高数期末考试定积分(复习必备)汇编

第五章 定积分
一、基本要求：
1. 理解定积分的概念、几何意义及定积分的性质.
2. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.
3. 掌握牛顿——莱布尼兹公式.
4. 掌握定积分的换元法和分布积分法.
5. 理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分。

了解定积分的近似计
算方法.
二、主要内容
Ⅰ.定积分概念：
1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点
0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间
1[,],(1,2,,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,
,)i i i x x x i n -∆=-=，在
1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作
1
()n
i
i
i f x
ξ=∆∑，若0
1
l i m ()n
i i i f x λξ→=⋅∆∑
1(max{})i i n
x λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为
1
()l i m ()n
b
i i a
i f x dx f x λξ→==⋅∆
∑⎰
，当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义
定积分()b
a f x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x
b =以及x 轴
所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ.定积分的性质
1. 补充规定：(1)当a b =时，()0b
a f x dx =⎰
(2)当a b >时,
()()b
a
a
b
f x dx f x dx =-⎰
⎰
2. 性质： (1) [()()]()()b b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx -
-+=+⎰⎰
⎰
(2) ()(),()b
b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数
(3)
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰
(4)b a
dx b a =-⎰
(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()b
a f x dx a
b ≥<⎰
推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()b b
a
a
f x dx
g x dx a b ≤<⎰⎰.
推论2：
()(),()b
b
a
a
f x dx f x dx a b ≤<⎰
⎰.
(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()b
a
m b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰
(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()b
a f x dx f
b a a b ξξ=-≤≤⎰.
3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()b
a
y f x dx b a -
=-⎰
Ⅳ. 积分上限函数及其导数
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()x
a
x f t d t Φ=⎰
在[,]a b 上可导，则
'()()(),()x
a d x f t dt f x a x
b dx
Φ=
=≤≤⎰. 2. 设()f x 连续，()x φ可导，则()'
'()()[()]()x a
d x f t dt f x x dx φφφΦ==⎰. 3. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''
()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dx
φϕφφϕϕΦ=
=-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)
设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
.
Ⅵ. 定积分的换元法
设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.
(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()b
a f x dx f t t dt β
α
φφ=⎰⎰.
注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法
设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有
()()()()()()
b
b
b
a a
a
u x dv x u x v x v x du x =-⎰
⎰
Ⅷ. 几类特殊的积分公式
1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0
()[()()]a
a
a
f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.
2()()[,]()()[,]a a
a
f x dx
f x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰
当为上连续的偶函数时0
当为上连续的奇函数时
2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ， 有0
()()a l l
a
f x dx f x dx +=⎰
⎰.
3. 设()f x 在[0,1]上连续，则
2
20
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=⎰⎰
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
⎰
⎰
20
(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ
=⎰
⎰
4.2200
1231342212
42
sin cos 1353
1
n n n n n n n n n xdx xdx n n n n ππ
π--⎧⎪-⎪--⎪==⎨
-⎪=⎪⎪⎩
⎰⎰为正偶数
为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分
(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim ()b
a a
b f x dx f x dx ∞
→+∞=⎰
⎰
(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,
()lim ()b
b
a
a f x dx f x dx -∞
→-∞=⎰
⎰
(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,
000
()()()lim ()lim ()b
a
a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞
∞
-∞
-∞
→-∞→+∞=+=+⎰
⎰⎰⎰⎰
若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分
发散.
注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞
-∞
⎰
收
敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞
-∞
⎰就发散.
2. 无界函数的反常积分
(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()b b
a
t
t a
f x dx f x dx +→=⎰⎰
(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()b t
a
a
t b
f x dx f x dx -→=⎰⎰
(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，
()()()lim ()lim ()b
c b t b
a
a
c
a
t
t c
t c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰
⎰⎰⎰⎰
若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分
发散.
注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()b
a
f x dx ⎰收
敛. 只要有一个极限不存在，()b
a
f x dx ⎰就发散.
三、重点与难点
1. 积分上限的函数及其导数.
2. 牛顿——莱布尼兹公式.
3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、例题
1. 求222
22
12
lim(
)12
n n
n n n n
→∞
+++
+++ 分析：由定积分定义知0
1
()()lim
()n
b
i
i
a
i n f x dx f x λξ→=→∞=⋅∆∑⎰，可见求右端的极限
也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.
解：原式22221111lim lim lim 11()n
n
n
i i n n n i i i i
i
i n x i n i n
n
ξξ→∞→∞→∞======∆+++∑∑∑
1
11
22220001111(1)ln(1)ln 212122
x dx d x x x x ==+=+=++⎰⎰
2. 下列解法是否正确
(1).
220
sec 02tan x dx x π
π
==+⎰
(2).1
1
1
1222
11111111x t
dx
dt dx x t x =
----⇒
=-+++⎰⎰⎰令，即1122111
2011dx dx x x --⇒=++⎰⎰
解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数220
sec ()2tan x
f x dx x
π
=+⎰
在积分区间[0,]
π内2x π=处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式.
(2) 代换1
x t
=在[1,1]-上不连续，故在[1,1]-上不可导，不符合换元法的条
件.
3. 求下列定积分
(1)0π
⎰ (2)2
21
min{,}x x dx -⎰
(3)2
-⎰
(4)2
1
⎰
解：0
x dx π
π
π
==⎰
⎰
⎰
22
xdx xdx π
π-
=-⎰
33
2
2
20
2
22sin sin 33x x ππ
π
=-
224333
=
+= 注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上
脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分.
(2) 2
2
11min{,}12
x x x x x
x ⎧-≤≤=⎨
<≤⎩
2
1
2
2
2
1
1
1
13
min{,}6
x x dx x dx xdx --=+=
⎰
⎰⎰
(3)
2
2
2
1d
---==⎰
⎰
⎰
2
1
a r c s i n
4
6
12
x π
ππ
-==-+=-
(4)2
2
1
1
=⎰⎰ 令1sin ,x t -=则cos dx tdt =
原式2
2
22220
(sin 1)cos cos cos cos t tdt td t tdt πππ=+=-+⎰⎰⎰
23
111c o s 32234t π
ππ=-+=+ 4. 设()f x 连续，0
()()x
g x x f t dt =⎰，求''(0)g
解：'0
()()()x
g x xf x f t dt =+⎰ (1)
'(0)0g =
'
'
''
000()()()(0)(0)lim lim x
x x xf x f t dt g x g g x x
→→+-==⎰
()()
lim ()(0)lim
2(0)1
x
x x f t dt f x f x f f x
→→=+
=+=⎰ 注：此题没有()f x 可导的条件，故“对(1)式两边在对x 求导. 得
'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+⇒=“这种解法是错误的. 5. 计算下列极限
(1)20
sin 0
ln(1)lim
sin 2x
x
x t dt tdt
→+⎰⎰
(2)20
30
[()]lim
x
t t
x
x te f u du dt
x e
→⎰
⎰
解：(1)20
sin 0
000
ln(1)ln(12)24lim lim
lim 2sin(2sin )cos 2sin sin 2x
x
x x x t dt x x
x x x
tdt
→→→++⋅===⎰⎰
(2)2
22
32
3
2
3
[()]()()lim
lim
lim
(3)3x
x t
x
t
x x
x
x x x te f u du dt
xe
f u du
f u du
x e
x x e
x x
→→→-==++⎰⎰⎰
⎰
2
0()2(0)0
l i m
0323
x f x x f x →-⋅-⋅===+ 6.设()f x 为连续函数，且221
(2)()arctan 2
x
x
x t f t dt x -=
⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰.
解：2221
2()()arctan 2
x x x
x x f t dt tf t dt x -=⎰
⎰
两边对x 求导，得 24
2()2[2(2)()]
[4(2)()]1x x
x
f t d t x f x f x x f x x f x x +---=+⎰
整理后，有241()[()]21x
x x
f t dt xf x x =++⎰
令1x =，即得21113
()[(1)]224
f x dx f =+=⎰
7.设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且0()()()2
x x
F x t f t dt =-⎰
证明：(1)若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数.
(2)若()f x 为单减函数，则()F x 是单增函数 ..
证明：(1) 00()()()()()()22x
x x x
F x t f t dt u f u du
t u --=--=--+-=-⎰⎰
0()()()2
x x u f u d u F x =-=⎰ 即()F x 为偶函数
(2) 0
0()()()2x
x x F x f t dt tf t dt =
-⎰⎰ '
00
11()()()()[()()]222x x x F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-⎰⎰
000
11[()()][()()]22x x x
f t dt f x dt f t f x dt =-=-⎰⎰⎰
由()f x 单减，当0t x <<时，()()0f t f x -> '01()[()()]0
(0)2
x
F x f t f x d t x ⇒=
->>⎰时
当0x t <<时，()()0f t f x -<.
'
011()[()()][()()]022x x
F x f t f x dt f x f t dt ⇒=-=->⎰⎰
(0)x <时 即在(,)-∞+∞上，()F x 为单增函数. 8.计算下列各题：
(1)52222
(sin )cos x x xdx π
π-
+⎰ (2)2ln(1)(0)a
x a
x e dx
a -+>⎰
(1) 解：52cos x x 为奇函数，22sin cos x x 为偶函数.
原式5
2
2
2
222
2
22
2
2
cos sin cos sin cos x xdx x xdx x xdx π
π
π
πππ-
-
-
=+=⎰⎰⎰
2
2
2
4
2
22
00
2s i n (1s i n )2
s i n s i n x x d x x d x
x d x π
π
π
⎡⎤=-=-⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰⎰ =1312()224228
πππ
⨯-
⨯= (2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式
⎰⎰
-+=-a
a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(，若)()(x f x f -+在],0[a 上容易积分，该公式就
可利用了.
解：⎰⎰--+-+=+a
x x a
a
x dx e x e x dx e x 0
222])1ln()1ln([)1ln(
⎰⎰
++=++=-a x x x a x x dx e e e x dx e e x 00
1
)
1(ln 211ln 2
3
3
23
23
2
2a x dx x a
a
=
==⎰ 9.计算⎰
-π
k dx x 0
2sin 1 (k 为正整数)
解：原式⎰⎰
-=-=π
π
k k dx x x dx x x 0
2
cos sin )cos (sin
⎰
⎰⎰--++-+-=π
π
πππ
k k dx x x dx x x dx x x )1(20
cos sin cos sin cos sin
⎰-=π
c o s s i n dx x x k
])c o s (s i n )s i n (c o s [4
40
⎰⎰-+-=π
ππ
dx x x dx x x k
])s i n (c o s )c o s (s i n [4
40π
ππ
x x x x
k +-+= k 22=
注：x x cos sin - 是周期为π的周期函数. 10.求dx x x ⎰
++1
02
1)
1ln(
解：令t x tan =，
原式dt t tdt t
t ⎰⎰+=+=4024
02)tan 1ln(sec sec )
tan 1ln(π
π 设dt t ⎰+=I 40
)tan 1ln(π
dt t dt t t dt t
t
⎰⎰⎰-+=+
=I 404040cos ln )sin ln(cos )cos sin 1ln(π
ππ dt t dt t ⎰⎰--=4040cos ln )4
cos(2ln π
π
π
(1) 而du u du u dt t ⎰⎰⎰=-=-400
4
4
)cos 2ln )cos 2ln()4cos(2ln π
ππ
π
)4(t u -=π
du u du ⎰⎰+=40
40
cos ln 2ln ππ 代入(1)式
得 dt t du u du ⎰⎰⎰-+=I 40
40
40
cos ln cos ln 2ln πππ
2ln 8
2ln 40
π
π
=
=⎰du
所以
2ln 8
1)1ln(1
02
π
=++⎰dx x x 11.求
⎰
+20
cos sin sin π
dx e
e e x
x x
解：⎰⎰⎰
+=+-=+=I 20sin cos cos 02
sin cos cos 2
cos sin sin π
ππ
dx e e e dx e e e dx e e e x x x
t t t x x x 于是 2220
2
s i n c o s c o s s i n ππ
π
===++=I ⎰⎰
dx dx e e e e x
x x x 420c o s s i n s i n
π
π
=+=I ⇒⎰dx e
e e x x x 12.求⎰⎰-1
1
][2
2
dx dt e x x t .
解：⎰-2
2
1
x t dt e
为x 的函数，令⎰-=2
2
1
)(x t dt e x f
原式⎰⎰
⎰-===10'2
1
2
1
21
)(2)(22)()(dx x f x x f x x d x f dx x xf
⎰
⎰
---=
1
21
1
2
]2[2
2
4
2
2
dx x e x dt e
x
x x t
⎰⎰-=-=--10
4
10
3)(4144
x d e dx e x x x )1(4
11
-=
-e 13. 设函数⎰=Φx dt t x 0
sin )(
(1) 当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<Φ≤n x n (2) 求x
x x )
(lim
Φ+∞→
解：(1)由0sin ≥t ,且ππ)1(+<≤n x n
⎰
⎰+<Φ≤⇒π
π)1(0
sin )(sin n n dt t x dt t
有由t sin 是周期为π的周期函数.
sin sin sin 2n t dt n t dt n tdt n π
ππ
===⎰
⎰⎰
同理)1(2sin )1(0
+=⎰
+n dt t n π
因此，当ππ)1(+<≤n x n 时，有)1(2)(2+<Φ≤n x n
(2)由(1)知当ππ)1(+<≤n x n 即
π
πn x n 1
1)1(1≤
<+ 有
π
πn n x x n n )
1(2)()1(2+≤
Φ<+，令∞→x ，有∞→n . 而π
π2
)1(2lim
=+∞→n n n ，ππ2)1(2lim
=+∞→n n n π
2
)(lim
=Φ⇒+∞→x x x
14.设)(x f 在]1,0[上连续，且单调递减，证明对)1,0(∈∀α,有
⎰⎰
≥1
0)()(dx x f dx x f αα
证法一：⎰⎰⎰+=1
1
)()()(α
αdx x f dx x f dx x f
于是⎰⎰-10
)()(dx x f dx x f αα
=])()([)(1
⎰⎰⎰+-α
αααdx x f dx x f dx x f
=⎰⎰--1
)()()1(α
αααdx x f dx x f
由积分中值定理 )()(10
ξαα
f dx x f =⎰ αξ≤≤10
)()1()(2
1
ξ
ααf dx x f -=⎰ 12≤≤ξα
因此⎰⎰-1
)()(dx x f dx x f αα
=)()1()()1(21ξααξααf f ---
=)]()([)1(21ξξααf f -- (1021≤≤≤≤ξαξ)
因)(x f 单减，则有)()(21ξξf f ≥，即⎰⎰≥1
)()(dx x f dx x f αα.
证法二：设⎰⎰
-=
1
)()(1
)(dx x f dx x f F α
α
α (10≤<α)
2
2
1
)
()()()()(αξαααα
αααα
f f dx
x f f F -=
-=
⎰ αξ≤≤0
0)()(≤-=α
ξαf f
即)(αF 在]1,0(上单调不增，
即0)1()(=≥F F α，即有⎰⎰≥1
)()(dx x f dx x f αα.
注：此题还可以用积分换元法加以证明.
15.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且满足⎰=210
2)(2)1(dx x f x f . 证明在)1,0(内至少有一点ξ使)(2
)('ξξ
ξf f -
=.
证：设)()(2x f x x F =，由积分中值定理，
2
1
)()()(1210
210
2⋅
==⎰⎰
ξF dx x F dx x f x (2101≤≤ξ)
即⎰=210
2
1)(2)(dx x f x F ξ，而dx x f x f F ⎰==210
22
)(2)1(1)1(
即)1()(1F F =ξ，由罗尔定理，存在)1,0()1,(1⊂∈ξξ，使0)('=ξF 而)()(2)('2'x f x x xf x F +=，即有0)()(2)('2'=+=ξξξξξf f F 也即0)()(2'=+ξξξf f ，)(2
)('ξξ
ξf f -=.
16.计算下列反常积分. (1)⎰
+∞
-2
2ln 1dx x x (2) ⎰+∞+02
32)1(arctan dx x x (3)⎰-10211
ln dx x
解：(1) ⎰
+∞
-2
2
ln 1dx x x =⎰+∞--2
1
)ln 1(x d x =⎰
∞
++∞
---
2
2
2
1
ln 1dx x x
x
=+∞
+
-2
1
22ln 1x
=2
2
ln -
. (2)令x x tan =，⎰
+∞+0
2
3
2
)
1(arctan dx x x dt t t
t
⎰=2
23
sec sec π
=dt t t ⎰20
cos π=t d t sin 20
⎰π =⎰-20
20
sin sin π
πtdt t
t =
20cos 2
π
π
t +
=
12
-π
.
(3) ∞=--
→2
111
ln lim x x , 1=x 为被积函数的瑕点. ⎰-1
211ln
dx x =⎰-+-→t t dx x x 01)
1)(1(1
ln lim
=⎰
-++--→t
t dx x x 0
1
)]1ln()1[ln(lim =t t x x x x x 01
)]1ln()1(2)1ln()1([lim --++++--
→ =)]1ln()1(2)1ln()1([lim 1
t t t t t t --++++--
→ =)2ln 1(2- 17.已知π=⎰+∞
∞
--dx e x 2
，12
=⎰+∞
∞
-+-dx ce x
x
.求c 的值.
解：=⎰+∞
∞
-+-dx ce
x
x 2)2
1
(4
1)2
1(2
-⎰∞
+∞
---x d e e
c x
t x =-2
1令 dt e e c t ⎰∞+∞--41
2dt e ce t ⎰∞+∞--=24
1
π4
1ce
=
即π
π4
14
1
11e
c ce
=⇒=.
18.设⎩⎨
⎧<<=其它
10)(x x
x f ，⎩⎨
⎧<≥=-0
)(x x e x g x
， 求函数dx x t g x f t h ⎰+∞∞
--=)()()(的表达式.
解：因为)(x f 在)1,0(上为x x f =)(，在)1,0(之外都为零.
故dx x t g x f t h ⎰+∞
∞
--=)()()(⎰-=1
)(dx x t xg
而⎩⎨
⎧≥-=---其它
0)()
(x t e x t g x t
当0<t 时，由于积分变量]1,0[∈x ，故总有t x > 从而0)(=-x t g ，0)()(1
0=-=⎰dx x t xg t h .
当10≤≤t 时，⎰⎰⎰-+-=-=1
10
)()()()(t
t dx x t xg dx x t xg dx x t xg t h
当积分变量x 在]1,[t 上变化时，0≤-x t ，0)(=-x t g ， 所以0)(1
=-⎰t dx x t xg
从而⎰⎰⎰--==-=t
x t t t x t dx xe e dx xe dx x t xg t h 0
)()(
t t t t t x x t e t e te e e xe e ---+-=+-=-=1)1(][0 当1>t 时，t
x t
t
x e
dx xe e
dx xe dx x t xg t h ---===-=⎰⎰⎰1
1
1
)()(.
综上 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤-+<=--时
当时当时当1101
00)(t e x t e t t h t t 注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.
定积分自测题(A)
一. 选择题(每小题3分，共15分). 1.
=⎰dt e dx
d b x t 2
( ) (A)2
x e (B)2
x e - (C)2
2
x b e e - (D)2
2x xe - 2.dx x x I ⎰-=3
021,则( )
(A)化为)1()1(2123
21
2x d x I ---=⎰后计算
(B)进行代换t x sin =后计算
(C)进行代换t x =-2
1，dt t I ⎰--=3021
2
1
21后计算
(D) 进行代换t x cos =后计算
3.设)(x f 连续且2)0(=f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0
0)()(2
x c x x dt t tf x F x ，若)(x F 在0=x 处连续，则=c ( )
(A)0=c (B) 1=c (C)c 不存在 (D) 1-=c 4.设)(x f 在[a a ,-]上连续，则⎰-a
a dx x f )(等于( )
(A)⎰a
dx x f 0
)(2 (B)0
(C) ⎰-+a dx x f x f 0
)]()([ (D)⎰--a
dx x f x f 0
)]()([
5.设)(x f 是连续的奇函数，则)(x f 的任一原函数( )
(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数 二.(7分)求]4121141[
lim 2222
2n
n n n -+++
-∞
→ .
三.计算下列各题(每题6分，共12分).
1.2
0220
)
()(lim
2
2
dt e dt e x
t x
t x ⎰⎰-→
2.设dt t x f x
x
⎰
-+=sin 2)1arctan()(，求)0('f .
四.计算下列定积分(每题8分，共56分). 1.⎰
+2
1
ln 11e dx x
x 2.dx x x ⎰-20
cos sin π
3.⎰-+43
4
12)
1(1
dx x x x 4.⎰+x e dx 1 5.dx x ⎰
+π43
2cos 1 6.dx x x ⎰--1
1224
7.dx x
x ⎰
+∞
2
2
ln 1
五.(10分) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0
01)(2
x e
x x
x f x
，求dx x f ⎰-3
1
)2(.
定积分自测题(B)
一. 选择题(每小题3分，共15分).
1.设0)(=⎰dx x f b
a
，且)(x f 在],[b a 连续，则( )
(A)在],[b a 上，0)(≡x f (B)必存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (C)存在唯一的],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (D)不一定存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf 2.设dt t I x e
⎰=ln 1，dt t I x
e
⎰=22)(ln ，(0>x )，则( )
(A)对一切e x ≠，有21I I < (B)仅当e x >时，有21I I < (C)对一切e x ≠，有21I I ≥ (D)仅当e x <时，有21I I < 3.当0→x 时，⎰
-=10
2)sin()(x e dt t x f 与43)(x x x g +=比较，是( )
(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小
4.函数dt t t t
x x
⎰
+-=021
3)(ϕ在区间]1,0[上的最小值为( )
(A)21 (B)31 (C)4
1
(D)0
5.=-+⎰→x
dt
t x
x cos 1)1ln(lim
2sin 0
( )
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二.填空题(每小题3分，共15分).
1. 设)(x f 为连续函数，则=
--⎰-a
a dx x f x f x )]()([2.
2. =+++++∞→)21
2111(
lim n n n n .
3. 若dx x f dx x xf a ⎰⎰=0
202
)(21)(，则=
a .
4. 设
⎩⎨
⎧≤<≤≤=2
11
1
0)(2x x x x f ，而⎰=x dt t f x F 1
)()( )20(≤≤x ，则
=)(x F .
5.
=-⎰
dx x 2
1.
三.计算下列各题(每题8分，共56分).
1.⎰
-+1
0x x e e dx 2.⎰+214)1(x x dx
3.θθθθπ
πd ⎰-
+22
2
3
4
sin )sin (cos 4.dx x
x
⎰+2
2sin 3sin π
5.⎰
--2
ln 0
21dx e x 6.⎰
+∞
++0
2
)
1()
1ln(dx x x 7.已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，求⎰1
'')(dx x xf .
四.(8分) 设⎰
+=x dt t
t
x f 11
1ln )( )0(>x ,试求)1()(x f x f +.
五.(6分) 设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且)0()(31
3
2f dx x f =⎰.
证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)('=ξf .
定积分自测题(C)
一. 选择题(每小题3分，共18分).
1.设)(x f 为连续函数，那么函数⎰=x
dt t tf x F 02)()(为( )
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数 2.⎰=x
a dt t f )2('( )
(A))]()([2a f x f - (B))2()2(a f x f -
(C))]2()2([2a f x f - (D))]2()2([2
1
a f x f -
3.函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续是定积分dx x f b
a
⎰)(存在的( )
(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 4.设⎰
--+=1
14121sin dx e x x I x ，⎰--++=1142)1sin (2dx e x x I x ，⎰---+=1143)1sin (2
dx e x x I x ， 则( )
(A)321I I I << (B)231I I I << (A)213I I I << (A)123I I I << 5.设)(x f 连续，则
⎰=-x dt t x tf dx d 0
2
2)(( ) (A))(2x xf (B))(2x xf - (C))(22x xf (D))(22x xf - 6.广义积分收敛的是( ) (A)⎰
+∞e
dx x x ln (B)⎰+∞e dx x
x ln 1
(C)⎰
+∞
e
x x dx
2)(ln (D)⎰+∞e x
x dx ln 二.填空题(每小题3分，共12分).
1.=+⎰))1ln((22x x
t
dt t e dx d .
2.设)(x f 在]4,0[上连续，且3)(2
1
2-=⎰
-x dt t f x ，则=
)2(f . 3.设)(x f 为连续函数，且dx x f x x f e
⎰-=1
)(ln )(，则=⎰dx x f e
1
)(.
4.=
-+⎰-dx x x 1
122)1(.
三.计算下列各题(每题8分，共40分).
1.⎰+4
2cos 1π
dx x x 2.⎰+++203)1(1x x dx
3. ⎰
+e
dx x
x 1
ln 1 4.⎰+10222
)1(dx x x
5.⎰
+-5
ln 0
3
1
dx e e e x
x x 四.(10分) 已知dt te a
x a x a t x
x ⎰∞-+∞
→=-+2)(
lim ，试求a 的值.
五.(10分) 已知⎰=+-→x x dt t
a t x bx 02
01sin 1lim ，求b a ,的值.
六.(10分) 设)('x f 在],0[a 上连续，且0)0(=f .
证明：
2
)(2
Ma dx x f a
≤⎰
，其中)(max '0x f M a x ≤≤=.
定积分自测题答案
自测题(A)
一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 二.
6
π
. 三. 1.1 2.
2
π 四. 1.)13(2- 2.)12(2- 3.3
8
31ln 4-
4.e e +12ln
5.122-
6.2
3
32-π 7.
2ln 1 五. e
137-
自测题(B)
一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4=a
4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=2
11
10)
1(3
1)(3
x x x x x F 5.1
三. 1.e arctan 2.1732ln 41 3.16π 4.3
1
ln 41-
5.
)32ln(2
3
+- 6.1 7.2 四.2)(ln 2
1
x
五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.
自测题(C)
一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C
二. 1.)1ln(2)1ln(422x xe x e x x +-+ 2.4
1)2(=
f 3.e 1 4.2 三. 1.)2
2ln 4(21+π 2.6π 3.23 4.
82-π 5.4-π
四. 25=a 五. 1,4==b a
六. ],0(a x ∈∀，由拉格朗日中值定理，x f f x f )()0()('ξ=-，),0(x ∈ξ.
又因0)0(=f ，故x f x f )()('ξ=，],0[a x ∈， 于是200'0'02)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f a a a a
=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。