上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析

某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）
一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】
把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．
【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1
(2.9 4.3) 3.62
⨯+=．
故答案为：3.6．
【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪
⎝⎭的线性方程组的解为2
1x y =⎧⎨=⎩
，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据增广矩阵概念直接求解.
【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为2
1x y =⎧⎨
=⎩
，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.
【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.
3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.
【答案】5 【解析】 【分析】
根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以1
5,2
==a m . 故答案为：5
【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.
4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】
利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】
()26441a a a =-，∴()()42
424441202a a a a -⇒-==⇒=，
故答案为：2.
【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
.则目标函数2z x y =+的最大值为______.
【答案】2 【解析】 【分析】
作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，
当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，
∴max 2z =，
故答案为：2
【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.
6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）
【答案】13
【解析】 【分析】
古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，
基本事件的总数：共有2242
2
2
3=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到1
3
P =
故答案为：
13
【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.
7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.
【答案】1612+π 【解析】 【分析】
由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.
【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，
由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，
即2
2
1122222422416122
2
S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()
()1
1101111n
n
n n n x a x a x a x a --+=-+-+
+-+，若
110729n n a a a a -++++=，则3a =______.
【答案】160 【解析】 【分析】
先将(1)n
x +化为(2(1))n
x +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．
【详解】解：原式[2(1)]n
x =+-，
令11x -=，即2x =得：6
11037293n n n a a a a -=++⋯++==，
所以6n =．
所以展开式中含3(1)x -项为：3333
62(1)160(1)C x x -=-．
故3160a =． 故答案为：160．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286
S S -=-，则2lim 2→∞=n n S
n ______.
【答案】1
2
- 【解析】 【分析】
由等差数列前n 项和公式有21()22
n d d
S n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．
【详解】∵数列{}n a 是等差数列，
21()22
n d d S n a n ∴=
+-（其中d 是公差），1()22n S d d
n a n =+-，
∵
86
286
S S -=-， (86)22
d
∴-=-，2d =-．
即 2
1(1)n S n a n =-++，
21122(1)111
lim lim lim()22222
n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-
． 故答案为：1
2
-
【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22
n d d
S n a n =
+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，若22=+ab a b c
，则角C 的大
小为______. 【答案】
4
π 【解析】 【分析】
由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.
222+=+c a b
即222c a b =+-，由余弦定理可得，
cos 2
C =
，4C π∴=.
故答案为：
4
π
. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.
11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12
AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.
【答案】21
16
【解析】 【分析】
连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．
【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，
90ABC ADC ∴∠=∠=︒，
1
||||cos cos
2
AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，
120BAD ∴∠=︒，
BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，
60DBC BDC ∴∠=∠=︒，
BCD ∴∆是等边三角形，
以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，
则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，
设(M x ，0)(03)x
，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，
∴22321(2
16
AM DM x x =+=+，
∴当x =
AM DM 取得最小值2116．
故答案为：
21
16
．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．
12.设双曲线r ：2
221x y a
-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向
量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124
F MF π
∠=，则r 的焦距为______.
6 【解析】 【分析】
由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，
在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即2
22121t a a a +=
+， 解得22t a =，
由余弦定理可得22224(2)2(2)
c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得2
12
a =
，22
312c a =+=，
则焦距3
22
62
c =
．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程2
4y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线2
4y x =的焦点到准线的距离为2，
即充分性是成立的；
反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是2
4x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程2
4y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.
14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.
【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为113
23336C C A =,
但集合,B C 中有相同元素2，
由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.
【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误
的
是（ ）
A. 直线AD 与BC 是异面直线
B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行
C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行
D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D
【解析】 【分析】
利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l α
β=矛
盾，
故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；
对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；
对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，
若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，
与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；
对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．
点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()()
,x g x 与
点()()
,x h x 都关于点()()
,x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函
数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()2
2
221f t t s a a =+++-成立，则实数a
的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-
【答案】C 【解析】 【分析】
求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断
22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．
【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于
()f x 的“对称函数”，
可得1
()
2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为3
4
x =，
由1(0)2f =
，f （1）=3()14f =，
且()f x 在3
(0,)4递增，3(4
，1)递减，可得()f x 的最小值为
1
2
，最大值为1， 可得()f x 的值域为1
[2
，1]，
而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，2
2]a a ++，
由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，2
2]a a ++，
即有2
2
1122a a a a +-<++，即为21
01a a a -⎧⎨-⎩
或，
解得01a 或21a --，
则a 的X 围是[][]2,10,1--，
故选：C ．
【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．
三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.
17.设函数()()31,20
,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩
是偶函数.
（1）某某数m 的值及()g x
（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1
g
x -，当时，()12
2log 5
a
g ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.
【答案】（1）2m =，()31x
g x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．
（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．
【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，
当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31x
f x f x -=-=，
故()31x
g x =-.
（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1
g
x -，
则()12312g --=，即()1
21g -=，
即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 1
5
1a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩
，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,
1,5⎛
⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数(
)2
2sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛
⎫=+++-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤
⎡⎤
⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝
⎭，k ∈Z ，0
>ω，求得ω的X 围.
【详解】（1）()2
2sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛
⎫
=+++-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛
⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2sin 6x πω⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭
，
即22
6
2
k π
π
π
ωπ⋅
+
=+
，k ∈Z ，即2
43
k ω=+
， 又01ω<<，则23
ω=
， 则函数()f x 的最小正周期为
23π
πω
=.
（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，
所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝
⎭，k ∈Z .
即626k k πωπππωπππ
⎧
+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩
，
则15
6212
k k ω-
≤≤+，k ∈Z ， 因为156212
k k -
≤+，k ∈Z ，所以7
6k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，
则所求的ω的取值X 围为55110,
,12612⎛⎤
⎡⎤
⎥⎢⎥⎝⎦
⎣⎦
. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.
19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.
（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32
arctan 20
；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】
（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；
（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.
【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，
由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32
tan 20
52FO FOB BO ∠=
==
，
即FBO ∠=，
则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan
20
； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积
()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13
104030022
=⨯⨯⨯=（立方米），
两个四棱锥的体积
222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==
⋅=⋅⋅23
5105032
=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.
【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.
20.已知椭圆C ：22
194
x y +=的左、
右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：
（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.
（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦
，求直线l 的斜率k 的取值X 围.
【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；
（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；
（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，
解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()121
2MN d d ⋅⋅+
，根据10813
S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，
由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.
（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为
()11,x y ，()22,x y ，
平行弦中点的坐标为()00,x y ，
联立22
194
x y y x m ⎧+
=⎪⎨⎪=-+⎩
，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()
2
2
2
18413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->
即m <<
则1209213x x x m +=
=，121204
2213
y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.
（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），
由22
194x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消去y 并化简得()
22
9436k x +=
，即1x =
，21x x =-=，
依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，
由22
1942
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
，得2
13360
x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =
，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，
则13
MN =
. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10
513361813ON
k k -
>==-，即5,18k ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN
的距离分别为1d =
2d =
，
则(
)12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形
12=
118216(1)2131313k =⨯=+=，
又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦
，即108216131313≤≤. 化简整理得，22
5808172160
k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得8
05k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
，所以805k ≤≤.
则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.
21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有(
)k k m a k a *
+<∈N
成立，则称k
a 具有
性质()P m .
（1）设(
)*
3n a n n N
=-∈，若对任意的k *
∈N ，k
a 都具有性质()P m ，求m 的最小值；
（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()
n S n N *
∈，若对任意的k *
∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}
n a 的
首项12a =，当()
2n n *≥∈N 时，存在()
11,i i n i *
≤≤-∈N 满足
2n i a a =，且此数列中恰有一项()
299,t a t t *
≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项
和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】
（1）计算得出167a a a <<<
、256a a a <<<
、()123k k k a a a k ++<<<
≥，求得每
种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；
（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出2
3
d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()
11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，
得出1a 、2a 、
、t a 依次为：2、22、32、
、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项
和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、
、992，欲使此数列的前100项和最小，
1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100
项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<
，此时3m ≥；
当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<
，此时m 1≥.
综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()
122
n n n S n d -=-+
，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722
k k k k k d k d -++--+
<-++
，整理得：23d k >+.
因为1k ，则
2132
k ≤+，所以1
2d >.
因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<
<<，
而当()2n n *
≥∈N 时，存()11,i i n i *
≤≤-∈N 满足2n
i a
a =，
所以1a 、2a 、
、t a 依次为：2、22、32、
、2t ，
由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、
、2t ，
又因为1t a +、2t a +、
、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<
<，
欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、
、1012t -，
下面分别计算前100项和：
()()()()
2319912121002222222t t t t t t a a a a a a +++++++++
+=++++++++100222t =+-，
当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；
()()()()
232310112121002222222t t t t t a a a a a a -++++++++
+=++++++++
101
22266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝
⎭.
当且仅当101
222
t
t =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为(
)50
51
50
222
662
6+-=⋅-.
【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。