2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二上学期期末数
学试题
一、单选题
1．抛物线24y x =的焦点坐标是 A ．0,1 B ．()0,2
C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【详解】解：抛物线的标准方程为：2
14x y =
，据此可知，抛物线的焦点坐标为：10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 本题选择D 选项.
点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，
2
p
等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 2．“2a =-”是“直线()()2
1110a x a y -+-+=与直线210ax y --=垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用直线一般式的垂直公式列方程求出a ，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】若直线()()2
1110a x a y -+-+=与直线210ax y --=垂直， 则()()2
1210a a a ---=，
解得1a =或2a =-，
又1a =时，直线()()2
1110a x a y -+-+=不存在，
所以2a =-，
故“2a =-”是“直线()()2
1110a x a y -+-+=与直线210ax y --=垂直”的充要条件，
故选：C.
3．()5
22x y z -+展开式中，3xy z 的系数为（ ） A ．320- B ．320
C ．240-
D ．240
【答案】A
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为()()5
522[22]x y z x y z -+=-+，
所以通项公式为：()()515
C 22r
r
r
r T x y z -+=⋅-⋅，
令1r =，所以()()4
4
125C 22102T x y z x y z =⋅-⋅=-， 设二项式4(2)x y -的通项公式为：()
()414C 2n
n
n n T x y -+=⋅⋅-'，
令3n =，所以()3
33
44C 232T x y xy =⋅⋅-=-'，
因此3xy z 项的系数为：()1032320⨯-=-， 故选：A.
4．已知圆2250x y m ++-=上至多有两个点到直线3450x y +-=的距离等于1，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（5，7] B ．（5，7）
C ．（5，9]
D ．（5，9）
【答案】D
【分析】由圆的方程求出圆心()0,0和半径r =()5m >，求出圆心到直线的距离d ，由题意可得1r d -<，解不等式即可得实数m 的取值范围. 【详解】由2250x y m ++-=可得225x y m +=-， 则50m ->即5m >，
所以圆心为()0,0，半径r =
圆心()0,0到直线3450x y +-=的距离1d =
=，
因为圆上至多有两个点到直线3450x y +-=的距离等于1，
11<，即02<，解得：59m <<， 所以实数m 的取值范围是()5,9. 故选：D .
5．如图，ABCD EFGH -是棱长为1的正方体，若P ∈平面BDE ，且满足11242AP AB AD AE λλ⎛⎫
=
++- ⎪⎝⎭
，则P 到AB 的距离为（ ）
A ．
34
B ．
32
C ．
54
D ．52
【答案】C
【分析】先利用平面EBD 的法向量求出点111,,424P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再计算点到直线的距离.
【详解】如图，以点A 为原点，,,AB AD AE 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系A BDE -，
()0,0,0A ()1,0,0B ()0,1,0D ()0,0,1E ,
则()()()11111,0,020,1,00,0,1,2,4242AP λλλλ⎛⎫⎛⎫=
++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则11,2,42P λλ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,11,2,42EP λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,1EB =-，()1,1,0DB =-，
设平面EBD 的一个法向量(),,n x y z =，
则0
n EB x z n DB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n =，且EP ⊂面EBD ， 则EP n ⊥，即112042EP n λλ⎛⎫⋅=
++--= ⎪⎝⎭，得14λ=，故111,,424P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以()1,0,0AB =，111,,424AP ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
164
cos 111116416
AB AP
PAB AB AP ⋅∠===⋅⨯++
2
630sin 16PAB ⎛⎫∠=- ⎪ ⎪⎝⎭，
P 到AB
的距离为sin AP PAB ⋅∠==
. 故选：C
6．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点的直线与两条渐近线分
别交于点,A B （其中点A 在第一象限），满足1290F AF ∠=，且13F B BA
=，则C 的离心率为（ ） A ．
B ．6 C
．5+D ．【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出,A B 两点坐标,再应用B 在渐近线上,计算即可 【详解】由双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得渐近线方程为b y x a
=±，222+=a b c ，
因为1290F AF ∠=,所以A 在以12F F 为直径的圆上,且A （点A 在第一象限）在渐近线上,
联立222b y x
a x y c ⎧
=⎪⎨
⎪+=⎩,解得y b x a =⎧⎨=⎩,可得(),A a b ,()1,0F c -,设(),B B B x y 又因为13F B BA =,()1,B B F B x c y =+,()33,B B a x b B y A =--
所以()()33B B B B x c a x y b y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得34
34B B a c x b
y -⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
,又因为(),B B B x y 在渐近线b y x a =-上, 所以
3344b b a c a -=-⨯,即得33a a c =-+,则离心率6c
e a
== 故选:B .
7．定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ） A ．20 B ．56 C ．84 D ．120
【答案】C
【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可.
【详解】因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数,所以按首位数字分别计算 当首位数字为7,则剩余三位数分别是0,0,0,共有1个幸运数; 当首位数字为6,则剩余三位数分别是1,0,0,共有3个幸运数;
当首位数字为5,则剩余三位数分别是1,1,02,0,0；
,共有3+3=6个幸运数; 当首位数字为4,则剩余三位数分别是2,1,03,0,01,1,1；
；,共有3
3A 3+1=10+个幸运数; 当首位数字为3,则剩余三位数分别是3,1,0,0,01
,1,2;2,2,0；4；,共有3
3A 3+3+3=15+个幸运数; 当首位数字为2,则剩余三位数分别是4,1,0,0,01,1,3;3,2,0;2,2,1
；5；,共有33
33A 3+3+A +3=21+个幸运数;
当首位数字为1,则剩余三位数分别是5,1,0,0,01,1,4;4,2,0;3,2,1
;3,3,0;2,2,2；6；,共有333
333A 3+3+A +A 3+1=28++个幸运数;
则共有1+3+6+10+15+21+28=84个幸运数; 故选:C .
8．空间四边形ABCD 边长为AC BD 、的长为E F 、为AB CD 、的中点，则异面直线BF 与CE 所成角的余弦值为（ ） A ．59
B ．58
C ．79
D ．78
【答案】C
【分析】由题知112
2
BF AD AC AB =+-，12
CE AB AC =-，进而根据向量夹角求解即可.
【详解】解：因为空间四边形ABCD 边长为AC BD 、的长为
所以AC BD ==AB BC CD AD ==== 所以222202084
cos 2405
AB AD BD BAD AB AD +-+-∠=
==⋅⋅，
222cos
2AB AC BC BAC AB AC +-∠==
⋅⋅
222cos
210AD AC CD DAC AD AC +-∠===⋅⋅
因为E F 、为AB CD 、的中点，
所以，1122
BF AF AB AD AC AB =-=+-，1
2
CE AE AC AB AC =-=
- 所以1112
2
2
BF CE AD AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫
⋅=+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2211111
42422
AB AD AD AC AB AC AC AB AB AC =
⋅-⋅+⋅--+⋅
1411
4104524=⨯-⨯⨯-+ 42141047=-+--+=-
因为2
2
2221111122442BF AD AC AB AD AC AB AD AC AD AB AB AC ⎛⎫
=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭
14
522025=+++⨯--522021649=+++--=，即3BF =，
2
2
2211584924CE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫
=-=+-⋅=+-= ⎪⎝⎭
，即3CE =，
所以，77
cos 339
,CE BF CE BF CE BF
⋅⋅-=
=
=-⨯， 所以，异面直线BF 与CE 所成角的余弦值为7
9
故选：Ｃ
二、多选题
9．在二项式6
2x x ⎛
⎝展开式中，下列说法正确的是（ ）
A ．第三项的二项式系数为20
B ．所有项的二项式系数之和为64
C ．有理项共有4项
D ．常数项为第五项
【答案】BCD
【分析】先写出二项式展开式的通项公式,再逐个判断选项即可.
【详解】二项式6
2x x ⎛ ⎝展开式通项公式为()3
6662166C 2C 2r
r r r r r r T x x x ---+==, 对于A :第三项的二项式系数为2
6C 15=,故A 错误;
对于B :所有项的二项式系数之和为6264=,故B 正确; 对于C :展开式中当0,2,4,6r =时,共有4项有理项,故C 正确;
对于D :当展开式通项为常数项时, 366216C 2r
r r r T x --+=,令3602
r -=,
则4r =,则常数项为第五项,故D 正确. 故选: BCD
10．一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ，
平面α与圆柱的轴所成角大小为02πθθ⎛
⎫<< ⎪⎝⎭
，则下列对椭圆E 的描述中，正确的是（ ）
A ．短轴长为2r
B ．长轴长为
2cos r
θ
C ．焦距为2r tan θ
D ．离心率为cosθ
【答案】AD
【分析】由题设可得短轴长22b r =，平面α与圆柱的轴所成角大小为02πθθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭长轴长22sin r a θ=，
进而求出焦距、离心率即可.
【详解】由题意，椭圆短轴长22b r =，平面α与圆柱的轴所成角大小为02πθθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭,而长轴长随θ
变大而变短且22sin r
a θ
=，
所以22
tan r c a b θ
=-=，焦距为22tan r c θ=，故tan =cos sin r c e r a θθθ==，
综上，A 、D 正确，B 、C 错误. 故选：AD .
11．已知动圆C ：()(
)
[22
2cos 12sin 2,0,2π]x y αα
α++-=∈，P 为直线l ：5x y +=上一个动点，
过点P 作圆C 的两条切线，切点为A 、B ，则（ ） A ．圆C 恒过定点()1,0-；
B ．圆
C 在运动过程中所经过的区域的面积为8π；
C ．四边形P ACB 的面积的取值范围为23,215⎡⎤⎣⎦
D ．当CP l ⊥时，APB ∠的正弦值的取值范围为153⎡⎢⎣⎦
【答案】ABD
【分析】分析可得动圆的圆心21,2sin C αα，半径2r =C 在以圆心()11,0C -，半径12
r 的圆上. 对A ，由1
CC r 可判断；
对B ，圆C 在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心()11,0C -，半径为1r r 的圆的面积； 对C ，四边形P ACB 的面积2
21
22
S
PA r r PC
r ，分析PC 的范围即可求；
对D ，由倍角公式及几何关系可得2
sin 2
2PC
PA r
APB r
PC PC
PC
PC 的范围结合换
元法即可求.
【详解】动圆的圆心1,2sin C
αα，半径r =
令1
x y αα
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，则由()2212x y ++=得C 在以圆心()11,0C -，半径1r =的圆上. 对A ，由1
CC r 得圆C 恒过定点()1,0-，A 对；
对B ，圆C 在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心()11,0C -，半径为1r r 的圆的面积，即(2
π8π=，B 对；
对C ，过点P 做圆C 的两条切线，切点为A 、B ，则PA PB =，则四边形P ACB 的面积2
21
22
S
PA r r PC
r ，
当1PC l 时，1052
222
PC
最短，故22,
PC
，故2
223,S r PC
r ，
C 错；
对D ，sin sin 22sin cos 2
2PC
PA r
APB APC APC APC r
PC
PC
PC
∵CP l ⊥，由C 得，32
2,32
2
22,42PC
，
令2
2
6,30t PC
r
，则2
2
2
2
2PC
t
r
t
，则22
2
22222222
r t t PC
t t
，
∵2
y t t =+在
)
+∞153,2
82t t
，D 对.
故选：ABD
12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，O 为坐标原点，则（ ） A ．∠AOB 一定为钝角
B ．若4||AF BF =，则直线AB 的斜率为3
4
C ．若点M 在x 轴上点F 右侧，()4,4A ，180AOB AMB ∠+∠=，则27,04M ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2||AF BF +的最小值为322+ 【答案】AD
【分析】设直线AB 的方程为1x my =+，利用设而不求法确定点,A B 的坐标关系，计算,OA OB 的夹角，判断A ；结合抛物线的定义求直线AB 的斜率判断B ；结合设而不求法证明AOB ∠为直角，由此列方程求点M 的坐标；结合抛物线定义表示2||AF BF +，利用基本不等式求其最小值. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线方程为=1x -， 当直线AB 的斜率为0时，直线AB 与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾， 故可设直线AB 的方程为1x my =+，
对于选项A ， 联立241y x
x my ⎧=⎨=+⎩，消x ，得2440y my --=，
方程2440y my --=的判别式216160m ∆=+>，
设()()1122,,,A x y B x y ，120,0y y ><，则12124,4y y m y y +==-，
22
12
12144
y y x x =⋅=，
所以12120OA OB x x y y ⋅=+<，所以cos ,0OA OB <， 即∠AOB 一定为钝角，A 正确；
对于选项B ，因为4||AF BF =，所以124y y =-，又124y y =-，120,0y y ><，
则211,4y y =-=，又22
11224,4y x y x ==，
故121,44x x ==，所以()14,4,,14A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以直线直线AB 的斜率为43，B 错误；
对于选项C ，因为()4,4A ，所以1,14B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以55,4AF BF ==，
因为180AOB AMB ∠+∠=，所以,,,O B M A 四点共圆， 故,BMF OAF AOF MBF ∠=∠∠=，所以BMF
OAF ，所以BF AF OF MF ⋅=⋅，故25
4
MF =
，所以点M 的坐标为29,04⎛⎫
⎪⎝⎭
，C 错误；
对于选项D ，因为1121,22
p p AF x x BF x =+
=+=+， 所以122||23AF BF x x +=++，121=x x ，故12122||23223322AF BF x x x x +=++≥=+仅当122x x =时等号成立，
由122x x =，121=x x 可得12x =，22
x = 所以当12x 22
2
x =2||AF BF +取最小值，最小值为322+D 正确； 故选：AD.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
三、填空题
13．已知34101011C C C n
+=，则n =___________.
【答案】4或7
【分析】由组合数的性质可求得n 的值.
【详解】由组合数的性质可得344
11101011C C C C n =+=，故4n =或7.
故答案为：4或7.
14．已知圆221:4230C x y x y +--+=与圆222:8670C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的公切线方程是___________. 【答案】10x y +-=
【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程.
【详解】圆22
1:4230C x y x y +--+=，即()()22
212x y -+-=，圆心为()12,1C
，半径1r 圆22
2:8670C x y x y +--+=，即()()22
4316x y -+-=，圆心为()24,3C
，半径2r =
圆心角1212C C r r +，所以两圆外切，
由2222
42308670x y x y x y x y ⎧+--+=⎨+--+=⎩
解得10x y =⎧⎨=⎩， 所以两圆切点的坐标为()1,0， 1231
142
C C k -=
=-，所以公切线的斜率为1-， 所以公切线的方程为()11y x =--，即10x y +-= 故答案为：10x y +-=
15．把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________. 【答案】1560
【分析】分两种情况：一人3本，三人1本和两人2本，两人1本，先分成4堆，然后再分给甲乙丙丁4个人.
【详解】若有一人3本，三人1本，有34
64C A 480=种分配方法；
若有两人2本，两人1本，有224
64422
C C A 1080A =种分配方法；
则共有10804801560+=种分配方法. 故答案为：1560
16．设点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ）.定义P ，Q 两点的“直角距离”为()1212,d P Q x x y y =-+-已知点A 和点B 分别为直线:28l y x =+与椭圆2
2:14
x C y +=上两个动点，则d （A ，B ）的最小值为
___________.
【答案】4【分析】根据新定义，利用参数法，表示出椭圆2
214
x y +=上一点B 与直线:28l y x =+上一点A 的“直
角距离”，然后分类讨论求出最小值．
【详解】设直线:28l y x =+上的任意一点坐标(),28x x +， 椭圆2
214
x y +=上任意一点的坐标为()2cos ,sin θθ
由题意可知2cos 28sin d x x θθ=-++-sin 7sin 22cos 2,
4,2cos 4222
θθ
θθ-≤≤-≤-∴>- 分类讨论： ①2cos x θ≥，
2cos 28sin 382cos sin 84cos 4sin d x x x θθθθθθ=-++-=+--≥+-
(
)88θϕ=+≥
②
sin 42cos 2
x θ
θ-<<
(
)2sin 2cos 28sin 82cos sin 482cos sin 2
sin 42cos 442d x x x θ
θθθθθθθθθφ=-++-=++->-++-=+-
=+≥
4d ∴>③sin 42
x θ
≤
-， ()()1
2cos 28sin 382cos sin 1282cos sin 2
d x x x θθθθθθ
=--++-=-+--≥-+
-(
)144θφ=+≥∴椭圆2214x y +=上一点B 与直线:28l y x =+上一点A 的“直角距离”
的最小值为4．
故答案为：4
四、解答题
17．已知ABC 中，点()1,5A -，AC 边上中线所在直线1l 的方程为8120x y +-=，AB 边上的高线所在直线2l 的方程为360x y -+=. (1)求点B 和点C 的坐标：
(2)以()1,0M 为圆心作一个圆，使得A 、B 、C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 【答案】(1)()2,4B -，()3,3C
(2)()2
2117x y -+=
【分析】（1）求出直线AB 的方程，联立直线AB 和直线1l 的方程可求得点B 的坐标，设点(),C m n ，根据点C 在直线2l 上以及线段AC 的中点在1l 上可得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点C 的坐标；
（2）计算出AM 、BM 、CM ，比较大小后可得出圆M 的半径，即可得出圆M 的方程. 【详解】（1）解：因为AB 边上的高线所在直线2l 的方程为360x y -+=， 且直线2l 的斜率为1
3
，则3AB
k =-，故直线AB 的方程为()531y x -=-+，即320x y +-=，
联立直线AB 和直线1l 的方程可得320
8120x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得24x y =⎧⎨=-⎩，即点()2,4B -，
设点(),C m n ，则线段AC 的中点为15,2
2m n D -+⎛⎫
⎪⎝⎭， 由题意可得15
812022360m n m n -+⎧⨯+-=⎪⎨⎪-+=⎩，解得3m n ==，即点()3,3C . （2）解：因为()()
22
115029AM =--+-=，()()
22
214017BM =
-+--=，
()()
2
2
313013CM =
-+-=，则CM BM AM <<，
故圆M 的半径为17BM =，所以，圆M 的方程为()2
2117x y -+=.
18．如图，正方形ABCD 与梯形ABEF 所在平面互相垂直，已知12
//,,23
BE AF AB AF BE AF AB ⊥=
=.
(1)求证：//CE 平面ADF
(2)求平面ACE 与平面ADF 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 217
【分析】(1)应用线面平行判定定理证明即可. (2)空间向量法求面面角余弦值.
【详解】（1）取AF 中点O ,连接,OE OD ,因为1
//,2
BE AF BE AF AO =
=,所以四边形ABEO 是平行四边形,又因为四边形ABCD 是正方形,所以////,CD AB EO CD EO =,
所以四边形CDEO 是平行四边形,可得//,CE DO DO ⊂平面ADF ,CE ⊄平面ADF ,所以//CE 平面
ADF
（2）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB AD AB =⊥，，
AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，又AB AF ⊥，以A 为原点，AB ，AF ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.
设3AB =，则A （0，0，0），E （3，2，0），C （3，0，3） 取平面ADF 的一个法向量()1,0,0m =
设平面ACE 的一个法向量(),,n x y z =，则00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即320330x y x z +=⎧⎨+=⎩，
令2x =，则()2,3,2n =--
则2217
cos 1717
m n ⋅=
= 所以平面ACE 与平面ADF 所成的锐二面角的余弦值
217
17
.
19．设直线12:3,:3l y x l y x ==-，点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2OA OB ⋅=-（其中O 为坐标原点）.
(1)求AB 的中点T 的轨迹方程C ：
(2)是否存在直线:1l y kx =+满足直线l 与（1）中的曲线C 交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆经过曲线C 的右焦点？若存在，求出k ，若不存在，说明理由. 【答案】(1)2
2
13
y x -=
(2)存在，
1k =或11
7
k =-
【分析】(1)相关点法求轨迹方程即可;
(2)联立方程后用向量法转化直径问题,代入根与系数关系式求解即可. 【详解】（1）设A （1x
1），B （2x
，2），T （,x y ） 由2OA OB ⋅=-得121212232x x x x x x -=-=-，得121=x x
因为122x x x y +=
=，
，得12
122x x x y x x =+=- 所以()()(
)2
2
2
2
121212442x x x x x x x y ⎫
==+--=-⎪⎭
化简得2
2
13
y x -=. （2）联立直线方程与曲线方程2
21
13y kx y x =+⎧⎪
⎨-=⎪
⎩
化简得()2
2
3240k
x
kx ---=
由230k -≠且0∆>得2<<2k -
且k ≠设M （x 1，1y ），N （2x ，2y ），则1212
22
24
33，k x x x x k k -+=
=-- 曲线C 的右焦点()2,0F ,由已知以MN 为直径的圆过右焦点可得
()()1212022FM FN x x y y =⋅=--+
()()()()12122211x x kx kx =--+++
()
()()21212125k x x k x x =++-++ (
)()22
2
421
2533k
k k k k
-=++-+--
化简得274110k k +-=，解得11
7
k =-
或1k =，均符合2<<2k -
且k ≠
所以存在，1k =或117
k =-
. 20．如图，在平面ABCD 中，△ABD 为正三角形，△BCD 为直角三角形，且22BC CD ==，以BD 为折痕把△ABD 和△CBD 向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置，且满足平面EBD ⊥平面FBD ．
(1)求证：EF BD ⊥；
(2)若AE 3=DF 与平面ABE 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； 26
.
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理即得； （2）建系，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）取BD 中点H ，连接EH ， FH ， 因为AB AD BC DC ==，，则EB ED FB FD ==，， 故EH BD FH BD ⊥⊥，， 因为EH
FH H =，EH ，FH ⊂平面EFH ，
所以BD ⊥平面EFH ， 因为EF ⊂平面EFH ， 所以BD EF ⊥；
（2）因为△BCD 为直角三角形，且22BC CD == 所以4BD =，又因为△EBD 为等边三角形， 所以23AH EH ==△AEH 为等边三角形， 取点O 为AH 中点，则AH EO ⊥， ∵,EB ED AB AD ==， 则,EH BD AH BD ⊥⊥，又EH
AH H =，,EH AH ⊂平面AEH ，
∴BD ⊥平面AEH ，即,,,A E F H 四点共面， 又∵EO ⊂平面AEH ，
所以BD EO ⊥，又BD AH H ⋂=，,BD AH ⊂平面ABD ， 所以EO ⊥平面ABD ，
过点O 作OM //BD 交AD 于点M ，则AH OM ⊥，
以O 为坐标原点，OM 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()()
3,0,2,3,0,0,0,3,2,3,0,0,23,1A B E D F ----， 可得()()(
)
2,23,0,2,3,3,2,3,1BA BE DF ===-，
设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，则2230
2330
BA m x y BE m x z ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=++=⎪⎩, 令3x =，则3,1y z =-=-，得()
3,3,1m =-- ∵26
cos ,431931
DF m DF m DF m
⋅<>=
=
=++++，
所以直线DF 与平面ABE 26. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴顶点为0,,0,A b B b ，短轴长是42
直线:6l y kx =-与椭圆C 交于1122,,,P x y Q x y 两点，其中12y y <. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若//BP OQ （其中O 为坐标原点），求k ： (3)证明：
AQ BP
k k 是定值.
【答案】(1)
2
2
18
4
x y +
=
(2)52
±
(3)证明见解析
【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a 、b 即可； （2）由//BP OQ 分析得
32
EQ EP =，即213
2x x =，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k ；
（3）直接由斜率公式化简求值即可.
【详解】（1）短轴长242b b =⇒=
，离心率是c
e a a
=
==⇒=∴椭圆C 的方程为2
2
18
4
x y +
=.
（2）直线l 交y 轴于()0,6E -，因为//BP OQ ，则
32
EQ EO EP EB ==，所以2132x x =，
联立直线方程与椭圆方程得()
22
2124640k x kx +-+=，由0∆>得2k >或2k <-，
由韦达定理得12122
22464
2121
k x x x x k k ，+==++， 把213
2x x =
代入上式得12524221k x k =+①，212364221
x k =+②， 2①②
得2425k =，解得52k =±，符合2k >或2k <-，所以52k =±.
（3）证明：由韦达定理得()12122
648
213
k kx x x x k ，==++ 221212112112212(2)8224AQ BP
y k x x y kx x x y k x y kx x x x （）---===++-12112
122128168
()83332884()4333
x x x x x x x x x x +--+===-+-- 22．已知抛物线2:6C y x =，点3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线C 上，直线:l y x m =-+在点3,32A ⎛⎫
⎪⎝⎭下方，直线l
与抛物线C 交于B ，C 两点.
(1)证明：ABC 内切圆的圆心在定直线上： (2)求ABC 面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由,AC AB 的对称性,内切圆圆心在定直线上可证; (2)先写出三角形面积再应用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）联立直线与抛物线方程得()22
260x m x m -++=
则()2
226424360m m m ∆=+-=+>得32
m >-.
设B （1x ，1y ），C （2x ，2y ），则由韦达定理得2
121226x x m x x m +=+=，，则
12122212123333
3333226262
AB AC y y y y k k y y x x ----+=
+=+----
()()()
1212126666
3333y y y y y y ++=
+=++++ ()()()
1212662033m x x y y ⎡⎤+-+⎣
⎦==++ 则BAC ∠的角平分线为32x =，则△ABC 内切圆的圆心在定直线3
2
x =上.. （2
）
12BC x =-==点A 到直线BC
的距离为d =
12ABC
S
BC d m =
⋅=
=
≤当且仅当9232m m +=
-，即1
2
m =，等号成立
ABC 面积的最大值为。