圆的切线第2课时切线的性质课件数学九年级下册

点的半径
切线的 性质
有1个公共点
有切线时常用辅 助线添加方法： 见切线，连切点， 得垂直.
d=r：切线到圆心的距离等于圆的半径
O AM l
证法2：构造法.
作出小 ⊙O 的同心圆大 ⊙O， CD 切小 ⊙O 于点 A， 且 A 点为 CD 的中点， 连接 OA，根据垂径定理， 则 CD ⊥OA， 即圆的切线垂直于经过切点的半径．
O
C
A
D
归纳
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径．
符号语言：
OA 为 ⊙O 的半径 直线 l 与 ⊙O 相切于A
(1) 求证：△ACB ≌ △APO；
(1) 证明：∵PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP ＝ 90°. 又∵∠P ＝ 30°，∴∠AOB ＝ 60°， 又OA ＝ OB，∴△AOB 为等边三角形． ∴AB ＝ AO，∠ABO ＝ 60°.
又∵BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC ＝ 90°. 在△ACB 和 △APO 中， ∠BAC ＝ ∠OAP，AB ＝ AO，∠ABO ＝ ∠AOB， ∴△ACB ≌ △APO；
直线 l ⊥OA
O
A
l
对于任意一条直线，如果具备下列条件中的两个，就可以推
出第三个结论：
A
l
（1）垂直于切线；
（2）经过切点；
（3）经过圆心.
O
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，BD 和过点 C 的切线 CD 垂直，垂足为D. 求证：BC 平分∠ABD．
证明 连接 OC. ∵ CD 是⊙O 的切线， ∴ OC⊥CD . 又∵ BD⊥CD ， ∴ BD∥OC . ∴ ∠1 =∠2 . 又OC = OB ， ∴ ∠1 =∠3 . ∴ ∠2 =∠3 ， 即 BC 平分∠ABD.
用量角器量得切线 l 与半径 OA 所成的角为 90°，即切线 l 与半 径 OA 垂直.
A
l
O
推导与验证 证法1：反证法
假设 l 与 OA 不垂直 则过点 O 作 OM ⊥ l，垂足为 M 根据垂线段最短，得 OM ＜ OA 即圆心 O 到直线 l 的距离小于半径， ∴ 直线 l 与⊙O 相交 这与已知“ l 是⊙O 的切线”矛盾 ∴ 假设不成立，即 l ⊥OA.
l1是过点 A 的切线， ∴ l1⊥OA． 同理 l2 ⊥ OB． ∴ l1⊥ AB，且 l2⊥ AB． ∴ l1∥l2 ．
例3 (切线的性质与判定的综合应用) 如图，已知 BC 是 ⊙O 的直径，AC 切 ⊙O 于点C，AB 交 ⊙O 于点 D，E 为 AC 的中点，连接 DE． （1）若AD = DB，OC = 5，求切线 AC 的长；
∵⊙O 与 AB 相切于 D，
∴OD⊥ AB.
交点不确定时，要作垂直，证半径
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
A
D
E
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OD = OE. ∴ AC 是 ⊙O 的切线．
B
O
C
3. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P ＝ 30°，连接 AO、AB、AC.
（1）解：连接 CD，∵BC 是 ⊙O 的直径， ∴∠BDC = 90°，即 CD ⊥ AB， ∵AD = DB，OC = 5， ∴CD 是 AB 的垂直平分线， ∴AC = BC = 2 OC = 10；
随堂练习
1. 如图, 已知直线 AD 是☉O 的切线 , A 为切点 , OD 交 ☉O 于点 B , 点 C 在☉O 上 , 且∠ODA ＝36°, 则 ∠ACB 的度数为（ D ）
在 Rt△APC 中，D 为 AP 的中点， ∴CD = 1 AP．
2
∴∠4 =∠3．
又∵OC = OA，∴∠1 =∠2． ∵∠2+∠4 = ∠PAB = 90°， ∴∠1+∠3 = ∠2 +∠4 = 90°，即OC⊥CD． ∴直线 CD 是 ⊙O 的切线．
课堂小结
圆的切线垂
性质定理 直于经过切
A. 54° C. 30°
B. 36° D. 27°
2. 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O
相切于点 D. 求证：AC 是 ⊙O 的切线.
点 O 向 AC 所作的垂线段 OE
A D
OE = OD O切线
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE⊥AC 于 E.
方法总结
利用切线的性质解题时，常需 连接辅助线，一般连接圆心与 切点，构造直角三角形，再利 用直角三角形的相关性质解题.
D C
A
B O
例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行．
已知：如图，AB 是⊙O 的直径， l1，l2 分别是经过点 A，B 的切线． 求证：l1∥l2 ．
证明 ∵ OA 是⊙O 的半径，
解：（1）如图1，连接 AC． ∵AB 是直径，∴∠ACB = 90°． 又∵AB 是 ⊙O 的直径，AP 是切线， ∴∠BAP = 90°． ∴∠BAC = ∠P = 30°． 在Rt△PAB中，AB = 2，∠P = 30°， ∴BP = 2AB = 2×2 = 4．BC = 1 AB= 1，
2
由勾股定理，得 AC = AB2 BC2 3， AP = BP2 AB2 2 3 ． 则 CP = BP - BC = 4 - 1 = 3；
（2）若 D 为 AP 的中点，求证：直线 CD 是圆O的切线．
（2）如图，连接 OC、AC． ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠BCA = 90°， 又∵∠ACP = 180° -∠BCA = 90°．
2.5.2圆的切线第2课时 切线的性质
九年级下
湘教版
学习目标
1.理解并掌握圆的切线的性质定理.
重点
2.能运用圆的切线的性质定理解决综合问题.
难点
新课引入
判定定理： ①OA 为 ⊙O 的半径 ②BC⊥OA 于点 A
③BC 为 ⊙O 的切线
①+③→② ？ 用上面的形式呈现这个
新知学习
思考
如图，如果直线l 是⊙O 的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？
(2) 若 AP ＝3 ，求 ⊙O 的半径． (2) 解：在Rt△AOP 中， ∠P ＝ 30°，AP ＝ 3 ， ∴AO ＝ 1，即 ⊙O 的半径为 1.
4.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AP 是圆 O 的切线，A 是切点，BP 与 圆 O 交于点 C． （1）若AB = 2，∠P = 30°，求 AP、AC、CP 的长.