湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷

2013 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷
（一）
一、选择题（每题
6 分，共
36 分）
1．（ 6 分）（ 2003?
福州）不等式组：
的解集是（
）
A ． x ＞﹣ 3
B ． x ≥2
C ．﹣ 3＜ x ≤ 2
D ．x ＜﹣ 3
2．（ 6 分）（ 2013?天心区校级自主招生） 如图，AC ＝ CD ＝ DA ＝ BC ＝DE ，则∠ BAE 是∠ B 的（倍．
）
A ． 6
B ． 4
C ． 3
D ．2
3．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如果 x 取任何实数时，函数 y ＝ ax 2
+bx +c 都不能取 正值，则必有（ ）
A ． ＞0 且△≥ 0
B ． ＜0 且△≤ 0
C ． ＜0 且△≥ 0
D ． ＞0 且△≤ 0 a a
a
a
4．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如图，将矩形
沿
折叠，使点
B 落在直角
ABCD AE
梯形 AECD 中位线 FG 上，且 AB ＝
，则 AE 的长为（
）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
5．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线
段的端点分别为（
2， 11），（ 11， 14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（
）
A ．4个
B ．5个
C ．6 个
D ．8 个
6．（6 分）（ 2013?
天心区校级自主招生）设
a ，
b ，
c 是不全相等的任意实数，若
x ＝ a 2﹣ bc ，
y ＝ b 2﹣ ca ，z ＝ c 2﹣ ab ，则
x ， y ， z 中（
）
A ．都不小于
B ．都不大于
C ．至少有一个小于
D ．至少有一个大于
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）等腰三角形 ABC 的底边 BC ＝ 10cm ，∠ A ＝ 120°，
则△
的外接圆半径为
．
ABC cm
8．（ 5 分）（2006? 安徽）如图，
AB 是半圆 O 的直径，∠ ＝ 30°，
BC 为半圆的切线，且
BAC
BC ＝ ，则圆心 O 到 AC 的距离是
．
9．（ 5
分）（ 2006?
防城港）如图，有反比例函数
y ＝
，y ＝﹣
的图象和一个以原点为圆
心， 2 为半径的圆，则
S 阴影＝
．
10．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，△
中，∠ A 的平分线交
于 ， ＝
ABC
BC
D AB
+ ，∠ ＝ 80°，那么∠
B 的度数是
．
ACCD C
11．（ 5
分）（2013?
天心区校级自主招生）如图，已知梯形
ABCD 的面积
为
S ， AD ∥ BC ， BC
＝ b ，AD ＝ a （ a ＜ b ），对角线
AC 与 BD 交于
点
O ．若△ COD 的面积
为
S ，则
＝
．
12．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球
的个数比红球少，但白球个数的
2 倍比红球多，若把每个白球都记作“
2”，每一个红球
都记作“ 3”，则总数为 60，那么，白球有
个，红球有
个．
三、解答题（本大题共 3 题，13、14 题 11 分，15 题 12 分，共 34 分）
13．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，求实数k 的取值范围．
14．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）预计用1500 元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10 个，总金额仍多用29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是元．
（ 1）求x、y的关系式；
（ 2）若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求 x、y 的值．
15．（ 12 分）（ 2008? 十堰）已知抛物线y＝﹣ ax2+2ax+b 与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），与 y 轴的正半轴交于点C．
（ 1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（ 2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2013 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学
试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题
6 分，共
36 分）
1．（ 6 分）（ 2003?
福州）不等式组：
的解集是（
）
A ． x ＞﹣ 3
B ． x ≥2
C ．﹣ 3＜ x ≤ 2
D ．x ＜﹣ 3
【考点】 CB ：解一元一次不等式组．
【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】 解：由①得： x ≥2．由②得： x ＞﹣ 3．∴不等式组的解集为： x ≥ 2．故选 B ．
【点评】 求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找 不到．
2．（ 6 分）（ 2013?天心区校级自主招生） 如图， ＝ ＝＝＝，则∠
是∠ B 的（
）
AC CD DA BC DEBAE
倍．
A ． 6
B ． 4
C ．3
D ．2
【考点】 KH ：等腰三角形的性质．
【分析】 由 AC ＝ CD ＝ DA ＝ BC ＝ DE ，可得△ ACD 是等边三角形，即∠ ACD ＝∠ ADC ＝∠ CAD ＝
60°，∠ B ＝∠ BAC ，∠ E ＝∠ DAE ，又由三角形外角的性质，∠ 得答案．
【解答】 解：∵ AC ＝ CD ＝DA ＝ BC ＝DE ，
B 与∠ BAE 的度数，继而求
∴△ ACD 是等边三角形，
∴∠ ACD ＝∠ ADC ＝∠ CAD ＝60°，∠ B ＝∠ BAC ，∠ E ＝∠ DAE ，
∵∠ ACD ＝∠ B +∠ BAC ，∠ ADC ＝∠ E +∠ DAE ，
∴∠ B ＝∠ BAC ＝∠ DAE ＝∠ E ＝ 30°，
∴∠ BAE ＝∠ BAC +∠ CAD +∠DAE ＝ 120°，
∴∠ BAE ＝ 4∠ B ．
故选： B ．
【点评】 此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此
题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如果
x 取任何实数时，函数 y ＝
2
+ + 都不能取
ax bx c
正值，则必有（ ）
A ． a ＞0 且△≥ 0
B ． a ＜0 且△≤ 0
C ． a ＜ 0 且△≥ 0
D ．a ＞ 0 且△≤ 0
【考点】 HA ：抛物线与 x 轴的交点．
【分析】 根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与 x 轴无交点即可．
【解答】 解：欲保证 x 取一切实数时，函数值 y 恒为非负数，则必须保证抛物线开口向
下，且与 x 轴只有一个交点，或者无交点； 则 a ＜0 且 b 2﹣ 4ac ≤0， 故选： ．
B
【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点．
①当 x 取一切实数时，函数值 y 恒为正的条件：抛物线开口向上，且与 x 轴无交点；
②当 x 取一切实数时，函数值
y 恒为负的条件：抛物线开口向下，且与 x 轴无交点．
4．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在直
角
梯形
中位线 上，且 ＝ ，则
的长为（
）
AECD FG
AB
AE
A ． 2
B ． 3
C ． 2
D ．
【考点】
LB ：矩形的性质；
LI ：直角梯形；
LL ：梯形中位线定理；
PB ：翻折变换（折叠
问题）．
【分析】 由题意可知∠ BEF ＝∠ FEB ′＝∠ EFB ′，推出 EB ′＝ EF ＝ AF ＝ FB ′，即∠ AEB ′
＝ 60°，通过解直角三角形，即可推出
AE 的长度．
【解答】 解：∵ FG 是直角梯形 AECD 的中位线，∠ B ＝∠ AB ′ E ＝90°，
∴ FG ∥BC ∥ AD ，
∴∠ BEF ＝∠ FEB ′＝∠ EFB ′，
∴EB′＝ EF＝ AF＝ FB′，
∴∠ AEB′＝60°，
∵ AB＝AB′＝，
∴AE＝＝．
故选： D．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，解题的关
键在于证出等边三角形，再解直角三角形即可．
5．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2， 11），（ 11， 14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个B．5个C．6 个D．8 个
【考点】 D5：坐标与图形性质．
【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y＝ ax+b（ a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．
【解答】解：设经过点（2， 11）、（ 11， 14）的直线方程y＝ ax+b（ a≠0），则，
解得，，
∴所求的线段所在的直线方程为y＝x+；
①当 y＝12时， x＝5，即整点（5，12）在该线段上；
②当 y＝13时， x＝8，即整点（8，13）在该线段上；
又∵端点（ 2， 11）、（ 11，14）也是整点，
∴在此线段上（包括端点）的整点共有 4 个，
故选： A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y 的整数值．
6．（6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）设a，b，c 是不全相等的任意实数，若x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca，z＝ c2﹣ ab，则x， y， z 中（）
A．都不小于0 B．都不大于0
C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0
【考点】1F：非负数的性质：偶次方．
【分析】由题意 x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca， z＝c2﹣ab，将 x， y， z 相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；
【解答】解：∵ x＝ a2﹣ bc， y＝ b2﹣ ca， z＝ c2﹣ ab，
∴2（x+y+z）＝ 2a2﹣ 2bc+2b2﹣ 2ca+2c2﹣ 2ab＝（a2﹣ 2ab+b2）+（b2﹣ 2bc+c2）+（a2﹣ 2ca+c2）＝（ a﹣ b）2+（ b﹣ c）2+（c﹣ a）2＞0，
∴x+y+z＞0，故 x， y， z 至少有一个大于0，
故选： D．
【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．
二、填空题（每题 5 分，共30 分）
7．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）等腰三角形ABC的底
边
BC＝10cm，∠ A＝120°，则△ ABC的外接圆半径为cm．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】连接OA
交BC
于
D，根据三线合一定理得出BD＝ DC，∠ OAC＝∠ BAC，得出等
边三角形 OAC，推出∠ AOC＝60°，在△ ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接 OA交 BC于 D，
∵O是等腰三角形 ABC的外心， AB＝AC，
∴∠ AOC＝∠ BOA，
∵OB＝OC，
∴BD＝DC， OA⊥BC，
∴由垂径定理得： BD＝ DC＝5cm，
∠ OAC＝∠ BAC＝×120°＝60°，
∵OA＝OC，
∴△ AOC是等边三角形，
∴∠ DCO＝90°﹣60°＝30°
∴OC＝2OD，
设 OD＝a， OC＝2a，由勾股定理得：a2+52＝（2a）2，
a＝，
OC＝2a＝（cm）．
故答案是：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角
形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外
部．
8．（ 5 分）（2006? 安徽）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝ 30°，BC为半圆的切线，且BC＝，则圆心O到 AC的距离是3．
【考点】 KO：含 30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理； M2：垂径定理； MC：切线的性质．【分析】首先过 O作 AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到 AC的距离．【解答】解：∵ BC是⊙ O的切线，
∴∠ ABC＝90°，
∵OD⊥AC，
∴∠ ADO＝90°，∠ A公共，
∴△ ABC∽△ ADO，
∴，即 OD＝；
在△ ABC中，
∴ AC ＝2BC ＝ 8 ，
AB ＝
＝ 12，
∴ OA ＝6＝ BO ，
∴OD ＝
．
【点评】 主要利用了相似三角形的对应线段成比例．
9．（ 5
分）（ 2006?
防城港）如图，有反比例函数
y ＝
，y ＝﹣
的图象和一个以原点为圆
心， 2 为半径的圆，则
S 阴影＝
2π
．
【考点】 G3：反比例函数图象的对称性． 【专题】 11：计算题； 16：压轴题．
【分析】 由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一 个半圆的面积．
【解答】 解：由反比例函数的对称性知 S 阴影 ＝ π× 22＝ 2π．
故答案为： 2π．
【点评】 解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
10．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，△
中，∠ A 的平分线交
于 ， ＝
ABC
BC D AB
+ ，∠ ＝ 80°，那么∠
B 的度数是
40° ．
ACCD C
【考点】 KD ：全等三角形的判定与性质．
【专题】 11：计算题．
【分析】 在 AB 上截取 AE ＝ AC ，先根据角平分线的定义得∠ BAD ＝∠ CAD ，再根据“ SAS ”
可判断△ AED≌△ ACD，则 ED＝ CD，∠ AED＝∠ C＝80°，由于 AB＝AC+CD得到 EB＝ CD＝ED，即△ EBD为等腰三角形，所以∠AED＝∠ B+∠ EDB，于是∠ B＝∠ AED＝40°．
【解答】解：在 AB上截取 AE＝ AC，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠ BAD＝∠ CAD，
∵在△ AED和△ ACD中
，
∴△ AED≌△ ACD（ SAS），
∴ED＝CD，∠ AED＝∠ C＝
80°，∵ AB＝AC+CD，
∴EB＝CD＝ ED，
∴∠ B＝∠ EDB，
∵∠ AED＝∠ B+∠ EDB，
∴∠ B＝∠ AED＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“ SSS”、“SAS”、“ ASA”、“ AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．11．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，已知梯形ABCD的面积
为
S， AD∥ BC， BC
＝ b， AD＝ a（ a＜ b），对角线AC与 BD交于
点O．若△ COD的面积
为
S，则＝．
【考点】 LH：梯形； S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△AOD的面积为 S1，S△COB的面积为 S2，由题
中条件建立关于S1? S2的方程，解方程得出S1? S2之间的关系，进而可求解a、 b 之间的关系．
【解答】解：如图，
设 S△AOD的面积为 S1， S△COB的面积为 S2，由 S 四边形ABCD＝ S，
∵ AB∥CD，
∴ S△ABC＝ S△DBC，
∴S△ABC﹣ S△BOC＝ S△BCD﹣S△COB，
∴S△AOB＝ S△DOC＝ S，得 S1+S2＝S﹣2× S＝ S，①
∵＝＝，
2
∴ S1? S2＝ S△DOC? S△AOB＝S ，②
联立①、②，
∵△ AOD∽△ COB，∴＝，③
∵ a＜ b，∴ S1＜ S2，解方程组得S1＝S， S2＝S，
代入③得＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能
够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．
12．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球
的个数比红球少，但白球个数的 2 倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“ 3”，则总数为 60，那么，白球有9 个，红球有14 个．
【考点】 CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】设有白球
x 个，有红球
y
个，根据条件就有
x
＜， 2
x
＞， 2
x
+3 ＝ 60，从而构
y y y
成一个不等式组，求出其解即可．
【解答】解：设有白球x 个，有红球y 个，由题意，得
，
由③，得
x＝④，
把④代入①，得
y＞12．
把④代入②，得
y＜15．
∵ x、y 为整数，
y＝13，14，
当 y＝13时， x＝舍去，
当 y＝14时， x＝9，∴
白球 9 个，红球 14 个故
答案为： 9， 14．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法
的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共 3 题，13、14 题 11 分，15 题 12 分，共 34 分）
13．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，求实数k 的取值范围．
【考点】 AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；B3：解分式方程．
【专题】 32：分类讨论．
【分析】 先把原方程化为 2x 2﹣3x ﹣（ k +3）＝ 0，一定是一个一元二次方程，在正实数范
围内，只存在一个数是关于
x 的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可
进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，
即 x ＝ 1是方程 2 2﹣ 3 ﹣（
+3）
x x k
＝ 0 的解，即可求得方程的另一解， 然后进行判断； 或方程有两个异号得实数根； 或其中
一根是 0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：
（ 1）当△＝ 0 时；
（ 2）若 x ＝ 1 是方程①的根；
（ 3）当方程①有异号实根时；
（ 4）当方程①有一个根为 0 时，最后结合题意总结结果即可．
【解答】 解：原方程可化为 2x 2﹣ 3x ﹣（ k +3）＝ 0，① （ 1）当△＝ 0 时，
，
满足条件；
2
﹣ 3× 1﹣（ k +3）＝ 0， k ＝﹣ 4；
（ 2）若 x ＝ 1 是方程①的根，得 2×1
此时方程①的另一个根为
，故原方程也只有一根
；
（ 3）当方程①有异号实根时，
且 ≠1即
k ≠﹣ 4，得 k ＞﹣ 3，此时原
x
方程也只有一个正实数根；
（ 4）当方程①有一个根为 0 时， k ＝﹣ 3，另一个根为 ，此时原方程也只有一个正实
根．
综上所述，满足条件的
k 的取值范围是 或 k ＝﹣ 4 或 k ≥﹣ 3．
【点评】 主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．
14．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）预计用 1500 元购买甲商品 x 个，乙商品 y 个，
不料甲商品每个涨价元，乙商品每个涨价
1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少
10
个，总金额仍多用 29 元．又若甲商品每个只涨价
1 元，并且购买甲商品的数量只比预定
数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是元．
（ 1）求 x 、 y 的关系式；
（ 2）若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 205，但小于 210，求
x 、y 的值．
【考点】 CE ：一元一次不等式组的应用．
【分析】（ 1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量
+乙原单价×乙
原数量＝ 1500，（甲原单价 +）×（甲原数量﹣ 10） +（乙原单价 +1）×乙原数量＝ 1529；
（甲原单价 +1）×（甲原数量﹣ 5） +（乙原单价 +1）×乙原数量＝．
（ 2）结合（
1）得到的式子，还有
205＜ 2 倍甲总价
+乙总价＜
210，求出整数解．
【解答】 解：（ 1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为
a
元和
b 元，则原计划是
ax +by
＝ 1500，①
由甲商品单价上涨元、乙商品单价上涨
1 元，并且甲商品减少
10 个的情形，得（
a +）（ x
﹣ 10）+（ b +1）y ＝ 1529 ．②再由甲商品单价上涨
1 元，而数量比预计数少
5 个，乙商品
单价上涨仍是 1 元的情形，得（ a +1）（ x ﹣ 5）+（ b +1） y ＝，③由①、②、③得
④⑤
④﹣⑤× 2 并化简，得 x +2y ＝ 186．
（ 2）依题意，有 205＜ 2x +y ＜ 210 及 x +2y ＝186， 54＜ y ＜
由 y 是整数，得 y ＝ 55，从而得 x ＝ 76．
答：（ 1） x 、 y 的关系 x +2y ＝ 186；
（ 2）x 值为 76， y 值为 55．
【点评】 解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出
未知数，在做题过程中消去无关的量．
15．（ 12 分）（ 2008? 十堰）已知抛物线 y ＝﹣
2
+2 + 与 x 轴的一个交点为
（﹣ 1， 0），
ax ax b A
与 y 轴的正半轴交于点
C ．
（ 1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与
x 轴的另一个交点 B 的坐标；
（ 2）当点 C 在以 AB 为直径的⊙ P 上时，求抛物线的解析式；
（ 3）坐标平面内是否存在点 M ，使得以点 M 和（ 2）中抛物线上的三点 A 、B 、C 为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】 HF ：二次函数综合题． 【专题】 16：压轴题．
【分析】（ 1）抛物线 y ＝﹣ ax 2 +2ax +b 的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与 x 轴
的另一交点与 A 关于对称轴对称，因而交点就可以求出．
（ 2） AB 的长度可以求出，连接 PC ，在直角三角形 OCP 中，根据勾股定理就可以求
出 C
点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．
（ 3）本题应分
或 为对角线和以
AB 为对角线三种情况进行讨论，当以 或 为
AC
BC
AC BC 对角线时，点
在
x 轴上方，此时
∥ ，且 ＝ ．就可以求出点
的坐标．当以
AB
M
CM AB CM AB M 为对角线时，点 M 在 x 轴下方易证△ AOC ≌△ BNM ，可以求出点 M 的坐
标．
【解答】 解：（ 1）对称轴是直线： x ＝ 1，点 B 的坐标是（ 3， 0）．（ 2 分）
说明：每写对 1 个给（ 1 分），“直线”两字没写不扣分．
（ 2）如图，连接 PC ，
∵点 A 、 B 的坐标分别是 A （﹣ 1，0）、 B （ 3， 0），
∴ AB ＝4．
∴ PC ＝ AB ＝ × 4＝ 2
在 Rt △POC 中，
∵ OP ＝PA ﹣ OA ＝2﹣ 1＝ 1，
∴ OC ＝ ，
∴ b ＝
（3 分）
当 x ＝﹣ 1， y ＝ 0 时，﹣ a ﹣ 2a + ＝ 0
∴ a ＝
（ 4 分）
∴ y＝﹣x2+x+．（5分）
（ 3）存在．（ 6 分）理由：如图，连接AC、 BC．设点 M的坐标为 M（ x， y）．
①当以 AC或 BC为对角线时，点M
在
x 轴上方，此时CM∥ AB，且CM＝ AB．
由（ 2）知，AB＝4，
∴ | x|＝4， y＝ OC＝．
∴ x＝±4．
∴点M的坐标
为
M（4，）或（﹣4，）．（ 9 分）说明：少求一个点的坐标扣（ 1 分）．
②当以AB为对角线时，
点M
在
x 轴下方．
过 M作 MN⊥ AB于 N，则∠ MNB＝∠ AOC＝
90度．∵四边形 AMBC是平行四边形，
∴ AC＝MB，且 AC∥ MB．
∴∠ CAO＝∠ MBN．
∴△ AOC≌△ BNM．
∴BN＝AO＝1， MN＝ CO
＝．∵ OB＝3，
∴0N＝3﹣ 1＝ 2．
∴点 M的坐标为 M（2，﹣）．（12 分）
综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、 B、 C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为 M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，
不扣分
【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0 时，则其中的每一项都必须等于0．
2．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程
2 2
ax +bx+c＝0（ a≠0）的根与△＝ b ﹣4ac 有如下关系：
①当△＞ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝ 0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜ 0 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：
2
的两根时， x1+x2＝﹣ p，x1， x2是方程 x +px+q＝0
x1x2＝ q，反过来可得p＝﹣（ x1+x2），q＝ x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是
已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1， x2是一元二次方程ax2 +bx+c＝ 0（a≠ 0）的两根时，x1+x2＝， x1 x2＝，反过来也成立，即＝﹣（ x1+x2），＝ x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另
一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，
2 2
如求，x1+x2等等．④判断两根的符号．⑤
求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0 这两个前提条件．
4．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式
方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式
方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
5．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组
成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解
集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
6．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
7．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，
是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去
解决问题．
8．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形， 对称轴分别是： ①二、 四象限的角平分
线 ＝﹣ ；②一、三象限的角平分线
＝ ；对称中心是：坐标原点．
YX
Y X
9．抛物线与 x 轴的交点
求二次函数 y ＝
2
+ +（，， 是常数， ≠ 0）与
x
轴的交点坐标， 令 ＝ 0，即
2
+ +
ax bx c a b c
a y
ax bx c
＝0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数 2
2
y ＝ ax +bx +c （ a ， b ，c 是常数， a ≠ 0）的交点与一元二次方程 ax +bx +c ＝ 0 根之间的关系．
△＝ b 2﹣ 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数． △＝ b 2﹣ 4ac ＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △＝ b 2﹣ 4ac ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △＝ b 2﹣ 4ac ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：
y ＝a （ x ﹣ x 1）（ x ﹣ x 2）（ a ， b ， c 是常数， a ≠ 0），可直接得到抛
物线与 x 轴的交点坐标（ x 1， 0），（x 2 ，0）．
10．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时， 先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，
然后判断新的函数关系
式中系数的符号， 再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征， 则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、 几何知识有机地结合在一起．
这类试题一般难度较大． 解这类问题关键
是善于将函数问题转化为方程问题， 善于利用几何图形的有关性质、
定理和二次函数的知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立
直角坐标系下的二次函数图象， 然后数形结合解决问题， 需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
11．全等三角形的判定与性质
（ 1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（ 2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅
助线构造三角形．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰
三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中
任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．含 30 度角的直角三角形
（1）含 30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的
相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a， b，斜边长为c，那么 a2+b2＝ c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝ c2的变形有： a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2 +b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
15．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在
的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
16．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
17．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
18．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的 2 倍乘高再除以 2 就等于梯形的面积，即
梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
19．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
20．切线的性质
（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点
的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经
过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经
过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：
见切点，连半径，见垂直．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到
图形间的关系．。