2.2.3 直线与平面平行的性质

探究一
探究二
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(1)证明因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD=l,且BC⊂平面PBC,所以BC∥l. (2)解平行.证明如下: 如图,取PD的中点E,连接AE,NE, 可以证得NE∥AM且NE=AM, 所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE. 又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD, 所以MN∥平面PAD.
又PA⊂平面PAD,GH⊄平面PAD,
∴GH∥平面PAD.
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数学思想——化归思想在线面平行中的应用
典例如图所示,AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,
������������������������=2,则������������������������=
∵BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,
∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
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线面平行性质定理与判定定理的综合应用 例2如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC 的中点,平面PBC∩平面PAD=l.
(1)求证:l∥BC; (2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
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1.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( ) A.b∥α B.b与α相交 C.b⊂α D.以上三种情况都有可能 解析:若a、b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关 系可得:b∥α或者b⊂α或者b与α相交. 答案:D
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2.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面 CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是 ( )
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反思感悟线面平行的性质定理的解题步骤与思路 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已 知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
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延伸探究
1
若本例条件不变,求证:������������������������
.
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解析:如图所示,连接AD,交平面α于O,连接OM,ON,
∵AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点, ∴OM∥CD,ON∥AB, ∴������������ = ������������ = ������������.
������������ ������������ ������������
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反思感悟判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行 推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以 继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
线线平行
线面平行
线线平行.
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变式训练 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面 ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交 平面BDM于GH.
=
������������ ������������
.
证明:由例 1 知:PQ∥AB,∴������������������������ = ������������������������.
∵QM∥DC,∴������������������������ = ������������������������.
求证:GH∥平面PAD.
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证明如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O是AC的中点. 又M是PC的中点,∴PA∥MO.
而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,
∴PA∥平面BMD. 又∵PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH, ∴PA∥GH.
2.2.3 直线与平面平行的性质
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解并能证明直线与平面平行的 性质定理,明确定理的条件. 2.能利用直线与平面平行的性质定 理解决有关的平行问题.
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直线与平面平行的性质定理 1.如果直线与平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位 置关系是怎样的? 提示:平行或者异面. 2.若直线a与平面α平行,则在平面α内与直线a平行的直线有多少 条?这些直线的位置关系如何? 提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平 行. 3.如果直线a与平面α平行,那么经过直线a的平面与平面α有哪几 种位置关系? 提示:经过直线a的平面与平面α平行或相交.
∴������������
������������
=
������������ ������������
.
延伸探究2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且
BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
解:由例1知,四边形MNPQ是平行四边形,
∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.
������������
5+3 2
答案:32
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12Baidu Nhomakorabea4
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别 为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平 面EFGH.
证明:∵四边形EFGH为平行四边形, ∴EF∥GH. ∵GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD, ∴EF∥平面ABD. ∵EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB, ∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH.
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4.如果直线a∥平面α,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那 么这样的平面β有多少个?直线a,b的位置关系如何?为什么?
提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a∥平 面α,所以直线a与平面α内的任何直线无公共点,所以a∥b.
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5.填表:直线与平面平行的性质定理
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
解析:∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1, ∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1⊂平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面 CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.
答案:A
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3.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点 B∈a,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,则
∵������������������������=2,∴������������������������=2.
答案:2 方法总结 若已知线面平行,要注意运用性质定理;若成比例线段 不共面,应注意找两面的交线,应用交线线段的传递作用;立体几何 问题只有在转化成平面几何问题后才能使用平面几何知识去解决.
解析:∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.
答案:B
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直线与平面平行性质定理的应用
例1 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此
四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
思路分析:根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,由线面平
文字 语言
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行
图形 语言
符号 语言 作用
a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b 证明两条直线平行
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6.做一做:如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥ 平面ABC,则( )
A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能
行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线
线平行即可得证.
证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平
面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理,AB∥PQ,
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
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EF=
.
解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面
β,∴α∩β=EF.∵a∥平面α,a⊂平面β,
∴EF∥a.∴������������������������ = ������������������������.
∴EF=������������×������������ = 3×4 = 3.