数学：1.3.2《球的体积和表面积》教案(新人教版A必修2)

课题： 球的体积和表面积

教学目标：

1.熟记球的体积公式和表面积公式；

2.会用球的体积公式34

3

V R π=

和表面积公式24S R π=解决有关问题 教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用 教学过程：

一、创设情景，引入新课：

提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。 设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 二、探究新知：

1．探究球的体积公式

回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)

2. 探究球的表面积公式：

设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用

12,,,,i S S S ∆∆∆L L 表示，则球的表面积:

S =12i S S S ∆+∆+++∆L L

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积1

3

i i i V h S =

⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:

11221

(3

)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L ，

又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆L L

∴可得1

3

V R S ≈

⋅， 球的体积公式：34

3

V R π=

'

'

又∵3

43V R π=

，∴13R S ⋅34

3

R π=， ∴2

4S R π=即为球的表面积公式 三、例题示范,巩固新知：

例1

已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

2AB BC CA ===，求球的表面积

解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，

则22

3O A

'=

=， 在Rt O OA '∆中，2

2

2

OA O A O O ''=+，

∴2

2214R R =+，∴4

3

R =， ∴2

64

49

S R ππ==

． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，，求球的表面积和体积 解：作轴截面如图所示，

CC '=

，AC ==

设球半径为R ， 则222

R

OC CC '=+

22

9=+=

∴3R =，

∴2

436S R ππ==球，34

363

V R ππ=

=球． 例3．表面积为324π

的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四

棱柱的表面积

解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， 则作轴截面如图，14AA '=，AC =，

又∵2

4324R ππ=，∴9R =， ∴AC =

=8a =，

∴6423214576S =⨯+⨯=表．

例4. (P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的

23

； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。

四、练习反馈,理解加深： 指导学生完成P28练习1,2,3题 补充练习：

1．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；

3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；

4.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． 答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. 43π，43

π

5球O 1、O 2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．

分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．

解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为

2

a

、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ． •

小结归纳 ：

球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割

⇒求近似和⇒化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后

要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．

• 作业布置：

P 28 习题1.3 A 组第5题； 课外 P29 B 组第 1题.

证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.

因为 34

,3

V R π=球2322.V R R R ππ=⋅=圆柱 所以,2

.3

V V =

球圆柱 (2) 因为 24S R π=球,2224S R R R ππ=⋅=圆柱侧,

所以,S S =球圆柱侧.