振动理论 多自由度系统

1 I adj D i
已知三自由度系统的质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度k1= k2= k3= k4= k 。 求系统的特征值和特征向量。
三自由度系统
解：建立广义坐标如图，观察可得方程 2k k 0 m 0 0 M 0 m 0 K k 2k k 0 k 2k 0 0 m




i 1
i w i i
i 1
n
n
特征值倒数之和等于柔度动力矩阵对角元素之和
i 1

n
1
i
D ii
i 1
n
特征值之积等于刚度动力矩阵对应的行列式的值乘(-1)n
i ( 1) n
i 1
n
wii
特征向量的正交性 对于第i个特征值和第j个特征向量 ，有
K X i i M X i
X iT M X j X Tj M X i ∵ X T K X X T K X i j j i
T i T i

主振 X M X j 0 型关 i j 两式相减 得 X K X j 0 于质 量矩 i j X iT M X j 0 X iT M X i M i 阵和 i j 刚度 T X iT K X i K i 第i阶主刚度 X i K X i K i 矩阵 正交 i T X i M X i M i 第i阶主质量
K M X 0 W I X 0
i i
主振型
D 1 I X 0 i i
或从下列伴随矩阵的某一列得到特征向量{X}i:
adj K i M


adj W i I
K M X 0
设x X cos t
代入方程
M M M K x 0 x
2
I W x 0 x
W I X 0
若刚度矩阵正定方程两边左乘[ K ] - 1 : 设 x X cos t
M K x 0 x
特征方程为
W I
0 2k m k m
0
2k m
k m
2k m
k m k m
2 1 0 W M 1 K k 1 2 1 m 0 1 2 展开为


k m
3 2 2

k
m
2 k k 2 2 m m k adj m 0
k 2 m 2 k m k 2 m


2k m
2 2 k m


k m
k m 2k k 2 2 m m 0
X T K X X T M X
X T K X 2 R T X M X
移项 得Rayleigh商
即使假设振型 {X} 与系统第 i 个特征向量 {X}i 有些差别， 也可以把上式近似地作为系统第i 阶固有圆频率的估计值，这就 是Rayleigh原理。 若假设振型 {X} 的每一个元素都非零且同号，即它与系统 的第1 个特征向量 {X}1 接近，就可以Rayleigh商近似地作为系统 基频的估计值。估算值高于精确解 。



无阻尼系统的固有特性
特征向量的正交性 振型矩阵 u { X }1 { X }i
则有
u T M u M
0 M2
{ X }n
u T K u K
0 正则化的振型矩阵 u
建立广义坐标如图观察可得方程特征方程为三自由度系统节点n自由度系统质量阵和刚度阵是nn矩阵有n个特征值和特征向量第i个主振型有i1个节点节点n自由度系统有n个固有圆频率刚度动力矩阵特征值特征值之和等于刚度动力矩阵对角元素之和特征值之积等于刚度动力矩阵对应的行列式的值乘1特征值特征向量的正交性对于第i个特征值和第j个特征向量第i阶主刚度第i阶主质量刚度矩阵正交无阻尼系统的固有特性特征向量的正交性振型矩阵则有验证前面例子中三自由度系统的特征向量的正交性
正则化振型矩阵的正交性
M 1 0 M 0
0 K1 0 0 0 K K 2 0 0 Mn 0 0 Kn 1 1 1 X 1, , X 2 , , X n M1 M2 Mn


2

1 X 1 2 1
特征向量
adj W i I


2k m k m k m 2 k m k m 2k k 2 m m 0
2 2
k m
1
特征方程：

I
0
n个固有圆频率 i 2 特征值和特征向量 ( i = 1, 2, …, n ) 从任意一个特征方程出发，获得n个特征值 i ( i = 1, 2, …, n )
K M
i
0
W I
i
0
D
1

I
0
将每一个特征值代入相应的线性代数方程组，获得对应的特征向量{X}i:
0
0
2 2 2k 2k k k k 2k 0 m m m m m m
2 2 2k 2k k k k 2 k 0 m m m m m m 2 2k 2 4k k 2 0 m m m
2 k k 2 m m k adj m 0
k 2 m k 2 0 m k 2 m


X 2
1 0 1
节点
特征向量
adj W i I
三自由度系统
0 0 4m
4k 0 0 4( 2 2 ) k 0 0
基频估算方法 低频情况下，位移、变形、应力相对较大
Rayleigh原理 特征值问题
K M X 0
或 K X M X
两边左乘{X} T 得
K 1 M K 1 K x 0 x
2
1 代入方程 D I X 0
特征方程： W I 0 柔度动 力矩阵
D I x 0 x
D



2

节点
X 3
1 2 1
无阻尼系统的固有特性
n自由度系统 ，质量阵和刚度阵是n×n矩阵，有n个特征值和特征向量
固有圆频率
n自由度系统 ，有n个固有圆频率 i 2 ( i = 1, 2, …, n )
基频估算方法
Rayleigh原理
1 D I X 0 从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题为
或
K 1 M X X
两边左乘{X} T [ M ] 得
多自由度系统的振动
特征值问题
特征方程的三种表达形式
方程
M K x 0 x
设 x X cos t
2
特征方程： K M 0 刚度动 若质量矩阵正定，方程两边左乘[ M ] - 1 : 力矩阵 1 1 代入方程


k m
1
2 2 k
m
2 k k 2 2 m m k adj m 0
2 k m 2 k m 2 k m


2k m
2 2 k m

k
m

0 k m 2k k 2 2 m m
K u i
u T M u I
u T
特征向量的正交性
例 验证前面例子中三自由度系统的 特征向量的正交性。
2k k 0 1 1 1 m 0 0 k 2k k u 2 0 2 M 0 m 0 K 0 k 2k 1 1 1 0 0 m 1 2 1 m 0 0 1 1 1 4m 0 u T M u 1 0 1 0 m 0 2 0 2 0 2m 1 2 1 0 0 m 1 1 1 0 0 1 2 1 2k k 0 1 1 1 u T K u 1 0 1 k 2k k 2 0 2 1 2 1 0 k 2 k 1 1 1 4( 2 2 ) k ( 2 2 ) k ( 2 2 2 )k ( 2 2 )k 1 1 1 0 2k 0 2k 2 0 2 ( 2 2 ) k ( 2 2 2 ) k ( 2 2 ) k 1 1 0 1
1 2 n
主振型和振型矩阵
n自由度系统 ，有n个主振型{ x } i ( i = 1, 2, …, n )， 振型矩阵为
u { X }1
节点
{ X }i { X }n
第i个主振型有i-1个节点
特征值
2 1 0 k 1 刚度动力矩阵 W M K 1 2 1 m 0 1 2 特征值 k k k 1 2 2 3 2 2 2 2 m m m 特征值之和等于刚度动力矩阵对角元素之和

特征值为
2k m

Baidu Nhomakorabea1 2
k k 16 8 m m
2
2
1 2 2


k m
k m
2 2
k m
k m
3 2 2


k m
k m
1 0.765
2 1.414
3 1.848
特征向量
adj W i I
K X j j M X j
X Tj K X i i X Tj M X i X iT K X j j X iT M X j X iT K X j i X iT M X j
两边左乘{X} T 得