3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时) 北师大版数学九年级下册 精品教案

3.4 圆周角和圆心角的关系

第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形

教学目标

1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)

2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)

教学过程

一、情境导入

你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？

如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？

二、合作探究

探究点一：圆周角和直径的关系

【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数

如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为() A．30°B．45°

C．60°D．75°

解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A ＝∠D＝60°.故选C.

方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题

如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O 的直径，D是BC的中点．

(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；

(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？

解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质

判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD ⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；

(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．探究点二：圆内接四边形

【类型一】圆内接四边形性质的运用

如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝()

A．65°B．120°C．125°D．130°

解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.

方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．

【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是() A．120°B．100°

C．80°D．60°

解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.

方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．

【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.

解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.

证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.

方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．

【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合

如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为的中点，AC 、BD 交于点E .

(1)求证：△CBE ∽△CAB ；

(2)若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．

解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．

(1)证明：∵点C 为的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；

(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为

BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12

AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35

. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．

三、板书设计

圆周角和直径的关系及圆内接四边形

1．圆周角和直径的关系

2．圆内接四边形的概念和性质

教后反思

本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.