一阶微分方程组初值问题的数值解法一阶微分方程初值问

+
yn−2
−
β0 y0
=
β1
(7.7.6)
三、 打靶法
将边值问题转换为初值问题进行求解。
以二阶常微分方程第一边值问题为例讨论：
⎧ y′′ = f (x, y, y′), x ∈[a,b]
⎨ ⎩
y(a)
=
α
,
y(b)
=
β
(7.7.8)
设法确定 y′(a) = t ，使得初值问题
⎧ y′′ = f (x, y, y′), x ∈[a,b]
xi = x0 + ih (x0 = a, xn = b,i = 0,1,", n)
上求 y(xi ) 的近似值问题。
2．将(7.7.2)在节点 xi 上离散化，分别用一阶 和二阶差商近似代替一阶和二阶导数
⎧⎪ y′(xi ) ≈ [ y(xi+1) − y(xi−1)] / 2h
⎨ ⎪⎩
y′′( xi
后，分别称为第一、第二、第三边值问题。
二、 差分解法 以差商代替导数，把微分方程离散化为一个
差分方程组，然后求解此差分方程组，得到边值 问题的近似数值解。
考虑二阶线性常微分方程
y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x), x ∈[a,b]
(7.7.2)
1．首先将区间[a,b] n 等分，将在[a,b]上求解 y(x) 的问题化为在节点
等求解。
例如用正割法求解(7.7.10)时，根据取定的
两个初值t0和t1，由下式：
tk
= tk−1 −
y(b, tk−1) − β
y(b, tk−1) − y(b, tk
−2
)
(tk
−1
−
tk −2
),
k = 2,3,"
生成序列{tk},直到|y(b,tk)-β|<ε。
y(x)的近似解；否则，调整t0，例如取t1=(β/β0)t0,
得到β1,……,直到|βk-β|<ε。
关键问题：如何调整tk?
调整的目标：
lim
k →∞
y(b, tk
)
=
y(b)
=
β
，即求解方
程
y(b,t) − β = 0
(7.7.10)
的近似根。
方程(7.7.10)是个非线性方程，可用第五章
中的二分法、迭代法、牛顿-雷扶生法和正割法
边值条件（三类）：
（1） 第一边值条件
y(a) = α , y(b) = β
（2） 第二边值条件
y′(a) = α , y′(b) = β
（3） 第三边值条件
⎧ ⎨ ⎩
y′(a) y′(b)
− −
α0 β0
y(a) y(b)
= =
α1 β1
其中α0 ≥ 0, β0 ≥ 0,α0 + β0 > 0
微分方程(7.7.1)配上第一、第二、第三边值条件
)
≈
[
y ( xi +1 )
−
2
y ( xi
)
+
y ( xi −1 )]
/
h2
，得到一个差分方程组
yi+1 − 2 yi h2
+ yi−1
+
pi
yi+1 − yi−1 2h
+ qi yi
=
fi
(i = 1, 2,", n −1)
(7.7.3)
这里 yi = y(xi ), pi = p(xi ), qi = q(xi ), fi = f (xi )
+ qi yi
=
fi
⎪ ⎪

=
α
⎪⎩ yn = β
(7.7.4)
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪
yi+1
−
2 yi h2
+
yi−1
+
pi
(i = 1, 2,", n −1)
yi+1 − yi−1 2h
+ qi yi
=
fi
⎨ ⎪ ⎪
y1
− h
y0
=α
或
− y2
+ 4 y1 − 3y0 2h
=α
⎪ yn − yn−1 ⎪⎩ h
3. 差分方程组(7.7.3)分别加上第一、二、三
边 值 条 件 ， 可 分 别 得 到 关 于 n+1 未 知 数
yi (i = 0,1,", n) 的 n+1 方程的线性方程组
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨
yi+1 − 2 yi + h2
(i = 1, 2,"
yi−1 + pi , n −1)
yi+1 − yi−1 2h
⎨ ⎩
y(a)
=
α
,
y′(a)
=
t
(7.7.9)
的解 y(x,t)在 x=b 的值 y(b,t)满足|y(b,t)-β|<ε。
设y(x)为边值问题(7.7.8)的解，y(x,t0)为初值
问题
⎧ y′′ = f (x, y, y′), x ∈[a,b]
⎨ ⎩
y(a
)
=
α
,
y′(a
)
=
t0
的解，计算β0=y(b,t0)。若|β0-β|<ε,则将y(x,t0)作为
=β
或
3yn − 4 yn−1 + 2h
yn−2
=β
(7.7.5)
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪
yi+1
−
2 yi h2
+
yi−1
+
pi
(i = 1, 2,", n −1)
yi+1 − yi−1 2h
+ qi yi
=
fi
⎨ ⎪
−
y2
⎪
+
4 y1 2h
− 3y0
− α0 y0
= α1
⎪ ⎪⎩
3 yn
− 4 yn−1 2h
§6 方程组及高阶方程的数值解法
一、 一阶微分方程组初值问题的数值解法 一阶微分方程初值问题的数值解法的平行
推广
二、 高阶微分方程初值问题的数值解法 转换为一阶微分方程组的初值问题
§7 二阶常微分方程边值问题的数值解法
一、边值问题
y′′ = f (x, y, y′), x ∈[a,b]
(7.7.1)