分式方程的概念,解法及应用

分式方程的

解法及应用

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数

学习目标：

● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题; 重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想,用分式方程解决实际问题,能从实际问题中抽象出数量关

系．

● 难点：检验分式方程解的原因,实际问题中数量关系的分析．

学习策略：

● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养

数学的应用意识;

二、学习与应用

一什么叫方程 什么叫方程的解

答：含有 的 叫做方程．

使方程两边相等的 的值,叫做方程的解．

二分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘或除以同一个 ,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M

B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,其中M 是不等于0的整式． 三等式的基本性质：等式的两边都乘或除以同一个数或 除数不能为0,所得的结果仍是等式;

四解下列方程：19－3x ＝5x ＋5；

“凡事预则立,不预则废”;科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性;

知识回顾——复习 学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗

252221+-=--y y y

知识点一：分式方程的定义

里含有未知数的方程叫分式方程;

要点诠释：

1分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含

有 ;

2分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 不是一般的字母

系数,分母中含有未知数的方程是 ,不含有未知数的方程是

方程,如：关于x 的方程x x =-21

和12723+=-x x 都是 方程,而关于x 的方

程x x a =-21

和d c b x

=+1

都是 方程;

知识点二：分式方程的解法

一解分式方程的基本思想

把分式方程化为 方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,

将分式方程转化为整式方程,然后利用整式方程的解法求解;

二解分式方程的一般方法和步骤

1 ,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;

2解这个 方程;

3 ：把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程

的根,使最简公分母等于零的根是原方程的 ;

注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程,

但增根不适合原方程,可使原方程的 为零;

三增根的产生的原因：

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课

学习;请在虚线部分填写预习内容,在实线部分填写课堂学习内容;课堂笔记或者其它补充填

在右栏;详细内容请参看网校资源ID ：tbjx5233542

对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取

那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着 不为零的条件;当把分式

方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围 了,

如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增

根;

知识点三：分式方程的应用

分式方程的应用主要就是 ,它与学习一元一次方程时列方程解应用题

的基本思路和方法是一样的,不同的是,表示关系的代数式是分式而已;

一般地,列分式方程组解应用题的一般步骤：

1 题意；

2设 ；

3根据题意找 关系,列出分式方程；

4解分式方程,并验根；

5检验分式方程的根是否符合题意,并根据检验结果写出答案．

知识点四：常见的实际问题中等量关系

一工程问题

1工作量＝ ×工作时

间,_ _ _ _工作效率＝工作时间,工作量_ _ _ _ _ ＝工作效率

；

2完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

二营销问题

1商品利润＝商品 一商品 ；

2100% _ _ _ _ _商品利润率＝_ _ _ _ _ _

；

3商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

4商品的销售利润＝销售价一成本价× ．

三行程问题

1路程＝ ×时间,_ _ _ _ _速度＝时间,路程_ _ _ _ _＝速度

；

2在航行问题中,其中数量关系是：

顺水速度＝ ＋水流速度,逆水速度＝静水速度－ ；

3航空问题类似于航行问题．

类型一：分式方程的定义

例1．下列各式中,是分式方程的是

A ．5x y +=

B ．2253x y z +-=

C ．1x

D .

05

y x =+

思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A ．5x y +=因为方程里没有

,所以 分式方程；B ．2253

x y z +-=虽然有分母,但是分母里没有

,所以 分式方程；C ．

1x 没有 ,所以不是 ,它只是一个 ；D ．

05

y x =+具备分式方程的三个特征,是 ; 总结升华：

举一反三：

变式方程32x x a b

-=-中,x 为未知量,a,b 为已知数,且a b ≠,则这个方程 A ．分式方程

B ．一元一次方程

C ．二元一次方程

D ．三元一次方程

类型二：分式方程解的概念

例2．请选择一组,a b 的值,写出一个关于x 的形如b x a =-2

的分式方程,使它的解 是x ＝0这样的分式方程可以是 .

思路点拨：分式方程是 中含有 的 ,能够使分式方程成

立的未知数的值叫分式方程的 .

经典例题-自主学习 认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完成举一反三;

若有其它补充可填在右栏空白处; 更多精彩请参看网校资源ID ：jdlt0233542