第10章第2讲 双曲线(习思用.数学理)

第二讲双曲线考点1双曲线的定义和标准方程
1.“k<9”是“方程x2
25-k +y2
k-9
=1表示双曲线”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若双曲线x2
16-y2
9
=1上的点P到点(5,0)的距离是15,则点P到点(-5,0)的距离是()
A.7
B.23
C.5或25
D.7或23
3.若点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为25的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点,则
|PA|+|PB|=.
4.设F1,F2是双曲线x2-y2
24
=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于.
考点2双曲线的几何性质
5.[2018合肥市高三调研]下列双曲线中,渐近线方程不是y=±3
4
x的是()
A.x2
144-y2
81
=1B.y2
18
-x2
32
=1C.y2
9
-x2
16
=1D.x2
4
-y2
3
=1
6.已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±,则该双曲线的标准方程是()
A.x216-y2
12=1 B.y2
3
-x2
2
=1C.x2-y2
3
=1 D.y223-x2
23
=1
7.[2018长春市高三第一次质量监测]已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=()
A.1
B.2
C.4
D.1
2
8.[2018湘东五校联考]设F是双曲线x2
a2-y2
b2
=1(a>0,b>0)的一个焦点,过F作双曲线一条渐近线
的垂线,与两条渐近线分别交于P,Q,若FP=3FQ,则双曲线的离心率为()
A.6
2B.5
2
C.D.10
2
9.已知双曲线C:x2
a -y2
b
=1(a>0,b>0)满足条件:(1)焦点为F1(-5,0),F2(5,0);(2)离心率为5
3
,求得双曲
线C的方程为f(x,y)=0.若去掉条件(2),另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f(x,y)=0,则下列四个条件中,符合添加的条件共有()
①双曲线C上的任意点P都满足||PF1|-|PF2||=6;
②双曲线C的虚轴长为4;
③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合;
④双曲线C的渐近线方程为4x±3y=0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.[2018成都市摸底测试]已知双曲线x2
a -y2
2
=1(a>0)和抛物线y2=8x有相同的焦点,则双曲线的
离心率为. 答案
1.A∵方程x2
25-k +y2
k-9
=1表示双曲线,∴(25-k)(k-9)<0,∴k<9或k>25,∴“k<9”是“方程
x2 25-k +y2
k-9
=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.
2.D设F1(-5,0),F2(5,0),则|PF2|=15.若点P在左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=8,所以
|PF1|=|PF2|-8=15-8=7;若点P在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|+8=15+8=23.故点P到点(-5,0)的距离是7或23.故选D.
3.2不妨设点P在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|,因为点P是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2①, 又|PA|2+|PB|2=36②,联立①②化简得2|PA|·|PB|=16,所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=213.
4.24由题意知,双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=2×5=10.由双曲线的定义
知,2=|PF1|-|PF2|=4
3|PF2|-|PF2|=1
3
|PF2|,∴|PF2|=6,|PF1|=8.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,
∴S△PF
1F2=1
2
|PF1|·|PF2|=1
2
×6×8=24.
5.D对于A,渐近线方程为y=±9
12x=±3
4
x;
对于B,渐近线方程为y=±18
32x=±3
4
x;
对于C,渐近线方程为y=±3
4
x;
对于D,渐近线方程为y=±3
2
x.故选D.
6.C解法一当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程是x2
a2-y2
b2
=1(a>0,b>0),由题意
得4
a2
-9
b2
=1,
b
a
=3,
解得
a=1,
b=3,
所以该双曲线的标准方程为x2-y2
3
=1;当双曲线的焦点在y轴上时,
设双曲线的标准方程是y 2
a -x2
b
=1(a>0,b>0),由题意得
9
a
-4
b
=1,
a
b
=3,
无解.故该双曲线的标准方程
为x2-y2
3
=1,选C.
解法二当其中的一条渐近线方程y=3x中的x=2时,y=23>3.因为点(2,3)在第一象限,所
以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程是x 2
a -y2
b
=1(a>0,b>0),由题意得
4
a
-9
b
=1,
b
a
=3,
解
得a=1,
b=3,
所以该双曲线的标准方程为x2-y2
3
=1,故选C.
解法三因为双曲线的渐近线方程为y=±3x,即
3
=±x,所以可设双曲线的方程是
x2-y2
3=λ(λ≠0),将点(2,3)代入,得λ=1,所以该双曲线的标准方程为x2-y2
3
=1,故选C.
7.A不妨设点P在双曲线的左支上,如图D 10-2-1,延长F1H交PF2于点M,由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M,故△PF1M为等腰三角形,|PF1|=|PM|且H为F1M的中点,所以
OH为△MF1F2的中位线,所以|OH|=1
2|MF2|=1
2
(|PF2|-|PM|)=1
2
(|PF2|-|PF1|)=1.故选A.
图D 10-2-1
8.C不妨设F(-c,0),c>0,过F作双曲线一条渐近线的垂线,可取其方程为y=a
b (x+c),与y=-b
a
x
联立可得x Q=-a2
c ,与y=b
a
x联立可得x P=a2c
b2-a2
,∵FP=3FQ,∴a2c
b2-a2
+c=3(-a2
c
+c),∴
a2c2=(c2-2a2)(2c2-3a2),两边同时除以a4,得e4-4e2+3=0,∵e>1,∴e=3.故选C.
9.B①中,由||PF1|-|PF2||=6,得a=3,又c=5,所以离心率为5
3
,故①符合;②中,b=2,c=5,a=21,此
时离心率为521
21,故②不符合;③中,a=3
2
,c=5,此时离心率为10
3
,故③不符合;④中,渐近线方程为
4x±3y=0,所以b
a =4
3
,此时离心率为5
3
,故④符合.故选B.
10.易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线x2
a -y2
2
=1的焦点为(2,0),则a2+2=22,即
a=所以双曲线的离心率e=c
a =
2
=.。