3.3.2极大值与极小值 学案(含答案)

3.3.2极大值与极小值学案（含答案）
3.3.2极大值与极小值学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数极值的概念函数yfx的图象如图所示思考1函数在xa处的函数值与附近的函数值有什么大小关系答案函数在xa处的函数值比它在xa附近的其他点的函数值都小思考2fa为多少在xa附近，函数的导数的符号有什么规律答案fa0，在xa的左侧fx0，右侧fx0.梳理1极小值函数yfx在xa处的函数值fa比它在xa附近其他点的函数值都小，fa0；而且在xa的左侧fx0，右侧fx0.fa叫做函数yfx的极小值2极大值函数yfx在xb处的函数值fb比它在xb附近其他点的函数值都大，fb0；而且在xb的左侧fx0，右侧fx0.fb叫做函数yfx的极大值极大值和极小值统称为极值知识点二求函数yfx极值的方法1解方程fx0；2根据函数的极值与导数之间的关系验证判断如果在x0两侧fx符号相同，那么x0不是fx的极值点如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么，fx0是极大值如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么，fx0是极小值1函数的极小值一定小于它的极大值2fx在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值3若fx在a，b内有极值，那么fx在a，b内不是单调函数4函数yx3x22x3存在极值类型一求函数的极值例1求下列函数的极
值1fx2x33x212x1；2fx3lnx.解1函数fx2x33x212x1的定义域为R，fx6x26x126x2x1，解方程6x2x10，得x12，x
21.当x变化时，fx与fx的变化情况如下表x，222,111，
fx00fx极大值21极小值6所以当x2时，fx取极大值21；当x1时，fx取极小值
6.2函数fx3lnx的定义域为0，，fx，令fx0，得x
1.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表x0,111，fx0fx极小值3因此当x1时，fx有极小值3，无极大值反思与感悟求可导函数fx的极值的步骤1确定函数的定义域，求导数fx；2求fx 的驻点，即求方程fx0的根；3利用fx与fx随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒在判断fx 的符号时，借助图象也可判断fx各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练1求下列函数的极值1fxx34x4；2fxx2ex.解
1fxx34x4，fx的定义域为R，fxx24x2x2令fx0，解得x12，x
22.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表x，222,222，
fx00fx因此，当x2时，fx有极大值，并且极大值为f2；当x2时，fx有极小值，并且极小值为f
2.2函数的定义域为R，fx2xexx2exxex2x，令fx0，得x10，x22，当x变化时，fx，fx的变化情况如下表x，222,000，
fx00fx4e20由上表可以看出，当x2时，函数有极大值为f24e
2.当x0时，函数有极小值为f00.类型二已知函数极值求参数例21已知函数fxx33ax2bxa2在x1处有极值0，则a________，
b________.2若函数fxx3x2ax1有极值，则a的取值范围为
________答案1292，1解析1fx3x26axb，且函数fx在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，fx3x26x33x120，此时函数fx在R 上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，fx3x212x93x1x3当x，3时，fx0，此时fx为增函数；当x3，1时，fx0，此时fx为减函数；当x1，时，fx0，此时fx为增函数故fx在x1处取得极小值，a2，b
9.2fxx22xa，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a
1.引申探究1若例2中函数在x1处取到极大值，求a的值解fxx22xa，由题意得f112a0，解得a3，则fxx22x3，经验证可知，fx在x1处取得极大值2若例2中函数fx有两个极值，均为正数，求a的取值范围解由题意得方程x22xa0有两个不等的正根，设为x1，x2，则解得0a
1.故a的取值范围是0,1反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点1根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练2设x1与x2是函数fxalnxbx2x的两个极值点1试确定常数a和b的值；2判断x1，x2使函数fx取得极大值还是极小值，并说明理由解1因为fxalnxbx2x，所以fx2bx
1.依题意得f1f20，即解方程组得a，b.2由1知，
fxlnxx2xx0，故fxx
1.当x0,1时，fx0；当x1,2时，fx0；当x2，时，fx0.故在x1处函数fx取得极小值，在x2处函数取得极大值ln
2.类型三函数极值的综合应用例3已知函数fxx36x29x3，若函数yfx的图象与yfx5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围解由fxx36x29x3，可得fx3x212x9，
fx5xm3x212x95xmx2x3m，由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即gxx37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点
gx3x214x83x2x4，令gx0，得x或x
4.当x变化时，gx，gx的变化情况如下表x44，gx00gxm16m 则函数gx的极大值为gm，极小值为g416m.由yfx的图象与
yfx5xm的图象有三个不同交点，得解得16m.即实数m的取值范围为.反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪训练3设函数
fxx36x5，xR.1求函数fx的单调区间和极值；2若关于x的方程fxa有三个不同的实根，求实数a的取值范围解1fx3x26，令
fx0，解得x1，x
2.因为当x或x时，fx0；当x时，fx0.所以，fx的单调递增区间为，和，；单调递减区间为，当x时，fx有极大值54；当x 时，fx有极小值
54.2由1知，yfx图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yfx的图象有三个不同的交点，即当实数a 的取值范围为54，54时，方程fxa有三个不同的实根1函数
y3x39x5的极大值为________答案11解析y9x
29.令y0，得x
1.当x变化时，y，y的变化情况如下表x，111,111，y00y极大值极小值从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值313915
11.2若函数fxaxlnx在x处取得极值，则实数a________.答案解析fxa，令f0，即a0，解得a.3已知fxx3ax2a6x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_________答案，36，解析
fx3x22axa6，因为fx既有极大值又有极小值，那么2a243a60，解得a6或a
3.4设函数fx6x33a2x22ax.若fx在xx1和xx2处取得极值，且x1x21，则实数a的值为________答案9解析fx18x26a2x2a.由已知fx1fx20，从而x1x21，所以a
9.5已知关于x的函数fxx3bx2cxbc，若函数fx在x1处取得极值，则b________，c______.答案13解析fxx22bxc，由fx在x1处取得极值，得解得或若b1，c1，则fxx22x1x120，此时fx没有极值；若b1，c3，则fxx22x3x3x1，当3x1时，fx0，当x1时，fx0.所以当x1时，fx有极大值.故b1，c
3.1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性
质可导函数fx在点xx0处取得极值的充要条件是fx00且在xx0两侧fx符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题。