成都市2019级高中毕业班第二次诊断性检测

数学(理科)“二诊”考试题参考答案 第 １ 页(共４页)

２

成都市２０１9

级高中毕业班第二次诊断性检测 数学(理科)参考答案及评分意见

第Ⅰ卷 (选择题,共６０分)

一、选择题:(每小题５分,共６０分)

１．A ; ２．D ; ３．A ; ４．A ; ５．C ; ６．B ; ７．C ; ８．C ; ９．B ; １０．B ; １１．C ; １２．D ．

第Ⅱ卷 (非选择题,共９０分)

二、填空题:(每小题５分,共２０分) １３．－１;

１４．３π;

１５．[２

,１]; １６．６．

三．解答题:(共７０

分) １７．解:(Ⅰ)由题意,得２(a ２＋１)＝a １＋a ３．又S ３＝a １＋a ２＋a ３＝１４

, ∴２(a ２＋１)＝１４－a ２,∴a ２＝４,

２分

∵S ３＝４＋４＋４q ＝１４,∴q ＝２或q ＝１

,

４分 q ２ ∵q ＞１,∴q ＝２．

５分 ∴a n ＝a ２q n －２＝４２n －２＝２n

．

６分 (Ⅱ)由(Ⅰ),知a n ＝２n ．∴b n ＝a n l o g ２a n

＝２n n ． ７分 ∴T n ＝１×２１＋２×２２＋３×２３＋＋(n －１)×２n －１＋n ×２n ． ８分 ∴２T n ＝１×２２＋２×２３＋３×２４＋＋(n －１)×２n ＋n ×２n ＋１． ９分 ∴－T n ＝２＋２２＋２３＋２４＋＋２n －n ×２

n ＋１ １０分 ２(１－２n

)

n ＋１ ( )n ＋１

＝ １－２

n ×２ ＝ １－

n ２ －２． １１分 ∴T n ＝(n －１)２n ＋１＋２．

１２分

１８．解:(Ⅰ)根据列联表可以求得 K ２ 的观测值:

k ＝８０ (２５×３０－１０×１５)２ ＝８０

≈１１．４２９． ３分

３５×４５×４０×４０ ７ ∵１１．４２９＞６．６３５,

∴有９９％的把握认为满意程度与年龄有关． ５分

(Ⅱ)

据题意,该８名员工的贡献积分及按甲,乙两种方案所获补贴情况为:

由表可知,“A 类员工”有５名． , “ ”

８分 设从这８名员工中随机抽取４名进行面谈 恰好抽到３名 A 类员工 的概率为P ．

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７

→ → → ３

由 D A →

n ＝０,得 －x ２＋２z ２＝０．

C ３５C １３

C ４

８

１０分 ＝３． １２分

１９．解:(Ⅰ)由题意,可知在等腰梯形A B C D 中,A B ∥C D , ∵E ,F 分别为A B ,C D 的中点,∴E F ⊥A B ,E F ⊥C D ．

１分 ∴折叠后,E F ⊥D F ,E F ⊥C F ． ２分 ∵D F ∩C F ＝F ,∴E F ⊥平面D C F ． ４分 又 M C ⊂平面D C F ,故E F ⊥M C ．

５分

(Ⅱ)∵平面B E F C ⊥平面A E F D ,平面B E F C ∩平面A E F D ＝E F ,且D F ⊥E F , ∴D F ⊥平面B E F C ,∴D F ⊥C F ,∴D F ,C F ,E F 两两垂直．

以F 为坐标原点,分别以F D ,F C ,F E 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F x y z ． ６分

∵DM ＝１,∴F M ＝１．

∴M (１,０,０),D (２,０,０),A (１,０,２),B (０,１,２)．

∴MA ＝(０,０,２),A B ＝(－１,１,０),D A ＝(－１,０,２)．

设平面 M A B

,平面A B D 的法向量分别为 ８分

m ＝(x １,y １,z １),n ＝(x ２,y ２,z ２)． 由 MA →

m ＝０,得 ２z １＝０ ．

{A B →

m ＝０

{

－x １＋y １＝０

取x １＝１,则m ＝(１,１,０)． ９分

{

A B →n ＝０

{

－x ２＋y ２＝０ 取x ２＝２,则n ＝(２,２,１)．

１０分 ∵c o s ＜m ,n ＞＝ m n

１１分

|m ||n | ３

∴二面角M －A B －D 的余弦值为

１２分 ２０．解:(Ⅰ)由题意,得２b ＝４ ２,c ＝１

．

２分 a ３

又a ２－c ２＝b ２

,∴a ＝３,b ＝２ ２,c ＝１．

３分 ∴椭圆C 的标准方程为x ２ ＋y

２ ＝１．

４分

９ ８

(Ⅱ)由(Ⅰ),可知A (－３,０),B (３,０),F １(－１,０)． 由题意,设直线F １M 的方程为x ＝m y －１．

５分记

直线F １M 与椭圆的另一交点为M ′ ．设 M (x １,y １ ) (y １＞０),M ′ (x ２,y ２ ) ． ∵F １M ∥F ２N ,根据对称性,得 N (－x ２,－y ２ ) ．

６分

则P ＝

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x ＝m －１y

１２

x

８ ２＋９

m ＋９ y １ x ２

x ２

联立{

８x ２＋９y ２

＝７２,消去x ,得

(８m ２＋９)y ２－１６m y －６

４＝０,其判别式△＞０． ∴y １＋y ２＝ m １６m ,y １y ２＝－８ ６２４

．

① ７分 由３k １＋２k ２＝０,得m ３y １

＋

m ２y ２ ＝０,即５m y １y ２＋６y １＋４y ２＝０．② ８分 y １＋２ y ２＋２ 由①②,解得y １＝ １２８２ m ,y ２＝ －１１２

２m

． １０分

∵ ＞０,∴ ８m ＋９ ８m ＋９

∴y １y ２＝１２８m ２(－１１２２m )＝－２

６４

．∴m

１１分

(８m ＋９) ８m ＋９

１２ ∴直线F １M 的方程为x ＝ ６

y －１,即２ ６x －y ＋２ ６＝０．

１２分 ２１．解:(Ⅰ)由已知,有f ′

(x )＝x １－a ＝x －a ． １分 当a ≤０时,f (１

)＝－l n ２＋a ＜０,与条件f (x )≥０矛盾; ２分

当a ＞０时,若 ２

(,a ),则f ′

(x )＜０,f (

x )单调递减; x ∈ ０

若x ∈(a ,＋∞),则f ′ (x )＞０,则f (x )

单调递增． ３分 ∴f (

x )在(０,＋∞)上有最小值f (a )＝l n a ＋a (a １

－１)＝l n a ＋１－a ． ４分由

题意f (x )≥０,∴l n a ＋１－a ≥０．

令g (x )＝l n x －x ＋１．∴g ′ (x )＝x １－１＝１－x ．

当x ∈(０,１)时,g ′ (x )＞０,g (x )单调递增;当x ∈(１,＋∞)时,g ′

(x )＜０,g (x )单调递减． ∴g (x )在(０,＋∞)上有最大值g (１)＝０．∴g (x )＝l n x －x ＋１≤０． ∴l n a －a ＋１≤０．

５分 ∴l n a －a ＋１＝０,∴a ＝１,

综上,当f (x )≥０时,实数a 取值的集合为{１

} ． ６分

(Ⅱ)由(Ⅰ),可知当a ＝１时,f (

x )≥０,即l n x ≥１－x １在x ∈(０,＋∞)恒成立． 要证e x

＋x

１≥２－l n x ＋x ２＋(e －２)x ,

只需证当x ＞０时,e x

－x ２－(e －２)x －１≥０．

７分令

h (x )＝e x －x ２－(e －２)x －１(x ≥０)．则h ′ (x )＝e x

－２x －(e －２)． 令u (x )＝e x －２x －(e －２)．则u ′ (x )＝e x

－２． 由u ′ (x )＝０,得x ＝l n ２．

８分

当x ∈[０,l n ２)时,u ′

(x )＜０,u (x )单调递减; 当x ∈[l n ２,＋∞)时,u ′

(x )＞０,u (x )

单调递增． 即h ′

(x )在(０,l n ２)上单调递减,在(l n ２,＋∞)上单调递增． ９分而h

′

(０)＝１－(e －２)＝３－e ＞０,h ′ (l n ２)＜h ′

(１)＝０,

m ＞０．