100所名校高考模拟金典卷数学2023

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
i(1i)
1i
+=- （ ）
A ．1
B ．1-
C ．i -
D ．i 2．已知集合{0,1,2,3}A =，{|22,}x B y y x x A ==-∈，则A B =
（ ）
A ．{1,2}
B ．{0,1,3}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2} 3．已知向量(1,2)a =- ，(2,1)b = ，且(2)a a b ⋅-=
（ ）
A ．5
B ．5-
C ．11
D ．11-
4．关于椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，有以下四个命题．
甲：长轴长为10．乙：短轴长为8．丙：离心率为
4
5
．丁：C 上的点到其左焦点的距离的最大值为8． 若只有一个假命题，则该命题是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
5．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球冠)．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积2S Rh π=．已知该灯笼的高为40cm ，圆柱的高为4cm ，圆柱的底面圆直径为24cm ，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）
A ．21536cm π
B ．21472cm π
C ．21824cm π
D ．21760cm π
6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为
()e (0,1,2,)!
k
P X k k k λλ-==
= ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公
交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布．若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为
（ ）
A ．
4
1
e B ．
4
4e C ．6
94e D ．6
9e 7．已知ln 33a =，22e b =，ln 7
7
c =，则
（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 是BC 上靠近点B 的一个四等分点，M 是棱1CC 上的动点，若平面1D MN 与平面ABCD 所成锐二面角的最小值为θ，则cos θ=
（ ）
A ．
45
B ．
35
C
D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．如图，四棱雉S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则下列结论正确的是 （ ） A ．AB SA ⊥
B ．A
C 与SB 所成的角为90︒
C ．A
D 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
10．已知lg 2a =，lg 3b =，则
（ ）
A ．210
7a b
+=
B ．2lg12a b +=
C ．
181
log 102a b
=+
D ．361log 522a
a b
-=
+
11．已知抛物线2
:4C y x =的准线与x 轴交于点K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作AB 的垂线交x 轴于点Q ，点M 在C 的准线上的射影为点N ，则 （ ）
A ．AF BF AF BF +=⋅
B ．tan cos AKF MQF ∠=∠
C ．//NF MQ
D ．3
2
AB FQ =
12．已知()f x 是R 上的奇函数，(1)1f =，且(2)(2)40f x f x x --++=恒成立，则 （ ）
A ．(3)5f =
B ．(4)8f =
C ．(2023)4047f =
D ．(2024)8096f =
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13
．在6
2x ⎛
⎝
的展开式中，第四项的系数为 ．
14．写出满足圆心在直线2y x =
，且被x 轴截得的弦长为2的圆的标准方程 ．
15．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，6855f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则
ω= ．
16．若函数32
11()e 32
x
f x x ax ax =-
-有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知数列{}n a 满足3
3
3
3
2
2
1232(1)n a a a a n n ++++=+ ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos bc A ab C ac B +=． （1）证明：2
a ，2
b ，2
c 成等差数列； （2）若sin 3sin A C =，求cos B ．
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA ，1CC 上，且11AD C E ==，过点1A 的平面//α平面BDE ，平面11B C F α= ． （1）求1A F ；
（2）求直线BF 与平面BDE 所成角的正弦值．
二氧化碳会导致温室效应，是全球变暖的元凶之一．因为二氧化碳具有保温的作用，会逐渐使地球表面温度升高．某机构统计了当地近几年二氧化碳的排放量x (单位：百万吨)与该地平均气温升高值y (单位：℃)的一些数据，得到如下表格：
x
14
17
21
27
32
39
y 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0
1.4
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(计算结果精确到0.001)．(若0.75r ≥，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，否则不可用) （2）试用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程．
（3）某企业为降低二氧化碳的排放量，加大了研发投入，使得企业每天的二氧化碳排放量Z (单位：吨)近似服从正态分布(5,4)N ，则该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为多少?
附：相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑；
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．
若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+= ． 参考数据：
6
1
126.6i i
i x y
==∑，62
1
50)4(i i x x =-=∑，6
21
.041(i i y y =-=∑ 3.61≈．
已知函数()()ln 1(0)f x x a x a =-->．
（1）若曲线()y f x =在x a =处的切线方程为(1)0a x y b --+=，求实数a ，b 的值； （2）若2a =，关于x 的方程()f x mx =有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
22．(12分)已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于
A ，
B 两点．当l x ⊥轴时，AB =
． （1）若A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，证明：1221212()x y x y y y -=-． （2）在x 轴上是否存在定点M ，使得2
22
AM BM AB +-为定值?若存在，求出定点M 的坐标及这个
定值；若不存在，请说明理由．。