朝阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

朝阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．已知x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]
2．已知α，[,]
βππ
∈-，则“|
||
|β
α>”是“β
α
β
αcos
cos
|
|
|
|-
>
-”的（）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 3．,
AD BE分别是ABC
∆的中线，若1
AD BE
==，且AD与BE的夹角为120，则AB AC
⋅=（）
（A）1
3
（B ）
4
9
（C）
2
3
（D）
8
9
4．已知圆M过定点)1,0(且圆心M在抛物线y
x2
2=上运动，若x轴截圆M所得的弦为|
|PQ，则弦长|
|PQ等于（）
A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.
5．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥cB．若c∥α，α⊥β，则c⊥β
C．若b⊂α，b∥c，则c∥αD．若c∥α，c⊥β，则α⊥β
6．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①；②f（3.4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
7．在ABC
∆中，60
A=，1
b=
sin sin sin
a b c
A B C
++
++
等于（）
A
． B
C
D
8． 复数
z=（其中i 是虚数单位），则z
的共轭复数=（ ） A
．
﹣i
B
．﹣
﹣i C
．
+i
D
．﹣
+i
9． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8） B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
10．i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i
11．“双曲线C 的渐近线方程为y=
±x ”是“双曲线C
的方程为
﹣
=1”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分不必要条件
12．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）
A ．06=--y x
B ．06=++y x
C ．06=+-y x
D ．06=-+y x
二、填空题
13．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
14．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
16．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
17．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例
如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：
1=++++++++++++，其中m，n∈N*，则m+n=．
18．若tanθ+=4，则sin2θ=．
三、解答题
19．已知命题p：x2﹣3x+2＞0；命题q：0＜x＜a．若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．
20．设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围．
（1）A∩B=∅；
（2）A∪B=B．
21．已知函数f（x）=e x（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[﹣2，﹣1]时f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．
22．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2csinA=a ．
（1）求角C 的大小；
（2）若c=2，a 2+b 2=6，求△ABC 的面积．
23． 定圆22:(16,M x y +=动圆N 过点0)F 且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为.E （Ⅰ）求轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时，求直线AB 的方程.
24．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．
（1）求证：AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2；
（2）若A ＝120°，AD ＝192，sin B sin C ＝3
5，求△ABC 的面积．
朝阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：x ＞0，y ＞0
，
+=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立， 所以（x+y
）（
+）
=10+≥
10
=16，
当且仅当
时等号成立，所以2m ﹣1≤16，解得
m
；
故m
的取值范围是（﹣]；
故选D ．
2． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A.
3． 【答案】C
【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422
()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
4． 【答案】A
【解析】过M 作MN 垂直于x 轴于N ，设),(00y x M ，则)0,(0x N ，在MNQ Rt ∆中，0||y MN =，MQ 为圆的半径，NQ 为PQ 的一半，因此
22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+
又点M 在抛物线上，∴02
02y x =，∴2200||4(21)4PQ x y =-+=，∴2||=PQ .
5．【答案】D
【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线
因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行
故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；
对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，
但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；
对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．
但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；
对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b
结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题
故选：D
【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f（）=|﹣0|=，
∴f（﹣）=f（）
∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
7．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积0
11
sin sin60
224
S bc A bc
====4
bc=，又1
b=，所
以4
c=，又由余弦定理，可得222220
2cos14214cos6013
a b c bc A
=+-=+-⨯⨯=，所以a=
sin sin sin sin sin603
a b c a
A B C A
++
===
++
，故选B．
考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中
利用比例式的性质，得到
sin sin sin sin
a b c a
A B C A
++
=
++
是解答的关键，属于中档试题．
8．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
9．【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．
故答案选D．
10．【答案】A
【解析】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
11．【答案】C
【解析】解：若双曲线C的方程为﹣=1，则双曲线的方程为，y=±x，则必要性成立，
若双曲线C的方程为﹣=2，满足渐近线方程为y=±x，但双曲线C的方程为﹣=1不成立，即充分性不成立，
故“双曲线C的渐近线方程为y=±x”是“双曲线C的方程为﹣=1”的必要不充分条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线和渐近线之间的关系是解决本题的关键．
12．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
二、填空题
13．【答案】充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，
∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），
若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
14．【答案】50π
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．
故答案为：50π．
15．【答案】
11 [133
e e
⎧⎫+⋃+
⎨⎬
⎩⎭
，）
【解析】当x＜0时，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得110x x e +-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2，
即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2，
作出函数f （x ）的图象如图： y=
1x
x e +≥1（x ≥0）， y ′=1x x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数， x=1时，函数取得最大值：11e
+， 当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1e
）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点， 当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1e
时则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点， 当a ＞3+1e
时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点 当a=1+1e
时，则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点， 当11{ 21a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e ，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点． 综上a ∈11[133e e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．【答案】．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，
当x=8时，y=，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
17．【答案】33．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
18．【答案】．
【解析】解：若tanθ+=4，则
sin2θ=2sinθcosθ=====，
故答案为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：对于命题p：x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1，
∴命题p：x＞2或x＜1，
又∵命题q：0＜x＜a，且p是q的必要而不充分条件，
当a≤0时，q：x∈∅，符合题意；
当a＞0时，要使p是q的必要而不充分条件，
需{x|0＜x＜a}⊊{x|x＞2或x＜1}，
∴0＜a≤1．
综上，取并集可得a∈（﹣∞，1]．
【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
20．【答案】
【解析】解：∵A={x|0＜x﹣m＜3}，∴A={x|m＜x＜m+3}，
（1）当A∩B=∅时；如图：
则，
解得m=0，
（2）当A∪B=B时，则A⊆B，
由上图可得，m≥3或m+3≤0，
解得m≥3或m≤﹣3．
21．【答案】
【解析】解：（I）f'（x）=e x（ax+a+b）+2x+2…
依题意，，即，解得．…
（II）由f（x）≥x2+2（k+1）x+k得：e x（x+1）≥k（2x+1）．
∵x∈[﹣2，﹣1]时，2x+1＜0，
∴f（x）≥x2+2（k+1）x+k即e x（x+1）≥k（2x+1）恒成立，
当且仅当…
设，
由g'（x）=0得…
当；
当∴上的最大值为：
…
所以常数k的取值范围为…
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型．
22．【答案】
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）∵，
∴，…2分
在锐角△ABC中，，…3分
故sinA≠0，
∴，．…5分
（2）∵
，…6分 ∴
，即ab=2，…8分 ∴．…10分
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）(3,0)F
在圆22:(16M x y +=内，∴圆N 内切于圆.M NM NF +∴轨迹E 的方程为4(11OA OC =2(14)(14k k ++≤当且仅当182,5>∴∆24．【答案】
【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝a 2. 法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2＝AD 2
＋a 24
－2AD · a 2cos ∠ADB ，① b 2＝AD 2＋a 24－2AD ·a 2·cos ∠ADC ，② ①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋a 22， 即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝12
2b 2＋2c 2－a 2. 法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2＋a 24－2c ·a 2
cos B ＝c 2＋a 24－ac ·a 2＋c 2－b 22ac
＝2b 2＋2c 2－a 2
4
， ∴AD ＝12
2b 2＋2c 2－a 2. （2）∵A ＝120°，AD ＝1219，sin B sin C ＝35
， 由余弦定理和正弦定理与（1）可得
a 2＝
b 2＋
c 2＋bc ，①
2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
b c ＝35
，③ 联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×sin 120°＝1534
. 即△ABC 的面积为154
3.。