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高考数学圆锥曲线复习策略
一.圆锥曲线高考大纲
文科
（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）
（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）
（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）
（4）理解数形结合的思想。

（5）了解圆锥曲线的简单应用。

理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）
（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.
（4）了解圆锥曲线的简单应用.
（5）理解数形结合的思想.
锥曲线知识网络
'对称轴兀轴 住占 八、、八、、
标准方程y 2
=2P x\顶点 离心率 准线 （卩>0）
二.试题趋势
近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考
察热点有:
（1） 圆锥Illi 线的定义及标准方程； （2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；
（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；
（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题
（1）圆锥曲线的定义及标准方程;
1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的
a 2
b 2
25 9
焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o
定义：:
椭圆l + IF2PI=2a
(2a >1 F.F 2 I)
标准方程召+令
(a > b > 0)
2 f 2
a =
b +
对称轴 兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b
隹占 八、、八、、
定义：:
< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a
(2a<F }F 2 I)
2 2 标准方程才*
卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳
I 》轴，虚轴长为"
隹占
八、、JW\
（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点
2
1 2 a +b =c
离心率 渐近线
定义• 抛物线 <
・
\MF\=d
答案：（±4,0）= 0
2 ,2
2.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是
a b厶
y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。

则双Illi线的方程
为______________ O
2 2
【答案】—-^=1
412
【解析】木题主要考查了双曲线和抛物线的儿何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。

由渐近线方程可知- = 73①
a
因为抛物线的焦点为（4, 0）,所以c=4 ②
乂c2 =a2 +b2③ 联立①②③，解得6/2=4,Z?2=12,所以双Illi线的方程为—-^- = 1
4 12
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最人。

3.（2010福建文数）13.若双曲线—-^=l（b>0）的渐近线方程式为y二土一x，则b等
4 b2 2
于_______________ O
【答案】1
【解析】由题意知解得b=l。

2 2
【命题意图】本小题考杏双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。

2 2
4.（2010江苏卷）6、在平面宜角坐标系xOy屮，双曲线—=1±一点M,点M的横
4 12
坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是__________
［解析］考查双曲线的定义。

哎之=纟=2, d为点M到右准线兀=1的距离，d=2, MF=4O d 2 5.（2010浙江理数）（13）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,点
A（0,2）.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为
解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为、伍，B点坐标为(、二,1)所
4
以点B到抛物线准线的距离为-V2,本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易
4
题
6.(2010安徽文数)(12)抛物线y2 = Sx的焦点坐标是 ______
答案：(2,0)
【解析】抛物线/=8x,所以〃=4,所以焦点(2,0).
【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p ,或求出p后，误认为焦点(p,0),
7.(2010年全国高考宁夏卷12)己知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F 的直线/与E相交于A, B两点，且AB的中点为2(-12,-15),则E的方程式为
(C)
(2)与圆锥曲线有关的轨迹问题；
1(2010辽宁文数)(20)(本小题满分12分)
x2v2
设好，F?分别为椭圆C'. — + ^ = \ (a>b>0)的左、右焦点，过笃的直线/与椭圆ci
b
C相交于A, B两点，直线/的倾斜角为60 , £到直线/的距离为2巧.
(I)求椭圆C的焦距；
(II)如果疋=2丽，求椭圆C的方程.
解：(I )设焦距为2c,由已知可得F、到直线I的距离羽c = 2巧,故c = 2.
所以椭圆C的焦距为4.
(II)设A(x{,)[), B(X2,儿)，由题意知X < 0,儿〉0,直线/的方程为y = V3(x — 2).
y = A/3(X-2),
联立！r2 v2 得(3a2 + h2)y2 + 4y[3b2y-3/?4 = 0.
—+ -^—= 1
L2b 2
解得y\ =_州(2 + 20)_-®(2—2Q)
3/+戸宀=3/+戸
因为AF2 = 2F2B9所以一开=2旳・耐
7^2(2 + 2°) c -后2(2 — 2°)
即 --- ---- a一 = 2 ------ --z -----
3a2+b23a2+b2
得。

=3.而a? —b2 = 4,所以b = V5.
故椭圆C的方程为—+ ^- = 1.
9 5
2. （2010辽宁理数）（20）（本小题满分12分）
2 2
设椭圆C：^ + ^T = l（a>b>0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A, B cr hr
(I)求椭圆C的离心率；
(II)解：如果IABI二求椭圆C的方程.
4
两点，直线1的倾斜角为60\AF = 2FB.
设4（兀］切）』（兀2』2），由题意知）1
<0, y2 >0.
(I )直线1的方程为y = V3(x-c),其中c = yla2-b2 .
V3(x-c),
得(3/ +，) y 2 + 2 岳Ly _ 3b4 = 0
-伽(c-2。

)
~3/+决~
因为AF = 2FB,所以—y\=2y2.
即尿2$ +严)=2."響-2。

)
3a2+b23/+戸
c 2
得离心率e =-= 一・
a 3
(II)因为\AB\ = ^ + ^\y2-yi 所以# •書1
5
~4
由苗I得"学•所以
P呼得占,7.
椭圆C的方程为乞+丄=1. ……12分
9 5
3. （2009山东卷文）（本小题满分14分）
设me/?,在平面直角坐标系中，已知向量a =（皿,y +1）,向量乙=（x, y -1）, Q丄乙，动
点
M（x,y）的轨迹为E.
（1）求轨迹£的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）己知加=丄，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任:总一条切线与轨迹E tlf有两个交
4
点A y BM.OA丄OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程；
（3）已知加=丄，设直线/与圆C:x2 + y2 =疋（1V R V2）相切于A】,1U与轨迹E只有一
个公共
4 "
点当R为何值时収得最大值?并求最大值.
解（］）因为Q丄b y a = （mx, y 4-1） , & = （x, j -1）,所以a-b = mx2 + >,2 -1 = 0 , 即
mx1 + /=1.当/H=O时，方程表示两直线,方程为y = ±l;当加二1吋，方程表示的是圆当m>0且m丰1时,方程表示的是椭圆；当m < 0时，方程表示的是双曲线.
1 v-Z
⑵.当加=—时，轨迹E的方程为一+y2 = l,设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx^-t,
4 4
y = kx + t
2得F + 4(也 + f )2 = 4 ,艮卩([+ 4£ 2)兀2 + Sktx + 4(2 一4 = 0,
—+ y2=l
〔4
要使切线与轨迹E 恒冇两个交点=64k212-16(1 + 4/)(『2 _i)= i6(4/ 一尸 +1)> o,
Skt
X. + X2 = ------------ 7
121+4疋
4r2-4
y{y2 = (kx l + t)(kx^ +t) = k2x t x2 4- kt(x i +x2) +
t2 =A ,3,贝ij 使△
即4疋一八1>0,即八<4/+1,且<
| t2_t2-4k2
1 + 4疋 1 + 4 疋—1 + 4
疋
⑷t
—- —4八一4 z2—5(2—4^2—4
+ ..二=一 -要使OA 丄O 3,需使x“2 + y*2 = 0，即丄一V
1+4/+ 1 + 4/ 1 + 4/
=0, 所以5八—4疋_4 = 0,即5产=4/+4,且宀4疋+1,即4/+4<20，+5恒成立.
所以又因为直线y = kx + t为圆心在原点的圆的一条切线,
4 9
t . t2餐 +「）4 . . 4
所以圆的半径为r = ^^=,r2=—^ = ^——=-,所求的I员【为/ +）,=_.
Jl+疋1 + 疋 1 + 疋 5 ~ 5
°丫2 冷冷
当切线的斜率不存在时，切线为x = ±-V5，^―+/= 1交于点（土石，士三石）或
5 4 5 5 （--A/5,±-V5）也满足0A 丄OB.
综上，存在圆心在原点的圆x2 + y2=~,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点1T2
⑶当zn 盲时，轨迹E 的方程为才+Z ，设直线，的方程为尸因为直线/与圆 疋+ F 、4当且仅当/? = V2e(l,2)时収等号，所以I 人即冬5 _ 4二1,即 当/? = V2 G (1,2)吋IA I B I I 取得最大值，最大值为1.
【命题立意】:木题主要考杏了肓线与圆的方程和位置关系,以及胃线与椭圆的位置关系，可以 通过解方程组法研究有没有交点问题,有儿个交点的问题.
4. (2009辽宁卷文)(本小题满分12分)
3
已知，椭圆C 以过点A (1,-),两个焦点为(一1, 0) (1, 0)o
2
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果总线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明
总 线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

C: x 2 + y 2
Zg 相切”’由⑵知“估'即宀刊+疋）①,
因为/与轨迹E 只有一个公共点你，由（2）知〈 y = kx + t
兀
2 得F +4（也+门2 =4,
—+ =1
〔4 •
即（1 + 4比2 ）兀2 + Sktx + 4/2 — 4 二 o 有唯一解
则△二 64k ¥-16（1+ 4^2）（?-1） = 16（4k 2-r 2+l ） = 0, 即 4疋 - / +1 = 0,
②
由①②得I
r
4-R
., 此时43重合为B 心』）点, 宀g
4-7?2
|+1< _ Skt
g"所 2_414_16F-16 4八-4中坷—计以。

一 1 + 4厂3W
I 4 — R ? 4 Bi （xi,y 】）点在椭圆」:，所以= 1 — 打= - 7~，所以I OB 】卩=+ yj = 5 ------ ,
4 3R_ R-
在直角三角形 OAiQ 中,I \B X l 2=l 0B x I 2 -10^ 12 = 5 ——T -R 2 = 5 -（4- + ^2） 0 为
/?■ R- (22)解:(I )由题意,
2 2
设椭圆方程为总+旅d
1 Q 3
因为A 在椭圆上，所以市+丽八解得宀久r (舍去)。

所以椭圆方程为冷+「】.
3 xr
(II )设直线AE 方程：得尸吃一性，代入亍器1得 (3+4疋)x 2 +4£(3 - 2k)x + 4(色一 £尸 一 12 = 0
2
设 E ( x E , y E ), F ( x E ,•因为点 A (1,
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在
上式中以代R ,可得
”在椭圆上，所以
4(|”12
4(| + R)2—12
所以直线EF 的斜率k 防
3 + 4/
丹 _兀二 一kg +心)+ 2£
即直线EF 的斜率为定值，其值为丄。

..... 12分
2
5. （2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
3
已知,椭圆C 过点A （l,_），两个焦点为（-1, 0）, （1, 0）o
2
（3） 求椭圆C 的方程；
（4） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果肓线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明
玄
线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

1 + 戸 4b 2
4
2 2
所以椭圆方程为—+ ^ = lo
................. 4分
4 3
(II)设直线AE 方程为：y = k(x-l) + -f 代入—+
= 1得
’ 2 4
3
3
(3 + 4k 2 )x 2
+4^(3 - 2k)x + 4$ - 比尸 一 12 = 0
设E(X £,九)，F(X F , *),因为点A(l,-)在椭圆上，所以
3 9 4（——b_12 2
x F = ----- ------ ； -- 7 3 + 4疋
y E = kx E +^~ k
..... ;
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以一K 代K,可得 3
4（- + ^）2-12 2
X F 一
所以直线EF 的斜率心=31 =如宜2±^ =丄
x F - x E x F - x E 2
（20）解：
1
9 a
（I ）由题意，c=l,可设椭圆方程为一 + 二 =1,解得b 2 =3, b 2
=--（舍去）
6.・（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
己知椭関C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分別是7和1
（1）求椭圆C 的方程，
C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

a —c = L
解（1）设椭圆长半轴长及分别为QC 由已知得｛
解得*4—3,
Q +C = 7.
X V
所以綁C 的方程为忆+ 丁7・
2 2
(II)设 M (心),Pa,儿),其中"[-4,4].由已知得 X
2
+ yi 2
=e 2
x +y_
= 故16（/ +畀）=9（/+）“）.
①，由点戶在椭圆C 上得，）f = 112：7
匚
4
16
代入①式并化简得9/=112,
（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点 的距离分別是7和1. （I ）求椭圆C 的方程;
（II ）若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分別为Q ，C,由已知得
[a-c = \ 小/口 5 ，解得
a = 4,c = 3 , a + c = 7
所以椭圆c 的标准方程为u+A 】
即直线EF 的斜率为定值,其值为宁
12分
（2）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,
\OM\
Ce 为椭圆
所以点〃的轨迹方程为y = ± 4^7
"V
(-4 < x < 4), 轨迹是两条平行于 /轴的线段.
求点M
(1【)设Mgy),其中xe[-4,41o 由已知J^L = Z 2及点P 在椭圆C 上可得
\0M\
9X 2 + 112 16(/ + y2)
整理得(16Z 2-9)x 2 +16/Py2 = 112 ,其中兀 w [-4,4]。

3
(i) A =-时。

化简得9/=112
4
3
(ii) /1工一时，方程变形为 11O +-4—= 1,其中xe[-4,41
4 1 12 1 12
16A 2-9 16T
当0时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足-4<x<4
4
的部分。

3
当一 v2< 1吋，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在兀轴上的椭圆满足-4<x< 4的
4
部分；
当A>1 W ，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；
26. (2009陕西卷文)(本小题满分12分)
(3)与圆锥曲线有关的最值、定值问题
兀2
1. (2010年高考福建卷理科7)若点O 和点F(-2,0)分別是双曲线—-y 2 = l(a>0)的屮
心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则帀•序的収值范围为(
)
7
7
A. [3-2>/3, +oo)
B [3 + 2>/3 9 +oo) C. [ —，+oo)
D. [—,+oo)
4 4
【答案】B
2. (1) (2009辽宁卷理)以知F 是双曲线—=1的左焦点，A(1,4),P 是双曲线右支上 4 12
的动点，则\PF\^\PA\的最小值为 _________________________________
4x/7
所以点M 的轨迹方程为y = ±^-
(-4<x<4),轨迹是两条平行于兀轴的线段。

【解析】注意到4点在双曲线的两只Z 间JI •双曲线右焦点为厂(4,0),于是由双曲线定义, 得
IPF| — |PF'l = 2a=4,而必 l+IPFT2L4F'l=5
两式相加得IPFI+I 加29,当且仅当A 、P 、F 三点共线时等号成立. 【答案】9
3
- 3。

福建文)m 若点。

和点尸分别为椭气+牛1的中心和左焦点,点P 为椭
—-—«
22
兀()=—2,因为—2 < ^() < 2,所以当x. = 2时，OP ・FP 取得最大值才+ 2 + 3 = 6,选C 。

【命题意图】本题考查椭圆的方程、儿何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等,考杳了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

4. (2010北京文科)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(-72,0), (72,0),离心率是V5,
3 直线尸t 椭圆C 交与不同的两点M, N,以线段为直径作圆P,圆心为P 。

(I)
求椭圆C 的方程;
(II) 若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标：
(III) 设Q (x, y)是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。

解：(I )因为 £ =,且 c = >/2 ,所以 a = J3,b — a 2
—c 2
— 1
a 3
r 2
所以椭圆C 的方程为一+)，=1
3
(II)由题意知 〃(0」)(一1 vr <1)
圆上的任意一点, 则OP FP 的最大值为
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】由题意，E
(-1, 0),设点 P(Xo ，)b ),则冇-^匚 +二= 1,解得)叮=3(1 — ), 因为 FP = (Xo + l 」o ), °P =(兀0*0)，所以 ° P-FP = x 0(x 0 + l) + ^02
+ x 0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为
= OP-FP = x 0(x 0 + l)+ 3(1-
y = t
b ______
1=1:1 * x29得x = ±j3(l-r) —+ y = 1
3 “
所以圆P的半径为J3(l-尸)
R 解得V
所以点P的坐标是（。

,±4>
(III)由(II)矢n,圆P的方程/+(y_/)2=3(l —/2)。

因为点(2(x,y)在圆P上。

所以y = t i丁3(1 —广)一兀$ 5( + 丁3(1 -广)
设『=cos0,0 (0,疗)，贝i” +丁3(1-/2) = cos& + >Asin & = 2sin(^ + —)
6
JI 1
当0 = -f U|Jr = -,且x = 0, y取最大值2.
5. （2009浙江理）（本题满分15分）
y2 X2
已知椭圆G： r+r = i（a〉b〉o）的右顶点为A（I,O）,过G的焦点且垂直长轴的弦er /?*■
长为1.
（I）求椭圆C]的方程;
（II）设点F在抛物线y = x2 + /?（/?e/?） ±, C?在点P处的切线与G交于点M,N .当线段AP的中点与MN的中点的横处标相等时，求/?的最小值.
a = 2 ）厂
解（I）由题意得｛b2，•订，所求的椭圆方程为2- + x2=l,
2-—= 1 [b = l 4
< a
（II）不妨设必（州」）川（兀2*2）』亿尸+/7），则抛物线C?在点P处的切线斜率为
）/口=力，直线MN的方程为y = 2tx-t2+h, W.上式代入椭圆G的方程中，得4x2 + (2u-r2+/?)2-4 = 0 ,即4(l + r2)x2-4r(r-/?)x + (z2-/?)2-4 = 0 ,因为直线
MN与椭圆C,有两个不同的交点，所以有△严16「—厂+ 2（/? + 2）r2-/?2+41 > 0,
设线段MN的屮点的横坐标是兀，
x} +x2 _ r(r -/?)
2 一2(1 + 尸)
设线段明的屮点的横坐标是兀4,则^4= —由题意得兀3=兀4,即有八+（1 +力"+ 1 = 0,
其中的A2 =(1 + /1)2-4>0,.\/1>1^/?<-3；
当/?S—3吋有〃 + 2<0,4 —<0,因此不等式纠=16[—广+2(/2 + 2)八一/72+4]>0不成立；因此/i>l,当力=1时代入方程r2 + (l + /i)r + l = 0得/ = —1,将力=1,2-1代入不等式厶=16[-『+2(力+ 2”2一胪+4]>0成立,因此％的最小值为1.
6.. (2009浙江文)(本题满分15分)
17
已知抛物线C：x2=2py(p>0)±.一点A(m,4)到其焦点的距离为
4
(I)求p与加的值；
(II)设抛物线C上一点P的横坐标为f(r>0),过P的肓线交C于另一点Q,交兀轴于点M ,过点！2作PQ的垂线交C于另一点N .若MN是C的切线，求/的最小值.
解(I)由抛物线方程得其准线方程：y = --^根据抛物线定义
点A("4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4 + £ = □,解得p =-
2 4 2
・••抛物线方程为:兀2=八将人(加呂)代入抛物线方程,解得m = ±2
(II)由题意知，过点P(r,r2)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为鸟。

_ _ f24- kt — / 2 4- kt
则Ipo-y-f =k(x-t)t当y = 0,x =----------- ,则必( ----------- ,0)。

k k
联立方程#7 严d,整理得:X2-kx-}-t(k-t) = 0
[x =y
即：(x-t)lx-(k -/)] = 0,解得兀= t^x = k-t
••・Q(k-t,伙一r)2),而0N丄QP,直线NQ斜率为一! k
整理得:x~ H—x— (P_r)_(P_r)2=0,即：kx? + 兀一(R —t)[k{k— /) +1] = 0 k k
[也+ k伙一/) + 1][兀一伙一/)] = 0,解得：x = _k(k-0 + 1, ^x = k-t k
k(k—0 + 1 \k(k — r) + l]~
N(—
k ' P
伙伙一
O + lf _________ ___________ 二仗2_灯 + 1)2
心 一/) + 1 ~~ - k(t 2-k 2
-1) ~ k ~ k
伙 2—好 + 1)2 —2k 伙—T )— 2
k(t 2-k 2
k
整理得/ +加+ 1一2厂=0
2 2 2
vA = r 2-4(l-2r 2)>0,解得t<—(舍去)，或r>-, .-.r min =-
(6)与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题
1. (2010年全国高考宁夏卷20)(木小题满分12分)
2 2
设片,尸2分别是椭圆E:二+ Z = l (d 〉">0)的左、右焦点，过片斜率为1的直线i 与
E 相交于4,B 两点，R\A
F 2\,\AB\,\BF 2\成等差数列。

(1)求E 的离心率；
(2)设点p(0,-l)满足网 = |PB|,求E 的方程 (20.)解：
(I)由椭圆定义^\AF 2\^-\BF 2\^-\AB\ = 4a ,又2\AB\ = \AF 2\ + \BF 2\,
得 \AB\ = ^a
I 的方程为y = x + c ,其中c = \la 2 -b 2。

设A (X],yJ, B (x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组
y = x + c
化简的(/ +/?2)x 2 +2fl 2cx + t72(c 2 一/?2) = 0
-2a 1
c
tz 2(c 2
-b 2
}
则州+/声,"厂巧厂
血抛物线在点N 处切线斜率: 5 = y k(k~t)+i
x= -----------
— 2k(k_t)_2
k
MN 是抛物线的切线,
因为直线AB 斜率为1,所以\AB\= 问兀2 _旺| =』2［（西+x 2）2 一4牡 得扣為故"j 所以
E 的离心率
（II ）设AB 的中点为N （x 0,y 0）,由（I ）知
^\PA \ = \PB \,得k
PN
=-l, 即如u = _l
x
o
得c = 3,从而a = 3ji,b = 3 故椭圆E 的方程为盒+『1。

2..（2009山东卷理）（木小题满分14分）
2 2
设椭圆E:亠+当=1 （°0>0）过M （2, >/2 ） , N （而，1）两点，O 为处标原点， a~ b~
（I ） 求椭圆E 的方程；
（II ） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点久3,
且
刃 丄亦？若存在，写出该関的方程，并求\AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解：（1）因为椭圆E:二+每=1 （必>0）过M （2, V2 ） , N （乔,1）两点, cr b~
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点人5且
2
£ +%2
2
—c 3
以< 4 4- 2
a 2 6 [er 十 +
b 2
1
以
所
1-8 1-4 - -
1 一 201 1IF
解
Z _ Q 2 2 ：2二椭圆E 的方程为加才1 所
y = kx + m 刃丄亦，设该圆的切线
方程为y = kx + m 解方程组］兀2
2 得x 2
+ 2(kx + m)2 = 8 , —+ —= 1 〔8 4
即(1 + 2疋)X 2
+ 4kmx + 2加2 _ 8 = 0,
贝仏=16疋加$ 一4（1 +2疋）（2肿一8）= 8（8/一血2+4）＞o,即8fc 2-m 2+4＞0
4km
兀］+兀2
一 1 + 2/ 2 加 2—8
兀1兀2 =
「1 + 2 疋
2 o 9
要使鬲丄亦，需使粘+）甘。

，即晋+豊七所沁所
2 /7
必一斗，因为直线y —”为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 2 吕宀总二詩卫气心 字所求的圆加22气'此时圆的切 + 8
线y" +护都满足Q 学或必-芈，而当切线的斜率不存在时切线为"士苧
与椭圆—+ ^- = 1的两个交点为（迹，土迹）或（_迹，土还）满足刃丄亦,综上,
8 4 3 3 3 3
Q
存在圆心在原点的圆%2
+ y 2
=-，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点人B,且 3
页丄阪
y { y 2 = (kx 、+ m)(kx 2 + ni) = k 2x {x 2 + km(x { +x 2) + m 2
k 2(2m 2
-8)
4k 2m 2
1+2疋
1+2疋
m 2-Sk 2
1 + 22
Q 2 n
以宀牛no 又肿川+4〉。

，所以
驚'所以莎舟即八芈或
m 2
因为＜
%! +兀2 4km
1 + 2_ W-8 一 1 +
2 疋
I 4B1= ^(x, -x 2)2 +(y, - y 2)2 = ^(1 + ^2)(%] -x 2)2
= ^(1 + k 2
)
_ 132 4)l 4+5Z:f
77_ 132 k 2
~]Jl~，4k 4+4k 2
+l ~ VT +砒+4宀1 '
4
F5
所以尹“吐2馆当且仅当时心
当R=0时,\AB |=痙
3
③做的斜率不存在吋,两个交点为（芈,土爭或（—芈，土芈）, 所以此时⑷匸攀 综±, \AB |的取值范围为-V6 <MBI<2y/3即：丨人3运［电舲,2舲］
【命题立意】:本题屈于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关 参数问题以及方程的根与系数关系•）
打圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需耍根据 具体问题、灵活运用解析儿何、平面儿何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或 方程，体现了解析儿何与具他数学知识的联系。

三.试题探究
1.从近儿年高考题的命题方向來看，与其他知识和结合在逐渐增加，圆锥曲线的概念、性 质、方程等基础知识稳中求活，稳中求新，命题中经常涉及的有：（1）方程，（2）几何
特
所以(%! -X 2)2
=(兀]+兀2)2—4州兀2 =( 4£加 2 4 2〃广—8 8(8£~ —加$ +4)
1 + 2/ _ % 1 + 2/ 一 ~(1 + 2/)2-
因为*+护仆所以Ov
4宀右+ 4
<- 8 32 32
所以「尹
-------- ;—]<12,
4宀严
①当R H O 时IABI 二
1
由角平分线的性质定理有
AF 2
码
BF 2
征值
a 、
b 、
c 、p 、c, (3)直线与圆锥曲线问题，从弦长到位置关系.(4)曲线与方程 的关系、考查曲线方程的探求，如肓接法、相关点法、待定系数法、定义法、交轨法等•分 值一般在22分左右，解答题难度较大.解答题入手较宽. 2010安徽文数)17、(本小题满分12分)
椭圆E 经过点人(2,3),对称轴为坐标轴， 焦点片，巧在x 轴上，离心率
e =
~ °
(I) 求椭圆£的方程；
(II) 求ZF t AF 2的角平分线所在直线的方程
7
(fl)由(I )知片(-2,0)忑(2,0),所以直线Af ；的方程为y=-(x + 2),
即3x-4y + 6 = 0.直线的方程为x = 2.[tl 椭圆E 的图形知，ZF,A^的角平分线所在直线的斜率为止数。

设P (x,y)为ZF,AF 2的角平分线所在直线上任一点，贝
3x ~4-v + 6
l =|x ,2
若3x-4y + 6 = 5x-10,^x + 2y-8 = 0,其斜率为负，不合题意，舍去。

于是3x-4y+6二-5x+10,即2x-yT=0.
所以，ZF.AF 2的角平分线所在直线的方程为2x-y-l=0・
法2)如图:耳关于直线L 的对称点P 必在直线AF 2±,_a|AP| = |/1^| = 5
又・・• AF 2丄x 轴,\AF 2\ = 3，所以点P 的坐标为(2,・2) f = -*，所以总线L 的斜率为2 ・・・厶的方程为y-3 = 2(x-2),即2兀-y-i = 0 法3)
••・竹(2,0)/(2,3) *.* AF 2 =3,「・ AF } =2a — AF 2 = 5
设ZF }AF 2的角平分线交X 轴交于点B,点B 在片,厲之间，点B 坐标为bo,o)
I 3
将恥，3)代入，有尹厂】,解得：“2,.••椭圆E 的方程为
第(17)题
则丄=卫土1,解得兀严丄
2-x 0 2
1 3-0 ••• B（-^k AB =—- = 2
2 2--
2
利用点斜式，得到角平分线所在直线的方程为y 二2兀-1 法4）由于Rt\AF,F 2的三边长分别为3,4,5所以其内接圆的半径为尺
/+「'=］又
AF 2 1F }F 2,\OF 2\ = 2
所以AAF t F 2的内心的坐标为（1,1）。

（下略）
法5 ）由 A （2,3）,F }（-2,0）,F 2（2,0）易得\AF {F 2 为直角三角形,并几
^2| = 3,/.|^^2| = 4
设 ZF.AF. =26ze （0（）,90（））
,贝 ij
tan2a=^= 加号 解 得
~
3 1 - tan _ 6Z
tancr =—或tan a = -2（舍） 由 k AB = tan （90° -6Z ）= cot« = 2 所求直线方程为
厶的方程为y-3 = 2（x-2）,即2兀-y-l = 0 四、复习备选题
预计今后高考命题有以下特点:
（1）以选择或填空题考查圆锥曲线的定义和性质，难度为中档题，（2）以解答题形式重点 考查圆锥Illi 线的综合问题，多与直线结合进行命题，难度较大，文科多侧重丁•椭圆，而理 科侧重于椭圆和抛物线.
1.己知椭圆E 的离心率为s 两焦点为耳也,抛物线C 以片为顶点，&为焦点，P 为两
2.若双曲线4-4 = 1的一条渐近线方程为-+y = o .灿比双Illi 线的离心率为
B
a /r 3
曲线的一个交点,
PF\
“2
=e ,则£的值为
巫
B •亟 C. 2逅 D.価
10
3
3. 已知直线x+y = a 与圆，+),，2 =4交于人、B 两点，HAOA-^OB\=\OA-OB\,其中0
为原点，则实数Q 的值为
A. 2
B. -2
C. 2 或一2
D.乔或一乔
4. 已知点M(—3,0), N(3,0), 3(1,0),动圆C 与直线MN 切于点B,过M 、W 与圆C
相切的两肓线相交于点P,则P 点的轨迹方程为
D. x 2
-^- = l(x>l)
10
.填空
1.已知椭圆C 以处标原点为中心，处标轴为対称轴，且椭圆C 以抛物线x 2
= 16y 的焦点为
焦
V 2 乂 2
点，以双曲线= 1的焦点为顶点，则椭圆C 的标准方程为 _________
16 9
解答题
1 (1()福建理)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2, 3),几点F(2, 0)为其右 焦点。

(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 是否存在平行于OA 的直线儿 使得直线/与椭関C 冇公共点，且直线OA 与/的距离 等于4?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由。

【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考杏函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

X 2 V 2
【解析】(1)依题意，口J 设椭関C 的方程为—+ 2_ = i (a>0,b>0),且可知左焦点为
cr 少
c_2
f c_2
,解得{ ~ ,
2a=IAFI+IAFI=3+5=8
[a=4
又aF+宀所以22,故椭圆c 的方程为話+$“
{
A.
A-
十十1(兀>1) B •宀专=1(心)
3
(2)假设存在符合题意的直线几 其方程为y=-x+t , 3
y 右 x+t 由 < 9 9 得3x 2+3tx+t 2-12=0, U 116 12
因为氏线/与椭圆有公共点，所以有△ = (3t)2・4x3(t2・12)n0, 解得-4V3<t<4V3 ,
另一方面，由在线0A 与/的距离4可得：
由于±2后 电[-473,4^3],所以符合题意的氏线/不存在。

y(3b~ (c + 2^z) -xf3b^ (c — 2tz)
---------------- =z • ------------------- 3a 2+b 2 3a 2+b
2
交于A, B 两点，直线1的倾斜角为60°, AF = 2FB.
(III) 求椭圆C 的离心率；
(IV) 如MIABI=—,求椭圆C 的方程.
(20)解:
设 A(x 1,y i ),B(x 2,y 2),由题意知必 <0, y 2 >0.
(I )肓线1的方程为 y = V3(x-c),其屮c = yla 2-b 2
.
),，=屈兀一 c),
联立』2
2
得(3a 2
+/?2)r +2V3/?2cy-3/74
=0
因为 AF = 2FB ，所以—y.=2y 2.
c 2
得离心率e = — = —. ..... 6分
a 3
(II)因为|AB|二匸工恒一)
讣，所以纟• 4今血二E.
V 31 - 1 V3 3/+戻 4
由£ = 2得b = 所以丄° =匕，得a=3, b = y/5.
a 3 3 4 4
2 2
椭圆C的方程为—+ = 1. ……12分
9 5
x2 y2
3.如图，已知A、B为椭圆一+二二1的左右两个顶点，F为椭圆的右焦点，P为椭圆
4 3
上异于A、B点的任意一点，直线AP、BP分别交直线l:x = m(m > 2)于M、N点，I交
x轴于C点.
(1)当PF//1时，求直线AM的方程；
(2)求证：当m = 4时以MN为总径的圆过F点；
(3)对任意给定的加值，求AMFN面积的最小值。

22> 解：(1) •/ a2 =4,b2 = 3,c = yja2—b2 = l,v PF //由兀=1 代入丄+ 二=1得，=±°,
4 3 2
，直线AP的方程为)，=±*(x + 2)
:.P
⑵对于椭圆上任意一点P(x0,y0),
⑶•: m>2,S = \MFN 的面积二丄 |MN||FG| 二丄（|MC| + |NG|）（加—1）
2 2
（m -1）丿3（加2 _4 当且仅当\MC\ = \CN\^取等号，所以AMFN 面积的最小值为
——葺 -------------------------------------------------------------------
4. 抛物线y 2 = 2px （p > 0）上横坐标为6的点A 到焦点F 的距离为&H.点A 在兀轴上方过 点人作y 轴的垂线，垂足为B. （1） .求抛物线方程；
（2） .若过点B 作BM 丄AF ，垂足为M ，试求点M 坐标；
（3） •以B 为圆心|BM|为半径作圆B ,当K （〃,0）是兀轴上一动点，讨论AK 与圆B
的位置 关系.
£
2
尹・（宀）=沪）・（心）=曲宮
・・・AM
兀+ 2）
血
得M 〔4,空2
-
< X 。

+ 2 丿
・・・=
兀一2）,
由<
2儿'
x
o _2>
兀o - 2
得N 4,
x = 4
’
r 2 _,2
r 2
2
2
Q
点、P （,儿）右:椭圜才 + 丁 = 1 上,二+ 片-=1，
二 y 02 =（1 一寸-
）*3 =—（4-
x 02） 12•于（4一可） 9 + --------- = 0
4
3,电
珀）+2
FM 丄 FN
.•・当加=4吋，以MN 为直径的圆过F
点。

・•. FM ・FN =
（定值）,
4.⑴抛物线y2 =2px（p>0）的准线方程为兀=-上■，由抛物线定义知:A到准线的距离为
2
&
6+ — = 8 /. p = 4 /. y2 = 8x.
2 -
（2八・>4（6,473）,由题意得B（0,4“）, 乂F⑵0） A k FA =羽:.k BM =
A BM 的方程为y = - —X + 4V3① AF 的方程为y = V3（x-2）② 由①②得:X = 2 , y = -V3・・・M （-,-V3）
2 2 2 2
⑶忍M =去色・・・AK 的方程为），=- （x - m ）即：
6-m 6-m
価x + （加一6）y — 4羽M = 0 乂・・•圆B 的半径为r = 3^3 \（m -6）x 4A /3 - 4羽m
B 到AK 的距离d = I ]
J （4V3）~ + （〃? - 6） ~
① 当d = r 即：/ “巧 ==3巧—加=10或加=2时，AK 和圆B 相切;
』48 + （加-6尸
② 当d>厂即：2<m<10时，4K 和圆B 相离； ③当d <厂即：加〉10或m <2时，AK 和圆3相交 5. （本小题满分12分）
已知定点人B 间的距离为2,以E 为圆心作半径为2血的圆，F 为圆上一点，线段护
【解】（1）以曲中点为坐标原点，直线曲所在直线为X 轴建立平面直角坐标系, 则力（一1,0）, Ml, 0）・
设"（x,力，由题意：|MP\ = \MA\y |^|=2V2 ,所以|呦+ |旳|二2血・ 故曲线6*是以人B 为焦点、,长轴长为2血的椭圆， 其方程为y+2/=2.
（2）直线』与曲线Q 的位置关系是相切.
证法一：由（1）知曲线C 方程为x+2y=2, 设 P3, h ）f 则 P 在0於上，故（2Z T -1）2+/72=8, -
即龙+//二7+2皿
当只A. $共线时，直线2的方程为尸土边，显然结论成立. 当只A 林共线时,直线询方程为:y 今一年V 专）,
m +1
y =
n
把直线[的方程代入曲线C 方程得：/+2（-也兀+ 也）2=2,
24V3 J 48 + （加一
6）~
整理得, 的垂直平分线Z 与直线丹交于点弘当戶在圆周上运动时，点“的
整理得[n2 + 2{m +1)2]x2 - 4(/7? +1)(加 + 3)x + 2(m + 3)2-2n2 = 0.
A = [4(m + V)(m + 3)J2 -4[n2 + 2(m +1)2][2(m + 3)2-2n2] = -8n2[(m + 3)2-n2-2(加 +1)2J
=-8n2[-m2-n2 + 2m + 7] = 0.
・・・直线Z与曲线Q相切.
(说明：以”或〃为原点建系亦可)
证法二：在直线/上任取一点AT,连结MS, MB MC,
由垂直平分线的性质得I MS 1=1 M'P I,
・•・ I MS 1=1 M'B 1=1 MP I +1 M'B l>l PB1= 2^2 (当且仅当M、M'重合时取号)
・・・直线/与椭圆C有且仅有一个公共点M.
结论得证.
6.己知线段CD = 2的，CD的中点为O,动点A^AC + AD = 2a (G为正常数).
(1)求动点A所在的曲线方程；
(2)若存在点A,使AC丄AD,试求Q的取值范围；
(3)若a = 2,动点"满足BC + BD=4,且40丄OB ,试求\AOB而积的最大值和最小值.
6.解:(1)以。

为鬪心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系
若AC + AD = 2a<2羽，即0 <av羽,动点A所在的曲线不存在；
若AC + AD = 2a = 2V3，即a =爲,动点A所在的曲线方程为y = 0(-^3 < x < V3)；
2 2
若AC+4Q=2Q>2巧，即动点A所在的曲线方程为二+ J—= 1.
a2旷一3 4分
(2)由(1)知的，要存在点力，使4C丄AD,
则以。

为関心，ocY为半径的関与椭鬪冇公共点。

故辰如―3,所以«2<6
所以a的取值范围
是A/3<«<V6.
..............................................................................
8分
2
(3)当a = 2时，其曲线方程为椭鬪壬+),2=1
4
2
由条件知A,B两点均在椭圆才+ b = 1上，且AO丄OB
设4(壬,牙)，B(兀2，儿)，OA的斜率为a伙H0),则04的方程为y = kx,
OB的方程为y = -" x
人 /、
9 9,
\ g 25 / 「、
v t t 2 4
25 4
所以4vg(/)5工，即-<S<1 ................................................................ 14 分
4 5
4
当^ = OH 寸，可求得S = l,故一SSS1,
4
故S 的最小值为丄，最大值为1.
................................................................ 16分
2 2
7.已知片、人分别为椭圆G ：* + ・ = l(d 〉b>0)的上、下焦点，其中耳也是抛物线 cT b°
C 2:X 2
= 4y 的焦点，点M 是G 与C?在第二象限的交点，且I MF X
\=-.
(1) 求椭圆G 的方程.
(2) 已知点P(l,3)和圆O ：兀$ + y2 = h 2，过点p 的动 直线/与
圆。

相交于不同的两点4, B ，在线段AB 上取一点 Q,满足:AP = -APB, AQ = AQB,
(几工0且久工±1).求证:点Q 总在某定直线上.
7•解：(1)方法一、由 C 2:x 2
= 4y 知片(0,1),设 M(x (),y ())(x ()<0),....
分
因M 在抛物线C 2上，故x 02 = 4y 0…①
又I MF }\=-侧y 0 + l = -……②，由①②解得x 0= 一亠，儿二一 分 椭圆C ］的两个焦点片(0,1),笃(0, -1),点M 椭圆上, 由
椭
圆
定
解方程组
y = kx
怜+心心估
4k 1 + 4
同理对求得心齐‘必市
AAOB 面积$=丄启1?卜制1 +丄国
2 V k
=2
(l + 4Q(f+4)
12分
I
尸
V4r+9r-9
M
x
)'八
• (1)
第7题
2° =1M 片 I +1MF 21= J (—芈-0)2 +(|-1)2 + J (—学一OF + (彳 +1)? = 4 ……6 分
2 2
•I a = 2,又c = 1 ,・：/异=a 2 -c 2
=3,二椭圆C 〕的方程为才+专=1 ............................
分
方法二、由C 2:x 2
=4y 知耳（0,1）,设MSo,儿）"o V0）,因M 在抛物线C?上，故 x? -
4y°…①
又IMF] 1= § ,贝！J 儿+1 = § .. ②，由①②解得兀o=— , y （）=—
分
（申2（攀2 而点
M 椭圆上，故有右+十" 4 8
即9 2 +
° = 1…③，又c = 1 ,则
b 2
=a 2 v 2 2
由③④可解得宀4,宀3,・・・椭圆G 的方程为亍+ 丁 T
(2)设A(x {,y {),B(X 2,y 2),Q(x,y),
由 AP = -AP B 可得:（1一西,3 — 必）=一2（兀2 — 1』2一3），即
%. — = 1 - A
1 2 (10)
)，厂心2=3(1-刃 %! +2 兀2 = (1 + 2)兀 )[+心2 = (l +
2)y
⑤＞⑦得:兀]$ —，牙= (] _才)兀 ⑥x ⑧得:”2 —/[叮=3)，(1 -/V) ........... 由 AQ =几QB 可得:(x-x p y 一 开)=2(x 2 -x, y 2 - y)，即
1
2 两式相加得(州2 + X) - 22
(x 22
+ y 2
2
) = (1-A 2 )(x + 3)9
14
乂点在闘兀2 + y2 =3上，H ・2H ±1,所以^2
+ ^2=3^22 + ^22=3
即x + 3y = 3, •:点。

总在定直线x + 3y = 3
8、（本题满分15分）
已知圆O:x 2
+ y 2
=8交兀轴于A,B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线/:兀=-4为
准线的椭圆.
（I ）求椭圆的标准方程;
（II ）若M 是直线/上的任意一点，以OM 为直径的鬪K 与関O 相
交于两点，求证：直线PQ 必过定点E,并求出点E 的处标；。