黑龙江省哈六中2019届高三第一次模拟考试(数学文)

哈尔滨市第六中学2019届高三第一次模拟考试
数学（文史类）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知{{}
,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P Q （ ）
A.∅
B.
{}0 C. {}1,0-
D. {-
2．设i 是虚数单位，复数
12ai
i
+-为纯虚数，则实数a 为 （ ） A. 12- B. 2- C. 1
2
D.2
3．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.长方体
1
111A B C D A B C D
-
的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其
中1::AB AD AA =O ABCD -的体积为（ ）
C.3 5．数列
{}{},n n a b 满足*1
1111,2,n n n n
b a b a a n N b ++==-=
=∈，则数列{}
n a b 的前10项和为（ ） A.
()94413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()101
413
- 6．下列说法中，正确的是 （ ）
A. 命题“若a b <，则2
2
am bm <”的否命题是假命题.
B.设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则""l β⊥是 ""αβ⊥ 成立的充分不必要条件.
C.命题“2
,0x R x
x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-<”.
D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件. 7．已知圆2
2:12C x y +=，直线:4325l x y +=，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为
（ ） A ．
16
B ．13
C ．12
D ．
14
8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b += （ ）
4 D. 13
9．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为
，一个内角为60︒的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 （ ）
A. 4 D.8
10．曲线2
122
y x x =
--在点)2,0(-处的切线与直线02x y x ==+和所围成 的区域内（包括边界）有一动点(,)P x y ，若2z x y =-，则z 的取值范围是 （ ） A ．[-2，2]
B ．[-2，4]
C ．[-4，-2]
D ．[-4，2]
11.设双曲线22221x y a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线与抛物线2
1y x =+只有一个公共点，则双曲线的
离心率为 （ ）
A.
12．定义在R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其
中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.3
0.3
3
3,log 3log 3,a f b f π
π
=⋅=⋅
3311log log 99c f ⎛
⎫⎛
⎫=⋅
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ）
A. a b c >>
B. c b a >>
C. c a b >>
D. a c b >>
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13．已知等比数列
{}n a 中，364736,18.a a a a +=+=若12
n a =
， 则n = .
14．如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 15．在ABC ∆中，D 为BC 中点，5,3,,,AB AC AB AD AC ==成
等比数列，则ABC ∆的面积为 . 16．给出下列四个命题：
①若ABC ∆三边为c b a ,,，面积为S ,内切圆的半径c
b a S
r ++=2，则
由类比推理知四面体ABCD 的内切球半径4
3213S S S S V
R
+++=
(其中，V 为四面体的体积，4321,,,S S S S 为四个面的面积)；
②若回归直线的斜率估计值是23.1，样本点的中心为)5,4(,则回归直线方程是08.023.1+=∧
x y ； ③若偶函数()()f x x R ∈满足(2)()f x f x +=，且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =
有3个根． ④若圆02:221
=++x y x C ，圆012:222=-++y y x C ，则这两个圆恰有2条公切线．
其中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填写在答题纸相应位置上．
17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
2
1
cos cos sin 32=
-C C C ，且3=c （1）求角C ；
（2）若向量)sin ,1(A =与)sin ,2(B =共线，求a 、b 的值．
18．（本小题满分12分）某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了
一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
（2）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取
2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．
19．（本小题满分12分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是BC PC PD ,,的中点． （1）求平面EFG ⊥平面PAD ；
（2）若M 是线段CD 上一动点，试判断三棱锥EFG M -的体积是否为定值，
若是，求出该三棱锥的体积；若不是，请说明理由。

20．（本小题满分12分）已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a =
-++∈R ． （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；
21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x
轴垂直，直线)(0)21()21()2(R k k y k x k ∈=+++--所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭
圆的离心率2
3
=e
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，x PH ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得PQ HP =，连接AQ 并延长交直线l 于点
M ，N 为MB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的
位置关系．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，AD 、BC 相交于E 点，F
为CE 上一点，且EF DE =2
·EC
（1） 求证：EDF P ∠=∠； （2） 求证：CE ·EB =EF ·EP ．
23．已知曲线1C 的极坐标方程是2=ρ，曲线2C 的参数方程是θ
ππθθ],2,6[,0(21sin 2,
1∈>⎪⎩
⎪
⎨⎧+==t t y x 是参数）．
（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
322)(++-=x x x f
（1） 解不等式6)(>x f ； （2） 若关于x 的不等式12)(-≤a x f 的解集不是空集，求a 得取值范围．
高三文科数学答案
一、选择题
二、填空题
13.9 14.2550 15.14 16. ① ② ④ 三、解答题
17解：（1）2
1
cos cos sin 32
=
-C C C 12cos 212sin 23=-∴
C C ，即sin(2)16C π
-=，π<<C 0 ，
262
C π
π
∴-
=
，解得3
π
=
C ……5分
（2）n m 与 共线，0sin 2sin =-∴A B 。

由正弦定理
B
b
A a sin sin =，得a b 2=，①……8分 3=c ，由余弦定理，得3
cos
2922π
ab b a -+=，②
联立方程①②，得⎪⎩⎪⎨⎧==3
23
b a ……12分
18解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.3
0.065
=．频率直方图如下：
-----2分
第一组的人数为
1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以200
10000.2
n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以
195
0.65300
p =
=． -----------4分 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.46a =⨯=． ------6分
（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低
碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人． -------8分
设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；
其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种． -----10分
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为8
15
P =
．-----12分 19．（I ）证明：CD PD CD AD ⊥⊥, ，
∴⊥CD 平面PAD ， ……… ∵EF //CD ，∴⊥EF 平面PAD ，
∵⊂EF 平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面P AD ； （6分） （II ）解：∵CD //EF ，∴CD //平面EFG ，故CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于D 到平面EFG 的距离，(8分) ∴EFG D EFG M V V --=，22
1
=⨯⨯=
∆EH EF S EFG ， 平面EFGH ⊥平面P AD 于EH ，
∴D 到平面EFG 的距离即三角形EHD 的高,等于3(10分) ∴3
3
2=
-EFG M V ．12分 20． 解：2
()(21)f x ax a x
'=-++
(0)x >． ---------2分
（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得2
3
a =． ---------4分 （Ⅱ）(1)(2)
()ax x f x x
--'=
(0)x >． ---------6分
①当0a ≤时，0x >，10ax -<，
在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)， 单调递减区间是(2,)+∞． ---------8分
②当102a <<
时，1
2a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1
(2,)a
上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1
(,)a
+∞，
单调递减区间是1
(2,)a
． --------10分
③当12a =时，2
(2)()2x f x x
-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． ---------11分
④当12a >
时，1
02a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1
(,2)a
上()0f x '<，-----------12分
21．解：（1）将0)21()21()2(=+++--k y k x k 整理得012)22(=+-++--y x k y x ，解方程
组⎩
⎨⎧=+-=+--0120
22y x y x 得直线所经过的定点为1),1,0(=∴b 。

由离心率2
3
=e ，得2=a 。

∴椭圆的标准方程为 1422=+y x ……5分 （3） 设),(00y x P ，则142
02
0=+y x 。

PQ HP = ， )2,(00y x Q ∴，2)2(202
=+=∴y x OQ Q ∴点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上。

又∴-),0,2(A 直线l 的方程为)2(2200++=
x x y y 。

令2=x ，得)2
8,2(00
+x y M 。

又)0,2(B ，MB N 为的中点，)2
4,
2(00
+∴x y N )2
2,
2(),2,(00
0000+-==∴x y x x y x ，
)2()2(2
4)2(222)2(000002
000000000=-+-=++-=+⋅+-=⋅∴x x x x x y x x x x y x y x x ∴⊥∴,NQ OQ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切……12分
22．证明：（1）EC EF DE ⋅=2
，ED EF CE DE ::=∴。

DEF ∠ 是公共角，DEF ∴∆相似
于CED ∆，EDF C ∴∠=∠,//,CD AP C P ∴∠=∠.P EDF ∴∠=∠……5分.
(2)
,P EDF DEF PEA ∠=∠∠=∠,DEF ∴∆相似PEA ∆,::,DE PE EF EA ∴=即
EF ·DE EP =·EA .
弦,AD BC 相交于点E ,DE ∴·CE EA =·EB .CE ·EF EB =·EP . ,……10分
23． 解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是22
2
=+y x ， 曲线2C 的普通方程是)2
1
221(1+≤≤+
=t y t x …………5分 （2）当且仅当⎪⎩
⎪
⎨⎧<+>⎪⎩⎪⎨⎧>+>121
20
1210t t t t 或时，1C ，2C 没有公共点， 解得2
1
410><
<t t 或……10分 24． 解：（1）由12≤-m x ，得
2
1
21+≤≤-m x m 。

不等式的整数解为2，∴
2
1
221+≤≤-m m ⇒53≤≤m ，又不等式仅有一个整数解，4=∴m 。

……5分 (2)即解不等式431≥-+-x x
当1≤x 时，不等式为431≥-+-x x ,0≤⇒x 不等式的解集为{}
0≤x x ； 当31≤<x 时，不等式为431≥-+-x x ,φ∈⇒x 不等式的解集为φ； 当3>x 时，不等式为431≥-+-x x ,4≥⇒x 不等式的解集为{}
4≥x x ， 综上，不等式的解集为),4[]0,(+∞-∞ ……10分。