
1.(2012课标全国,理1)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中所含元素的个数为( ).
A.3
B.6
C.8
D.10
D 由x ∈A ,y ∈A 得x -y ∈A ,得(x ,y )可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B 中所含元素的个数为10.
2.(2012课标全国,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ). A.12种
B.10种
C.9种
D.8种
A 将4名学生均分为2个小组共有224222
C C A =3种分法, 将2个小组的同学分给两名教师带有22
A =2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22A =2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种.
3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z =21i
-+的四个命题:
p 1:|z |=2, p 2:z 2=2i,
p 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ). A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 2,p 4 D.p 3,p 4
C z =2(-1i)(-1i)(-1i)
-+-=-1-i,故|z
p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4
正确.
4.(2012课标全国,理4)设F 1,F 2是椭圆E :22x a +2
2y b =1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =32
a 上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ). A.12
B.23
C.34
D.45
C 设直线x =32
a 与x 轴交于点M ,则∠PF 2M =60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M =32
a -c ,
故cos 60°=22
M F PF =3a c
22c -=12,
解得c a
=34
,故离心率e =34
.
5.(2012课标全国,理5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ). A.7
B.5
C.-5
D.-7
D ∵{a n }为等比数列,
∴a 5a 6=a 4a 7=-8,
联立47472,8
a a a a +=⎧⎨=-⎩可解得474,2
a a =⎧⎨=-⎩或472,4,
a a =-⎧⎨
=⎩ 当474,2
a a =⎧⎨=-⎩时,q 3=-12
,故a 1+a 10=43
a q +a 7q 3=-7; 当472,4
a a =-⎧⎨=⎩时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 6.(2012课标全国,理6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A ,B ,则( ).
A.A +B 为a 1,a 2,…,a N 的和
B.2
A B +为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数
C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数
D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数
C 随着k 的取值不同,x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ,依次与A ,B 比较,A 始终取较大的那个数,B 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A ,B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.
7.(2012课标全国,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(
).
A.6
B.9
C.12
D.18
B 由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB =6,CD =3,P
C =3,C
D 垂直平分AB ,且PC ⊥平面ACB ,故所求几何体的体积为13×1632
⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭
×
3=9.
8.(2012课标全国,理8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B
两点,|AB 则C 的实轴长为( ).
C.4
D.8
C 设双曲线的方程为22x a -2
2y a
=1,抛物线的准线为x =-4,且|AB 故可得A B 将点A 坐标代入双曲线方程得a 2=4,故a =2,故实轴长为4.
9.(2012课标全国,理9)已知ω>0,函数f (x )=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
在π,π2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减,则ω的取值范围是( ).
A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.10,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦ D.(0,2]
A 结合y =sin ωx 的图像可知y =sin ωx 在π3π,22ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,而y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π4x ωω⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,可知y =sin ωx 的图像向左平移π4ω个单位之后可得y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像,故y =sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝
⎭在π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故应有π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦,解得12≤ω≤54.
10.(2012课标全国,理10)已知函数f (x )=
1ln(1)-x x
+,则y =f (x )的图像大致为( ).
B当x=1时,y=1
ln21
-<0,排除A;当x=0时,y不存在,排除D;f'(x)=1
ln(1)-
x x
⎡⎤
⎢⎥
+
⎣⎦
'=
2
1
[ln(1)-]
x
x
x x
+
+
,因定义
中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.
11.(2012课标全国,理11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().
A∵SC是球O的直径,
∴∠CAS=∠CBS=90°.
∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS
取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,
∴AB⊥平面SCD.
在△CDS中,CD
DS
,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS=222
S S
2?
CD D C
CD SD
+-
故sin∠CDS
∴S△CDS=1
2
∴V=V B-CDS+V A-CDS=1
3×S△CDS×BD+1
3
S△CDS×AD=1
3
S△CDS×BA=1
3
12.(2012课标全国,理12)设点P在曲线y=1
2
e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为().
A.1-ln2
2)
C.1+ln2
2)
B 由题意知函数y =12
e x 与y =ln(2x )互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,两曲线上点之间的最小距
离就是y =x 与y =12e x 最小距离的2倍,设y =12e x 上点(x 0,y 0)处的切线与y =x 平行,有0
1e 2
x =1,x 0=ln
2,y 0=1,∴y =x 与y =12
e x
2),
∴|PQ |
2)×
2).
13.(2012课标全国,理13)已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b
,则|b |= .
∵a ,b 的夹角为45°,|a |=1,
∴a ·b =|a |×|b |cos 45°
b |,
|2a -b |2
b |+|b |2=10,
∴|b
14.(2012课标全国,理14)设x ,y 满足约束条件1,
3,0,0,
x y x y x y -≥-⎧⎪
+≤⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩则z =x -2y 的取值范围为 .
[-3,3] 作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x -2y =0,在可行域内平移知过点A 时,z =x -2y 取得最大值,过点B 时,z =x -2y 取最小值.
由10,30,x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩得B 点坐标为(1,2), 由0,30,
y x y =⎧⎨
+-=⎩得A 点坐标为(3,0). ∴z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3. ∴z ∈[-3,3].
15.(2012课标全国,理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .
38 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12
, ∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B +A B +AB )C .
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P =12
⎛ ⎝×12
+12
×12
+12
×12⎫⎪⎭
×12=38
.
16.(2012课标全国,理16)数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为 . 1 830 ∵a n +1+(-1)n a n =2n -1,
∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,
∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15(10234)2
⨯+=1 830.
17.(2012课标全国,理17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C sin C -b -c =0. (1)求A ;
(2)若a =2,△ABC 求b ,c .
解:(1)由a cos C sin C -b -c =0及正弦定理得
sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0. 因为B =π-A -C ,
A sin C -cos A sin C -sin C =0. 由于sin C ≠0,所以sin π6A ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
=12
.
又0<A <π,故A =π3
.
(2)△ABC 的面积S =12
bc sin A 故bc =4.
而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b =c =2.
18.(2012课标全国,理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量n ≥16时,利润y =80.
当日需求量n <16时,利润y =10n -80. 所以y 关于n 的函数解析式为 y =1080,16,80,16
n n n -<⎧⎨
≥⎩(n ∈N). (2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7. X 的分布列为
X 的数学期望为
EX =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.
X 的方差为DX =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为
Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
Y 的方差为DY =(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX <DY ,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然EX <EY ,但两者相差不大. 故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二:
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为
Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
由以上的计算结果可以看出,EX <EY ,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.
19.(2012课标全国,理19)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12
AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .
(1)证明:DC 1⊥BC ;
(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.
解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.
由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1. 又AC =12
AA 1,可得D 21C +DC 2=C 21C ,
所以DC 1⊥DC .
而DC 1⊥BD ,DC ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD . BC ⊂平面BCD ,故DC 1⊥BC . (2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1, 则BC ⊥平面ACC 1,
所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.
以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴的正方向,|CA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .
由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2). 则1D A =(0,0,-1),BD =(1,-1,1),1DC =(-1,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,
则1
·BD 0,·A D 0,n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0.x y z z -+=⎧⎨=⎩ 可取n =(1,1,0).
同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,
则1·BD 0,·DC 0.m m ⎧
=⎪⎨=⎪⎩可取m =(1,2,1). 从而cos<n ,m >=·
||||
n m n m
故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°
.
20.(2012课标全国,理20)设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.
(1)若∠BFD =90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;
(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.
解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD |=2p ,圆F 的半径|FA .
由抛物线定义可知A 到l 的距离d =|FA .
因为△ABD 的面积为,
所以12
|BD |·d
即12
·2p 解得p =-2(舍去),p =2.
所以F (0,1),圆F 的方程为x 2+(y -1)2=8. (2)因为A ,B ,F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F 的直径,∠ADB =90°. 由抛物线定义知|AD |=|FA |=12
|AB |,
所以∠ABD =30°,m
当m ,由已知可设n :y +b ,代入x 2=2py 得x 2-2pb =0.
由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43
p 2+8pb =0.
解得b =-6
p .
因为m 的截距b 1=2p ,1||||
b b =3,所以坐标原点到m ,n 距离的比值为3.
当m 的斜率为,由图形对称性可知,坐标原点到m ,n 距离的比值为3.
21.(2012课标全国,理21)已知函数f (x )满足f (x )=f '(1)e x -1-f (0)x +12
x 2.
(1)求f (x )的解析式及单调区间;
(2)若f (x )≥12
x 2+ax +b ,求(a +1)b 的最大值.
解:(1)由已知得f '(x )=f '(1)e x -1-f (0)+x .
所以f '(1)=f '(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f '(1)e -1,所以f '(1)=e.
从而f (x )=e x -x +12
x 2.
由于f '(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f '(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0.
从而,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .①
(ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且x <11
b a -+时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立.
(ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0. (ⅲ)若a +1>0,设g (x )=e x -(a +1)x , 则g '(x )=e x -(a +1).
当x ∈(-∞,ln(a +1))时,g '(x )<0; 当x ∈(ln(a +1),+∞)时,g '(x )>0.
从而g (x )在(-∞,ln(a +1))单调递减,在(ln(a +1),+∞)单调递增. 故g (x )有最小值g (ln(a +1))=a +1-(a +1)ln(a +1). 所以f (x )≥12
x 2+ax +b 等价于
b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).②
因此(a +1)b ≤(a +1)2-(a +1)2ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2-(a +1)2ln(a +1), 则h '(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)). 所以h (a )在(-1,12
e -1)单调递增, 在(12
e -1,+∞)单调递减,
故h (a )在a =12
e -1处取得最大值. 从而h (a )≤e 2
,即(a +1)b ≤e 2
.
当a =12
e -1,b =12
e 2
时,②式成立,
故f (x )≥12
x 2+ax +b .
综合得,(a +1)b 的最大值为e 2
.
22.(2012课标全国,理22)选修4—1:几何证明选讲
如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点.若CF ∥AB ,证明:
11
(1)CD =BC ;
(2)△BCD ∽△GBD .
证明:(1)因为D ,E 分别为AB ,AC 的中点,所以DE ∥BC .
又已知CF ∥AB ,故四边形BCFD 是平行四边形,
所以CF =BD =AD .
而CF ∥AD ,连结AF ,
所以ADCF 是平行四边形,故CD =AF .
因为CF ∥AB ,所以BC =AF ,故CD =BC .
(2)因为FG ∥BC ,故GB =CF .
由(1)可知BD =CF ,所以GB =BD .
而∠DGB =∠EFC =∠DBC ,故△BCD ∽△GBD .
23.(2012课标全国,理23)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;
(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围.
解:(1)由已知可得A ππ2cos ,2sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭
, B ππππ2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭, C ππ2cos π,2sin π33⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭, D π3ππ3π2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭, 即A
B
C
D
(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2,
则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ
.
因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].
24.(2012课标全国,理24)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
解:(1)当a=-3时,f(x)=
25,2, 1,23, 25, 3.
x x
x
x x
-+≤⎧
⎪
<<
⎨
⎪-≥
⎩
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<x<3时,f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|
⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
12。