四年级奥数-教师版-第九讲-追及问题

第九讲 追击问题知识导航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程＝（甲的速度×追及时间）—（乙的速度×追及时间）＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差306090=-（千米），所以追及时间830240=÷（小时）.【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.解析：若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了200540=⨯（米）；哥哥每 分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？10)4060(540=-÷⨯（分），哥哥10分钟可以追上弟弟.【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短51015=-（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：2)1015(10=-÷（小时），还需要2个小时.【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。

1)678()126(=-÷⨯(小时)．例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图：当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270=⨯(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短21070280=-(米)，也就是爸爸与小明的速度差为21070280=-(米/分),爸爸追及的时间：4210840=÷(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发16412=+(分钟)，此时离家的距离是：11201670=⨯(米)【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?解析：哥哥出发的时候弟弟走了：200540=⨯（米），哥哥追弟弟的追及时间为：8)4065(200=-÷（分钟），所以家离学校的距离为：520658=⨯（米）.【巩固2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.解析：小强出发的时候小明走了6001250=⨯（米），被小强追上时小明又走了：850)6001000(=÷-（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：12581000=÷（米/分钟）.例3:小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？解析：小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：3903)7060(=⨯+(米)追及时间为：39)6070(390=-÷(分钟)小强走的总路程为：2940)339(70=+⨯ (米)【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？解析：要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：40602400=÷(分钟)，小明所用的时间是：301040=-(分钟)，小明每分钟走的米数是：80302400=÷(米)．例4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？解析：已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了12225=+⨯(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：8401270=⨯(米)，速度差为：4070110=-(米/秒)，王芳追上李华的时间是：2140840=÷(分钟)【巩固1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？解析：本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），速度差：126072=-（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是51260=÷（分钟）．共整理报纸：7202725=⨯⨯（份）【巩固2】甲、乙两车同时从A 地向B 地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A 地；到达A 地后又立即向B 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B 地，求A 、B 两地的路程．解析：根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A 地到B 地所用的时间，由此可以求出A 、B 两地的路程,追及路程为：68234=⨯(千米);追及时间为：17)3438(68=-÷(小时).A 、B 两地的路程为：6461738=⨯(千米).例5:甲、乙两辆汽车同时从A 地出发去B 地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B 地．A 、B 两地间的路程是多少？解析：由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B 地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：213=-(小时)，乙车2小时行的路程是：80240=⨯(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：104050=-(千米)，甲车所需的时间是：81080=÷(小时)，A 、B 两地间的路程是：400850=⨯(千米)．【巩固1】甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A 、B 两地间的距离．解析：由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：415=-(小时),追及路程为：644)8096(=⨯-(千米),A 、B 两地间的距离为：1606496=+(千米)【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？解析：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：1484)2865(=⨯- (千米).例6：小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？解析：小明比小芳提前3分钟出发，则多走210370=⨯（米）．两家之间的所剩路程是12002101410=-(米)，两人的速度和是1508070=+（米），所剩路程需：8)8070(1200=+÷（分）走完．小明家距离学校770)38(70=+⨯（米）．【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？解析：追及时间：1)1215(3=-÷(小时)，此时距部队驻地还有：11516=-(千米)．例7：甲、乙两列火车同时从A 地开往B 地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达．求A 、B 两地间的距离．解析：这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．方法一：如图：甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：628=-(小时)，此时路程差为：120620=⨯(千米)，此时路程差就是甲车2小时的路程，所以甲车速度为：602120=÷(千米/小时)，A 、B 两地间的距离：480860=⨯(千米)方法二：如图：假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：160820=⨯(千米)，这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：802160=÷(千米/小时)，乙车到达时用了：628=-(小时)，A 、B 两地间的距离：480680=⨯(千米)例8：龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？解析：⑴乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要41040=÷(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5100500=÷(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．⑵乌龟跑到终点还要41040=÷(分钟)，而小兔跑到终点还要510021000=÷÷(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001100=⨯(米)．【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？解析：由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为50510=⨯(米/分)，乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了5001050=⨯(米)，还剩5005001000=-(米)，需要1050500=÷(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：101001000=÷(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．例9：军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A 岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A 岛出发经过多少分钟可射击敌舰？解析：“我”舰追到A 岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A 岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。