江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学学科试题（文科）
一、填空题（每小题5分，共70分。

请把答案直接填写在答题卷相应位置.） 1.已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a 等于 ▲ .
2.若32z i =-，则
2
=-z i
▲ . 3.已知命题1
:0,2p x x x
∀>+≥,那么命题p ⌝为 ▲ .
4.函数(
)ln 3y x =-的定义域是 ▲ .
5．已知21
3
3
311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系为 ▲ . 6.“1x >” 是 “
1
1x
<” 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 7.设函数()133,1
{
1log ,1
x x f x x x -≤=->，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是 ▲ .
8.二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；三维空间中，
球的二维测度（表面积）2
4S r π=，三维测度（体积）3
43
V r π=
.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度3
12V r π=，则其四维测度W = ▲ .
9.已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .
10.若函数)(x f 定义在R 上的奇函数，且在)0,(-∞上是增函数，又0)2(=f ，则不等式
0)1(<+x xf 的解集为 ▲ .
11.已知函数()()20
{ 20
x x f x f x x ≤=->，则()()()()1232017f f f f ++++=
▲ .
12.设函数()2
1
2e
x
f x x =-
+，则使()()24f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ▲ .
13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，均有()()2f x f x +=，
当[
)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是 ▲ .
① ()f x 的图象关于1x =对称 ② ()f x 的最大值与最小值之和为2 ③方程()lg 0f x x -=有10个实数根 ④当[]
2,3x ∈时， ()2
2
1x f x +=-
14.已知函数⎩
⎨⎧>-≤+-=,1,)(,
1|,1|)(2
x a x x x a x f 函数)(2)(x f x g -=，若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).
15.(本小题满分14分）已知:p 实数x ，满足0x a -<，:q 实数x ，满足2430x x -+≤. （1）若2a =时p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围
16．(本小题满分14分）已知函数()()2lg 1f x x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦．
（1）求函数()f x 的定义域．
（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．
17.(本小题满分14分）已知函数()x
f x b a =⋅ (其中,a b 为常量且0a >且1a ≠）的图象经
过点()1,8A , ()3,32B . (1)试求,a b 的值；
(2)若不等式110x x
m a b ⎛⎫⎛⎫
+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.
18.(本小题满分16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足
623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足24
1
+=
a Q ，设甲城市的投入为x （单位：万元）
，两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）． （1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
19.(本小题满分16分）已知函数()2,.f x x x a a R =-∈ ⑴若0a =，且() 1.f x =-，求x 的值；
⑵当0a >时，若()f x 在[
)2,+∞上是增函数，求a 的取值范围； ⑶若1=a ，求函数()f x 在区间[]
()00m m >，上的最大值()g m .
20．(本小题满分16分）已知函数54)(2
-++=a x x x f ,724)(1
+-⋅=-m m x g x .
（1）若函数)(x f 在区间]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围； （2）当
时，若对任意的]2,1[1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =成立，求实数m
的取值范围；
（3）若]2,[),(t x x f y ∈=的值域为区间D ，是否存在常数，使区间D 的长度为t 46-？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间],[q p 的长度为p q -）
2017-2018学年第二学期
高二期中考试数学学科答案（文科）
一、填空题 1. －2 2.
2155i + 3. 21
,0<+>∃x
x x 4. [)2,3 5. c b a << 6. 充分不必要 7. [)0,+∞ 8. 43r π 9.)0,22(-
10. )1,0()1,3(⋃-- 11. 30252 12.44,3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦ 13. ③ 14. （2，3]
二、解答题
15.（1）由0x a -<，得x a <.
当2a =时，2x <，即p 为真命题时，2x <. ----------------------2分 由2430x x -+≤得13x ≤≤，所以q 为真时，13x ≤≤. ----------------------4分 若p q ∧为真，则12x ≤<
所以实数x 的取值范围是[)1,2. ----------------------7分 （2）设(),A a =-∞，[]1,3B =， ----------------------8分
q 是p 的充分不必要条件，
所以B A ⊆， ----------------------10分 从而3a >.
所以实数a 的取值范围是()3,+∞. ---------------------14分
16.（1）因为()2
10x a x a +-->即()()10x x a +->， ----------------------1分
当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-，
所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-． ----------------------3分 当1a =-时，不等式的解为1x ≠-，
所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-． ----------------------5分 当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >，
所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >． ----------------------7分 （2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称， ----------------------9分 由（1）知， 1a =， ----------------------11分 检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，
()()
2lg 1f x x =-， ()()()
()2
2lg 11f x x lg x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦
，
因此当1a =时， ()f x 是偶函数． ----------------------14分
17.（1）由函数()x
f x b a =⋅的图象经过点()1,8A , ()3,32B ，知38
{ 32a b a b ⋅=⋅=-----2分
1,≠>a o a ，4,2==∴b a --------------------6分
（2）解：由（1）可得恒成立
令，
只需，易得在为单调减函数，-------------10分
. --------------------14分
18.（1）当
时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元
所以总收益
=43.5（万元） ----------------------4分
（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资
万元
所以 ----------------------8分
依题意得，解得 ----------------------10分
故
令，则
所以
当t =，即72x =万元时， y 的最大值为44万元， ----------------------14分 所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元． ----------------------16分
19.(1)由0a =知()f x x x =
()1f x =-即1x x =- ∴1x =- ----------------------3分
(2)
----------------------4分
,0>a
)(x f ∴在),(a -∞上单调递增，在)2,(a a 上单调递减，在),2(+∞a 上单调递增-------6分
()f x 在[)2,+∞ 上是增函数 22,1a a ∴≤≤即
∴01a <≤ ---------------------8分
(3)
()f x 图象如图
当01m <≤时， ----------------------10分
当11m <≤时， ()()11
g m f ==
----------------------12分
当1m >
时，
----------------------14分
综 ----------------------16分
20.(1)根据题意得： 的对称轴是，故在区间递增， --------1分 因为函数在区间上存在零点，故有
，即
，
故所求实数的范围是； --------------------3分 （2）若对任意的，总存在
，使
成立，
只需函数
的值域是函数的值域的子集，
时， 的值域是
， ----------------------4分
下面求， 的值域，
令，则，
，
①时， 是常数，不合题意，舍去； ----------------------5分
②时，
的值域是，
要使
，只需
，计算得出
； ----------------------7分
③时，的值域是，
要使，只需，计算得出；
综上，的范围是. ----------------------9分（3）根据题意得，计算得出，----------------------10分
①时，在区间上，最大，最小，
，
计算得出：或（舍去）；---------------------12分
②时，在区间上，最大，最小，
，计算得出：；---------------------14分
③时，在区间上，最大，最小，
，
计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，
综上，存在常数满足题意，或. ----------------------16分。