(整理)定积分练习题Doc1.

定积分复习
复习要点：
1 定积分的定义；
()=_________b
a
f x dx ⎰
2．定积分的实质
如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由直
线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

如果在区间[,]a b 上函数连续且有x)0f ≤（，那么定积分()b
a f x dx ⎰表示由直
线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()b
a f x dx ⎰表示
介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。

()b
a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
3定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ()=_______b
a
kf x dx ⎰
（其中k 是不为0的常数）
性质2 []1
2
()()=___________b
a
f x f
x dx ±⎰
性质3
()()()()b c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中
4微积分基本定理
一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么
()=()=_________1b
a
b a
f x dx F x ⎰。

5.定积分的求法主要有： （1）定积分的定义 （2）几何意义法：例如1-⎰
（3）利用奇偶函数的性质求：若()f x 是[-a,a]上的奇函数，则()0a a
f x dx -=⎰；
若
()f x 是[-a,a ]上的偶函数，则
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=⎰
⎰。

（4）利用运算性质求 （5）微积分基本定理
典型例题
例1 利用定积分的定义，计算3
20x dx ⎰
例2计算下列定积分
（1）a -a
⎰ (2)
1
0)-x dx ⎤⎦
⎰
（3）2
0(3+sin )x x dx π
⎰ (4)
1
()d x ⎰
(5)2x
12
(e -)x
dx ⎰ (6)
3
1
⎰
(7)x 2
2
0e dx ⎰ (8)
+1
2
1-1
e dx x ⎰
(9)20
cos2x
cosx+sinx
dx π
⎰ (10)
20
2sin dx x π
⎰
(11)2
3-2dx ⎤⎦⎰ (12)
2
1
(t+2)dx ⎰
(13)220(sin +cos )22
x x dx π
⎰ （14）211
x(x+1)dx ⎰ （15） 1
2
x
dx ⎰ （16）0
3
3+2
e
dx x ⎰
（17） 3
-3
(2x+3+3-2)dx x ⎰
（18）
1
201+x
dx x ⎰
例3求由曲线x y x y x y 3
1
,2,-=-==所围成图形的面积
巩固练习
1．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a <c <b
B ．a <b <c
C ．c <b <a
D ．c <a <b
2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则
⎠⎛1
2
f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16 3.已知f (x )为偶函数且
60
⎰
f (x )d x ＝8，则
66
-⎰
f (x )d x 等于
( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16 4.已知f (x )为奇函数且60
⎰
f (x )d x ＝8，则
66
-⎰
f (x )d x 等于
( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
5. .设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩
则2
0()f x dx ⎰=（ ）
A.
34
B.
45
C.56
D.不存在
6．函数y ＝⎠⎛-x
x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．以上都不正确 7.(2010·烟台模拟)若y ＝0
x ⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是
( )
A ．1
B ．2
C ．－7
2
D ．0
8用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )
A ．⎠⎛a
c f (x )
d x
B ．|⎠⎛a
c f (x )
d x |
C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d x
D ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛a
b f (x )d x
9.如图，阴影部分的面积是 （ ）
A ．32
B ．329-
C ．
3
32 D ．
335
10．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1
x
及x 轴所围成图形的面积为( )
A.154
B.174
C.1
2
ln2 D ．2ln2 11．函数f (x )＝⎩
⎨⎧
x ＋1 (－1≤x <0)
cos x (0≤x ≤π
2)
的图象与x 轴所围成的封闭图形的面
积为( )
A.3
2
B ．1
C ．2 D.1
2
例1（2）
12．已知a ∈[0，
π
2
]，则当⎰a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.
13．⎠⎛-a
a (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________.
14.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.
15．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.
16. 2
21x x dx --⎰= 17. 已知2
21,[2,2]
()1,(2,4]x x f x x x +∈-⎧=⎨
+∈⎩
,当k = 时, 3
40
()3
k
f x dx =
⎰成立 18．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10
⎰f (x )d x ＝5，1
0⎰xf (x )d x ＝17
6
，
那么2
1
⎰
f (x )
x
d x 的值是________． 19．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，
记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积，分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．
20．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01
f (x )d x
＝－2.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．
21已知⎰-+=-++1
1
362)3(a dx b a ax x ，且dx b a ax x t f t
)3()(0
3-++=⎰为偶函数，
求b a ,
22设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。

（1）求)(x f y =的表达式；
（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线t x -=（10<<t 把)(x f y =）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值。