2020年中考数学二轮复习-几何综合之图形关系

2020年中考数学-几何综合之图形关系

教学目标：

1.通过对结论开放型几何问题的探究，发展学生的逻辑推理、几何直观能力，培养发散思维.

2.经历对几何综合问题研究的过程，感受图形变化过程中的不变量与不变关系，增强学生画图、识图、逻辑推理等能力

3.在探究图形关系的过程中，学会梳理、总结、反思，能够从多角度思考问题.

教学重点：

关注运动变化中的不变量与不变关系，探究几何综合问题中的图形关系

教学难点：

能在图形的变化中看到不变的实质

教学过程：

上半节课：

一、课题引入

在几何的学习过程中，经常会遇到动态的问题，要求我们根据题意画出图形，观察分析图形后再求解。这种题呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，具有一定的挑战性.对于这类问题需要我们关注点动或线动或图动的运动变化中的不变量与

不变关系.

思考：不变量、不变关系指什么呢？

不变量指：运动变化过程中某一线段长度不变、某一角度不变

不变关系指：运动变化过程中某两个或三个线段关系不变，或角度关系不变

解决策略：

画图：图形生成过程

识图：几何直观发现图形关系——猜想不变量.不变关系

推理：证明几何直观所得的猜想.

二、例题选讲

典型例题1

如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.过点E做EF⊥AE，交∠DCB的外角的平分线于点F，画图并猜想可能的不变量、不变关系.

问题1：有关角的不变量都有哪些？

问题2：有关边的不变量都有哪些？

问题3：你能证明出你的猜想是正确的吗？

尝试证明：AE=EF

如图，正方形ABCD中，点E为BC边一动点，连接AE.

过点E做EF⊥AE，交∠DCB的外角的平分线于点F，

求证：AE=EF

分析：证明线段相等常用的方法有：证明两条线段所在的三角形全等、等量代换、等角对等边。。。，三角形全等是证明线段相等的常用方法，通过观察发现AE、EF所在的三角形显然是不全等的，那么我们能否通过添加辅助线在构造全等的三角形呢？

思路1：如图，在AB上取一点M，使AM=CE，连接ME.…

思路2：如图，连接AC，过点

思路3：如图，延长AB到P,使BP=

G

G

思路4：如图，延长AB 到H,使BH =AB ，连接HE ,CH .

思路5：如图，连接AC 并延长到N ，使CN =CF ，连接EN .……

思路6：如图，以AF 为直径，构造辅助圆……

分析总结：

如图，延长AB 交FC 的延长线于点H ，连接HE

∠CF 是∠DCB 的外角的平分线

∠ ∠ECF ＝135° ∠∠BCH ＝45°∠BC =BH

易得∠ABE ∠∠HBE (SAS )

∠ AE =HE , ∠BAE =∠BHE .

∠ ∠AEF =90°，

∠ 点E 在圆上.

∠ ∠ACF =90°，

∠ 点C 在圆上.

∠ »»AE=AE

把几种解法放在一起重新审视一下。思路2、思路3可以看成是旋转变换，思路4、思路5可以看成是翻折变化，我们是通过几何变换转移线段，把分散的条件集中化。抛开题目本身来说，在平常的学习过程当中，不仅需要注重思维的灵活性与多样性，同时还需要注重思维的深刻性.也就是说，在追求解法多样性的过程当中，一定要善于总结哪个思维出发点解决问题是最优的，既要保持思维的灵活性也要保持思维的深刻性，这样才能不断地提升自身的思辨能力. 我们既要注重一题多解，还要多解择优！

本题改编于人教版八年级（下）第69页第14题，此题涉及的几何图形，属于一个非常经典、传统的题型，在各种模拟试题中都有过考察，在平时的备考过程中，一定要重视常见的、反复出现的几何图形，对此进行深入的分析，一来可以借此深化对几何模型的理解，二来是因为中考的试题多数也是对经典图形的改编、改造，或者需要借助经典的几何模型进行分析，有经验的考生可以缩短考场上的分析时间.

阶段小结

几何综合问题我们应该始终关心“不变量、不变关系”，通过从画图、识图、观察、分析、推理，动中窥定，变中求静，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系！

思考题：

如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重

合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC

于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接

BH .画图并猜想可能的不变量.

下半节课

典型例题2

思考：

如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH .画图并猜想可能的不变量.

问题1：按题目要求画出图形后你发现了哪些不变量、不变关系？

问题2：新的图形有没有新的不变量、新的关系产生？

问题3：再仔细识图，还有哪些可以挖掘的吗？

问题4：线段BH 与AE 有怎样的数量关系？你能证明出你的猜想是正确的吗？

A

A

分析：

探究两条线段的数量关系，而且是不等的关系，需要将二者集中到一个三角形之中进行分析，常见的处理方式是通过构造全等三角形集中线段或者通过几何变换进行线段的转移或等量代换，提供几种不同的方法，建议同学们体会思路的出发点之间的异同.

思路一：通过全等三角形集中线段

方法1：在AD上取点M使得AM=AE,连接ME

证明：

如图，在AD上取点M使得AM=AE,连接ME

∠AB=AD,∠ MD=BE,

由第一问知，∠EDH=45°且EH∠DE，∠DE=EH

∠∠ADE+∠AED＝90°＝∠BEH+∠AED

∠∠ADE=∠BEH.

方法2：如图，延长AB至点N,使得AD=EN

证明：

如图，延长AB至点N,使得AD=EN,

由方法1，可证得∠ADE=∠BEH，DE=EH

∠∠ADE∠∠NEH(SAS)∠AE=NH,∠A=∠N=90°.

思路二：通过几何变换（构造平行四边形）集中线段

方法3如图，延长DA至点P,使得AP=AE,连接PE,PB

证明：

如图，延长DA至点P,使得AP=AE,连接PE,PB

可证得△ADE≌△ABP(SAS)∴DE=BP,∠ADE=∠ABP

由第一问可得DE=EH,∠ADE=∠BEH

∠∠BEH=∠ABP∠EH//BP

又∠ EH=DE=BP,∠四边形BPEH为平行四边形

方法4：

如图，连接AF并延长交BC于点P,连接PH