2024届上海虹口区高三一模数学试卷和答案

上海虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试
高三数学
试卷
2023.12
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,5,21,_______.
A B x x A B ==-≤⋂=则2.函数1
lg(2)5y x x
=--_________.3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，24S =，则lim n n S →∞
=_________.
4.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_________.
5.
在7(x x
的二项展开式中x 项的系数为_________.
6.已知1cos ,3
x x =-且为第三象限的角，则tan2x =_________.
7．双曲线2
2
14
y x -=的两条渐近线夹角的余弦值为_________.
8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+(0>ω,||2
ϕπ
<)的部分图像如右图所示，则()f x =_________.
9.已知()y f x =是定义在(1,1)-上的函数，若()3sin f x x x =+，且2(1)(1)0,f a f a -+-<则实数a 的取值范围为_________.
10.将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________.（结果用分数表示）
11.设a ∈R ，若关于x 的方程()2210x x a x x a --+-+=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________.
12.设123123,,,,,a a a b b b 是平面上两两不相等的向量，若1223a a a a -=-= 312,a a -=
且对任意的
{},1,2,3,i j ∈均有{1,3,i j a b -∈
则122331b b b b b b -+-+-=
________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
（第8题图）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.设i 为虚数单位，若25
21z -+=-i
i i ，则z =
（）
（A ）12-i
（B ）12+i
（C ）2-i
（D ）2+i
14．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:
AQI 指数值
0~50
51~100
101~150
151~200
201~
300
300
>空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI 的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是（）
（A ）这20天中AQI 的中位数略大于150（B ）10月4日到10月11日，空气质量越来越好（C ）这20天中的空气质量为优的天数占25%（D ）10月上旬AQI 的极差大于中旬AQI 的极差
15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全
相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体.若2AB =，则此半正多面体外接球的表面积为
（
）（A ）43π
（B ）12π
（C ）823
π
（D ）8π
16.已知曲线Γ的对称中心为O ，若对于Γ上的任意一点A ，都存在Γ上两点,B C ，使得O 为ABC △的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.
（第15题图）
则
（）
（A ）①是假命题，②是真命题（B ）①是真命题，②是假命题（C ）①②都是假命题
（D ）①②都是真命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+-
，
(),n c b c a =+- ，且m //n ．
（1）求角B 的大小；
（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为正方形，4AB AC ==；设M 是CC 1的中点，满足11AM A B ⊥，N 是BC 的中点，P 是线段A 1B 1上的一点.
(1)证明：AM ⊥平面A 1PN ；
(2)若1421BC A P ==，求直线AB 1与平面PMN 所成角的大小．
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排放处理后的废水比上月增加2吨.
（1）若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知点(,4)M m 在抛物线Γ：22(0)x p y p =>上，点F 为Γ的焦点，且5MF =.过点F 的直线l 与Γ及圆22(1)1x y +-=依次相交于点,,,,A B C D 如图.
（1）求抛物线Γ的方程及点M 的坐标；（2）求证：AC BD ⋅为定值；（3）过A ,B 两点分别作Γ的切线12,,l l 且1l 与2l 相交于点P ，求△ACP 与△BDP 的面积之和的最小值．
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知()y f x =与()y g x =都是定义在()0+∞，上的函数，若对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有121212
()()
()()f x f x g x g x x x -≤
≤-，则称()y g x =是()y f x =的一个“控制函数”.
（1）判断2y x =是否为函数()20y x x =>的一个控制函数，并说明理由；（2）设()ln f x x =的导数为()'f x ，0a b <<，求证：关于x 的方程()()()'f b f a f x b a
-=-在区间(),a b 上
有实数解；
（3）设()ln f x x x =，函数()y f x =是否存在控制函数？若存在，请求出()y f x =的所有控制函数；若不存在，请说明理由.
虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试
高三数学参考答案和评分标准
2023年12月
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）
1．{}1,2,32．(2,5)
3.9
24．12π
5．560 6.42
77.3
5
8．cos(2)
6
x π
-9.(1,
2
10．1
7
11．()
9,+∞12.3
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A
14.C
15.D
16.B
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
解：(1)因为m //n
，所以
()()sin sin sin sin A B C b c a c A +-⋅+-=⋅，
……2分由正弦定理，可得
()()a b c b c a ac +-⋅+-=，即
222ac a c b =+-.
……4分
于是，由余弦定理得2221cos 22
a c
b B a
c +-==，又()0,B π∈，所以3B π
=．……7分
（2）由（1）可知2,3
A C π
+=所以
233sin sin sin sin(
)sin cos 3)3226
y A C A A A A A ππ=+=+-=+=+……11分由△ABC 为锐角△,得20,0,232
A A πππ
<<<
-<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin 3)6y A C A π=+=+
的取值范围为32
,3.⎛ ⎝……14分
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：(1)取AC 中点D ，连接DN ，A 1D .
因AA 1＝AC ，AD ＝CM ，∠A 1AD ＝∠ACM 90=︒，故△A 1AD ≌△ACM .
……2分
从而∠AA 1D ＝∠CAM ，又因∠AA 1D ＋∠A 1DA 90=︒，故∠CAM ＋∠A 1DA 90=︒.所以AM ⊥A 1D .
由于AM ⊥A 1B 1及A 1B 111,A D A ⋂=因此
AM ⊥平面A 1B 1D.
……4分
因D ,N 分别为AC ,BC 的中点，故D N //AB ，从而D N //A 1B 1，于是A 1，P ，B 1，N ，D 在同一平面内，故AM ⊥面A 1PN.
……6分
解：(2)因为AB ＝AC ＝4，BC ＝2AB 2＋AC 2＝BC 2,故AB ⊥AC.
因AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，故AM ⊥AB ；又因AM ∩AC ＝A ，所以AB ⊥面ACC 1A 1，从而AB ⊥AA 1；因此AB ，AC ，AA 1两两垂直.
以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.
……8分
则由条件，相关点的坐标为
M (0，4，2)，N (2，2，0)，P (1，0，4)，B 1(4，0，4).设平面MNP 的一个法向量为(,,),n x y z =
则
(,,)(2,2,2)2220,,2,(,,)(1,4,2)420,
n MN x y z x y z y z x z n MP x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--==⎧⎪⎨⎨=⋅=⋅-=-+=⎩⎪⎩
即取1,(2,1,1).z n == 得……11分
因1AB =
(4，0，4)，设直线1AB 与平面PMN 所成的角为θ，则
111(4,0,4)(2,1,1)3
sin cos ,(4,0,4)(2,1,1)426AB n AB n AB n
θ⋅⋅=<>====⋅⋅⋅ 故直线1AB 与平面PMN 所成角的大小为.3
π……14分
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
解：（1）设从2023年1月起第n 个月处理后的废水排放量为n a 吨，则由已知条件知：数列{}n a 是首项为10，公差为2的等差数列，故28n a n =+.
……2分
当
18002n
n i a n =≥+∑时，即
[]
10(28)80022
n n n ++≥+，
……4分
化简得2
78000n n +-≥，解得25,32;n n ≥≤-或由n 是正整数，则25n ≥.
故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕.……6分
（2）设从2023年1月起第n 个月深度净化的废水量为n b 吨.
由已知条件，1260b b b ==== ，当7n ≥时，数列{}n b 是首项为5，公比为1.2的等比数列，故
7
0,16,51.2,7,
n n n b n -≤≤⎧=⎨⨯≥⎩ （n 为正整数）.……8分
显然，当16n ≤≤时，n n a b >.
当7n n n a b ≥≤时,由得
72851.2n n -+≤⨯.
（*）……10分
设72851.2n n c n -=+-⨯，则812 1.2n n n c c ---=-，所以当711n ≤≤时，数列{}n c 是严格增数列，且0;n c >当12n ≥时，数列{}n c 是严格减数列.
……12分
由于19 1.420c ≈>，20 5.500c ≈-<.所以不等式（*）的解为20n ≥（n 为正整数）.故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化.
……14分
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：（1）易知抛物线Γ的焦点F 的坐标为(0,
),2p 准线为2
p
y =-，由抛物线的定义，得452
p
MF +
==，故2p =.所以，抛物线Γ的方程为24.x y =………2分
将(,4)M m 代入Γ的方程，得4x =±，所以点M 的坐标为：(4,4),或(4,4).
-………4分
（2）由（1）知F (0,1),又由条件知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y k x =+，并设A 11(,),x y B 22(,),x y 则
由21,4,
y k x x y =+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=故216(1)0,k ∆=+>且12124, 4.
x x k x x +==-………7分
由抛物线的定义，可知11,AF y =+2 1.BF y =+又因圆22(1)1x y +-=的圆心为F （0,1），半径为1，于是
11,
AC AF y =-=21.
BD FB y =-=所以AC BD ⋅222
121212()14416
x x x x y y ==
⋅==.
………10分（3）由24x y =得24x y =，而12y x '=.故过点A 2
1
1(,)4
x x 的抛物线Γ的切线1l 的方程为
2111(),42x x y x x -=-即2
1120.
2
x x x y --=①………12分
同理，过点B 22
2(,4
x x 的抛物线Γ的切线2l 的方程为
22
220.
2
x x x y --=②
由①，②可得：22
1
2
121212112,() 1.2
4
24P P P x x x x x k y x x x x x ⎡⎤++===
+-==-⎢⎥⎣⎦
即(2,1).
P k -……15分
所以点P 到直线l :10k x y -+=
的距离为d =
=于是
111
()222
ACP BDP S S AC d BD d AC BD d ∆∆+=
⋅+⋅=+⋅()()(
)(
)22
2
1212121222111222481
1682218
x x y y d d x x x x d k k ⎛⎫+⎡⎤=+⋅=⋅=+-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭=+⋅=+故当k =0，即直线l 为y =1时，ACP BDP S S ∆∆+有最小值2.
……18分
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
解：（1）由于对任意()12,0x x ∈+∞，
，当12x x <时，都有112222x x x x ≤+≤；……2分
即有22
12
1212
22,x x x x x x -≤≤-故由控制函数的定义，22y x y x ==是函数的控制函数.……4分
证：（2）关于x 的方程
ln ln 1b a b a x -=-在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1
b a b b a a
-⇔<<
-()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔-<-<-ln ln ln 10ln ln ln 10
b a b b
b a a
a a a
b a a a b b b b
-⎧⎧-<-+<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨
-⎪⎪-<-+<⎪⎪⎩⎩.……7分
记()ln 1F x x x =-+，则()11'1x
F x x x
-=
-=
，当()0,1x ∈时()'0F x >，()F x 在()0,1上严格增；当()1,x ∈+∞时()'0F x <，()F x 在()1,+∞上严格减.
而01a b b a <
<<，故()()10,10a b F F F F b a ⎛⎫⎛⎫
<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，于是所要证的结论成立.……10分另证：关于x 的方程
ln ln 1b a b a x -=-在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1
b a b b a a
-⇔<<
-()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔-<-<-ln ln 0
ln ln 0a b b a a a b a a b b b -+-<⎧⇔⎨
-+-<⎩
.……7分
记()ln ln F x a x x a a a =-+-，则()'1a
F x x
=
-，当[],x a b ∈时()'0F x ≤，故()F x 在[],a b 上严格减，()()0F b F a <=.
记()ln ln G x b x x b b b =-+-，则()G'1b
x x
=
-，当[],x a b ∈时()'0G x ≥，故()G x 在[],a b 上严格增，()()0G a G b <=.于是所要证的结论成立.
……10分
解：（3）①先证引理：对任意0a b <<，关于x 的方程()()()'f b f a f x b a
-=-在区间(),a b 上恒有实数解.这
等价于()()()()ln ln ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1b b a a
a b a b a b b a a b b a b a
-+<
<+⇔+-<-<+--1ln ln 1b a b b a a
-⇔
<<-，由（2）知结论成立.……12分
②（证控制函数的唯一性）假设()y f x =存在“控制函数”()y g x =，由上述引理知，对任意
()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()12()'()g x f c g x ≤≤.……（*）
下证：()()()',0,g x f x x =∈+∞.
若存在()10,t ∈+∞使得()()11'g t f t >，考虑到()'ln 1f x x =+是值域为R 的严格增函数，故存在21
t t >使得()()21'f t g t =.由（*）知存在()012,c t t ∈使得()102()'()g t f c g t ≤≤，于是有()()()012''f c g t f t ≥=，由()'f x 的单调性知02c t ≥，矛盾.故对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≤.
同理可证，对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≥，从而()()'g x f x =.
……15分
③（证控制函数的存在性）最后验证，()()'g x f x =是()y f x =的一个“控制函数”.对任意
()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得
()1212
()()
'f x f x f c x x -=-，而由()'f x 的单调性知
()12'()''()f x f c f x ≤≤，即121212
()()
()()f x f x g x g x x x -≤
≤-.
综上，函数()y f x =存在唯一的控制函数ln 1y x =+.
……18分。