教学设计：第三章 函数的应用章末复习

第三章章末复习
教学目标
知识与技能：利用零点存在定理判断函数零点的个数，利用二分法求方程的近似解；掌握指
数函数、对数函数、幂函数、一次函数这四种函数模型的增长差异.
过程与方法：能充分利用数形结合及等价转化的数学思想解决问题 情感态度价值观：培养学生解决问题中思维的严密性
教学重点难点
重 点：（1）利用函数性质讨论函数的零点，二分法的基本思想；
（2）实际问题的函数刻画
难 点：实际问题的函数刻画
学法与教具
1.学法：自主学习、合作探究；注重结合函数图像，利用数形结合和转化的思想解决问题
2.教具：多媒体，投影仪，三角尺
一、
二、【知识梳理】
1.掌握方程的根与函数零点的关系.
2.能够熟练利用零点存在定理判断函数的零点的个数.
3.掌握用二分法求函数的零点近似值(方程近似解)的步骤.
4.掌握指数函数、对数函数、幂函数、一次函数这四种函数模型的增长差异.
(1)x y a a =>爆炸增长，
(0)n y x n =>快速增长， (0)y kx b k =+>匀速增长，
log (1)a y x a =>缓慢增长.
5.掌握建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题的程序.
三、【范例导航】
例1（提高题）已知a 是实数，函数2
()223f x ax x a =+--.如果函数)y f x =（在区间
[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.
【分析】函数2
()223f x ax x a =+--的二次项系数未知，因此要讨论二次项系数是否等于0.当二次项系数20a =，即0a =时，函数)y f x =（是一次函数，直接求函数的零点；当二次项系数20a ≠，即0a ≠时，函数)y f x =（是二次函数，再利用数形结合讨论函数的零点.
【解答】解：当0a =时，函数()23f x x =-，零点为3
2
x =
，不符合题意. 当0a ≠时，函数2
()223f x ax x a =+--在区间[1,1]-上有零点分为两种情况：
（1） 函数)y f x =（在[1,1]-上只有一个零点，此时
所以 48(3)0(1)(1)(5)(1)0a a f f a a ∆=---≥⎧⎨-=--≤⎩ 或 48(3)0
1
112a a a ∆=---=⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩
解得：3152
a a --≤≤=或
（2）函数)y f x =（在[1,1]-上有两个零点，
48(3)001112(1)0(1)0a a a a f f ∆=--->⎧⎪>⎪⎪-<<⎨
⎪⎪-≥⎪≥⎩ 或 48(3)001
112(1)0(1)0a a a a f f ∆=--->⎧⎪<⎪⎪-<<⎨⎪
⎪-≤⎪
≤⎩
解得：352
a a --≥<
或 综上所述，若函数)y f x =（在区间[1,1]-上有零点，则a 的取值范
围
312
a a -≥≤
或. 【点评】解决二次函数零点问题要注意结合图像，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，考虑的方
面有：判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大小、开口方向等.
从数上说，函数)y f x =（的零点就是方程(0=f x ）的根；从形上说，函数)y f x =（的零点就是函
数图像与x 轴交点的横坐标.函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点三者间有着内在的本质联系，高考中有许多问题涉及三者的转化，思考时要注意.
变式训练1：二次方程2
2
2(4)2(2)0x k x k -++-=的两个根都是正数，求实数k 的取值范围.
答案
：210k k -≤<<≤（分析：1212
00x x x x ∆≥⎧⎪
+>⎨⎪⋅>⎩），
变式训练2：设集合2
{(,)|20}A x y x mx y =+-+={(,)|1},02B x y y x x ==+≤≤，
A B ≠∅，求实数m 的取值范围.
答案：1m ≤-
例2. 某单位计划用围墙围出一块矩形场地.现有材料可筑墙的总长度为l .如果要使围墙围出
的矩形场
地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？
【分析】若设矩形的长为x ，则宽为
(2)2
l
l x -， 从而矩形的面积为2(2)22
l l
S x l x x x =⋅-=-+，
是关于x 的二次函数，建立二次函数模型，利用二次函数的方法解决实际问题. 【解答】解：设矩形的长为x ，则宽为
(2)2
l
l x -，矩形的面积为 2(2)22
l l S x l x x x =⋅-=-+
2
2416l l x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭ （02l x <<）
所以，当4
l
x =时，函数取得最大值，即2max 16l S =，
此时，矩形的宽为
224
l x l
-= . 所以，当这个矩形的边长为4
l
时，所围成的面积最大为216l ，此时矩形为正方形.
【点评】对于求实际问题的最值，应先建立函数模型，然后对函数求最值，最后要回扣实际
问题，解决实际问题应注意不要忽略定义域.
变式训练：矩形ABCD 中，已知,,AB a BC b b a ==<，在,,,AB AD CD CB 上分别截取
,,,E H G F ，且AE AH CG CF x ====，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最
大？并求出最大面积？
答案：当3,4
a b
a b x +≤=时，2max ()8a b S +=；
当3,a b x b >=时，2
max S ab b =-.
例3.旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的
飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润
最大？
【分析】根据不同的人数有不同的票价，需要分段列出函数关系式，然后根据列出的分段函数分析解决问题.其中，利润=收入（飞机票的总收费）—支出（包机费）. 【解答】设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，由题意得：
当130x ≤≤时，900y =；
当3075x <≤时，90010(30)101200y x x =--=-+；
所以所求函数为900(130)101200(3075)x y x x ≤≤⎧=⎨
-+<≤⎩
设利润为Q ，则2
90015000(130)1500010120015000(3075)x x Q y x x x x -≤≤⎧=⋅-=⎨-+-<≤⎩
当130x ≤≤时，max 900301500012000Q =⨯-=，
当3075x <≤时，2
2
1012001500010(60)21000Q x x x =-+-=--+， 所以当60x =时，max 21000Q = 12000>，
答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21000元.
【点评】本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题，对于分段函数
的最值，应先在各自的定义域上求出各段的最值，然后加以比较，确定出分段函数的最值.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将各段的变化规律找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的取值范围，尤其要注意端点值.
变式练习：某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓
励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.
（1）设一次订购量为x 件，服装厂的实际出厂单价为p 元，写出()p f x =的表达式； （2）当销售商一次订购450件时，该服装厂获得的利润是多少元?
答案：（1）60,
0100()62,10050050x p f x x
x <≤⎧⎪
==⎨-<≤⎪⎩
（2）当销售商一次订购450件时，该服装厂获得的利润是5850元. 四、【解法小结】
1.利用零点存在定理判断函数零点的步骤；
2.利用二分法求方程近似解和函数近似零点的步骤；
3.方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点能够进行相互转化；
4.注意利用函数性质解决函数零点问题时，可以画出函数草图进而数形结合解决问题；
5. 建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题的程序. 五、【布置作业】 必做题：
1.方程1lg x x -=必有一个根的区间是（ ）
A. (0.1,0.2)
B. (0.2,0.3)
C. (0.3,0.4)
D.(0.4,0.5)
2.实数,,a b c 是图像连续不断的函数()y f x =定义域中的三个数，且满足a b c <<，()()0,()()0f a f b f b f c ⋅<⋅<，
则函数()y f x =在区间(,)a c 上零点的个数为（ ） A ．2 B .奇数 C.偶数 D ．至少是2 3.若方程2210ax x --=在区间(0,2)内恒有一解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B .38a >
C . 3388a -<<
D ．3
08
a ≤< 4.某产品的总成本M （万元）与产量x （台）有函数关系式
23000200.1(0240)M x x x =+-<<,若每台产品售价25万元，则生产者不亏本(即销
售收入不小于总成本)时的最低产量x 等于（ ）
A ．160
B .150
C .170
D ．210
5.某种放射性物质经过50年剩留原来质量的92.34%（此反射性物质每年衰减速度相同）.设质量为1的此物质经过x 年后的剩留量为y ，则()y f x =的函数表达式为（ ） A ．0.9234x
y = B .0.766x
y = C . 500.9234x
y =
D ．50
0.766
x y =
6. 某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服53元，手套3元一副，该企业联系了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件： 商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套. 商店二：打折，按总价的95℅收款.
该企业需要工作服75套，手套若干（不少于75副）.若你是企业的老板，你选择哪一家 商店省钱
必做题答案：1—5：A D B B C
6：当买175套手套时，两家商店的优惠相同，
当买的手套数多于75而少于175时，选商店一省钱， 当买的手套数多175时，选商店二省钱. 选做题：
1.已知函数2
2
()(1)(2)f x x a x a =+-+-的一个零点1比大，一个零点比1小，则有（ ）
A ．11a -<<
B .21a a <->或
C . 21a -<<
D ．11a a <->或
2.关于x 的方程242
x
x k +-=的实根的个数不可能是（ ）
A ．4
B .3
C . 2
D ．1
3．已知关于x 的方程2113(1)(31)(3)30x x x m m +++----⋅=有两个不同的实根，求m 的取值范围.
选做题答案：1. C 2. D 3.m <.。