辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.3圆锥曲线的参数方程导学案(无答案)新人教B版选修4_4
辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.2直线和圆的参数方程(二)导学案(无答案)新人教B版选修4-4
2.2直线和圆的参数方程（二）一、学习目标及学法指导1.学习目标：掌握圆的参数方程，并能灵活应用它解题2.重、难、考点：圆的参数方程二、预习案自主学习：预习教材39-40页并完成下列问题1.踱心在原点、半径为R的圆的参数方程为___________ ・2 .圆心在点半径为R妁圆的参数方程为3._____________________________________________________ 圆心在点（-1,2 ）半径为3』勺圆的参数方程为_____________________________三、课中案典例分析：例1「"2 . - ■—- 一 J、：.■•—：值利最小值.变式探究川舟-1 u、P.标为（44） I点A在圆护+y =上移动「冃?W.AD两边分别平行干疋轴廿轴•求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标.例2■ I id忌冷为Q的轨迹(其中^>o>・(l}Q(jr + y.H — y)：(2)Q(jr+y*^h变式探究△AHC是圆J =/的内援三角形山〔片为为定点,ZfiAC = tO fl.求△品匚的直心G的轨迹*曲 c=* costf例3- .. .\y- 1 + sioff求实数武的瞰值范围.变式探究经过点A（—3, —寻）•傾斜角为立的直线丄勺圆= 2D相交于A旧两点.<1）«弦氐的长^（对当Afft为BC®申.点时，求直级BC的方裡；（3）当｛BC I- 8时’班直线BC的方程，U）为d变优时•求动題BC的中点M的轨逝.四•课堂检测1 .圆(x-i)a+y - 4±的点可以表示为( )A.〔一】+ cOstf^inZ?) B (1 + sin^,£Os^C. (—1 —2cos^*2sin5) D* (1 + 2co?^»2sin/?)『jr = 2 + co&a氏若足囲线( ^ -"为参数)上任意一点，则i y ■ sina "一1(x-5)J-Fty+S)2的最大值为( )A. 36B. 6C. 26D. 25久根据所给条杵化专程分=4/ —5/Q =U为参数方程* 则参数方程为4■设PC TQ）是圖必+V =幼上的动点・CO求触十y的取值范围辛【2〉若x + y + c>Offl®立，求实数疋的取值范围.x 1 t 2 25.设直线的参数方程为，求它与圆x2 y 4的交点y 1 t五.课后案盂=00讯（心対参ft> ±的点到商坐标轴的距离之和y — sin^的最大值为（）九寺K y c. 1 a 72工=4+学比已知直线“丿为参敎）和圖6j I . y n —4 + 亍hfx = 2 + 2 屈 oM J"为鑫数儿则直线I 勺圆C 的位輦关[y =—2+ 272sintf系足（>A.相交但不过園应 &相交且过10心C. fflffiD.相切£_! = ■!；* | t * 8 减3-已知曲线的會数方釋为|.，分别LU 和8为= >0 + /・或n 目鑫数时，方程表不两条不同的曲线’则临陶条曲线公共点的 个数是（ ）A. 0B. 1C2Dd 或 2大值是5「衽直角坐标系 My 中，LSftl 曲线C 的塞數方程是极轴，则曲线C 的极塑标方程可写为 _________fX =盡 + 3伉在平面直角坐标系 6 中，直线I 的参效方程为y = 3-J 土 工 w 2co^?（#®t€ Rh 圆C 的参数方程为\y = 2sirtf+2：.0,2n ））,则圆C 的圆心坐标为心到直线/的距离为 _______7.已知/ + # = 1,且y AS 求x + y 的最大值和暈小值.4*已知0为參数，卿点M<3,2>到曲线F x = cosO（ 的距离的最估是参数儿若以。
高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程导学案新人教A版选修4-4
二 圆锥曲线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学一、椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ为参数，且0≤θ<2π）. (2)椭圆2222a y b x +=1(b>a>0)的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos a y b x (θ为参数,且0≤θ<2π). 以(x 0，y 0)为中心，半长轴为a ，半短轴为b ，焦点连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00b y y a x x （θ是参数）. 方法点拨 在利用⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos θ,bsin θ).二、双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：(1)双曲线2222b y a x -=1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x （φ为参数）； (2)双曲线2222a y b x -=1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec a y b x （φ为参数）. 以(x 0，y 0)为中心，半实轴为a ，半虚轴为b ，焦点连线平行于x 轴的双曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθtan ,sec 00b y y a x x (θ为参数，0≤θ<2π，θ≠2π,23π). 方法点拨 在利用⎩⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x 研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asec φ,btan φ).三、抛物线的参数方程顶点在坐标原点的抛物线参数方程：抛物线y 2=2px(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R ), 其中参数t 可视为该抛物线y 2=2px(p>0)上任一点P 与抛物线顶点O 所连直线OP 的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=yx .以(x 0，y 0)为顶点，焦参数为p ，对称轴平行于x 轴的抛物线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=pty y pt x x 2,2020（t 是参数）,其中参数t 是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数.辨析比较 抛物线y 2=-2px(p>0)的参数方程：x=⎩⎨⎧=-=pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R )； 抛物线x 2=2py(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R )；抛物线x 2=-2py(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧=-=pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R ). 问题·探究问题 1 举一些现实生活中的例子,说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点，圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用?探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹.在军事上，当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究.问题2 在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?探究：会.例如:椭圆2222b y a x +=1的参数方程可以是x=⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x 的形式，也可以是⎩⎨⎧==θθsin ,sin b y a x 的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.典题·热题例1已知A 、B 分别是椭圆93622y x +=1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.思路分析：本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的(x 1,y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cos θ,3sin θ)的形式，从而予以求解.图2-2-1解：由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ,3sin θ).点G 的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).由重心坐标公式,可知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=,sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x 由此消去θ,得到4)24(2-+(y-1)2=1即为所求. 深化升华 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例2实数x 、y 满足9)2(16)1(22++-y x =1，试求x-y 的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.思路分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y 的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决. 解：由已知可设⎩⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-.2sin 3,1cos 4,sin 32,cos 41θθθθy x y x 即则x-y=(4cos θ+1)-(3sin θ-2)=(4cos θ-3sin θ)+3=5cos(θ+α)+3，其中cos α=54,sin α=53.当cos(θ+α)=1,即θ+α=2k π,k∈Z 时， cos θ=cos(2k π-α)=cos α=54，sin θ=sin(2k π-α)=-sin α=53-. ∴x=4×54+1=521,y=3×(53-)-2=519-时，x-y 的最大值为8. 同理,当x=511-,y=51-时，x-y 的最小值为-2. 误区警示 本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值.例3点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动，点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动，求PQ 的最大值与最小值，及相应的点Q 的坐标.思路分析：点P 与点Q 都是动点，PQ 的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P 在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ 转化为求圆心O′与Q 的距离.点Q 在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P 的坐标.解：设Q(2cos α,sin α),O′(0,2),则O′Q 2=(2cos α)2+(sin α-2)2=4cos 2α+sin 2α-4sin α+4=-3(sin α+32)2+8+34， 故当sin α=32-时，O′Q 2取最大值为328，此时，O′Q=3212. 当sin α=1时，O′Q 2取最小值为1，此时，O′Q=1. 又圆的半径为21，故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212. P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21.PQ 取最大值时，sin α=32-,cos α=35941±=-±， Q 的坐标为(32,352-)或(352-,32-)；PQ 取最小值时，sin α=1,cos α=0，点Q 的坐标为(0,1).深化升华 本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例4设P 是椭圆43622y x +=1在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标.思路分析：由于P 是椭圆43622y x +=1在第一象限部分的弧AB 上的一动点，因此四边形OAPB 的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.解：∵点P 是椭圆43622y x +=1在第一象限部分的弧AB 上的一点, ∴设P(6cos θ,2sin θ),θ∈(0,2π)(图略). 法一:直线AB 方程为26y x +=1,即x+3y-6=0.欲使S OAPB 最大,只需P 到AB 的距离最大. ∵d P-AB =10|1)4sin(2|610|6sin 6cos 6|-+=-+πθθθθ∈(0,2π), ∴2sin(θ+4π)>0.∴当θ=4π时,d max =10)12(6-. ∴(S △APB )max =10)12(643621-+=6(2-1).∴(S OAPB )max =21·6·2+6(2-1)=26. 法二:S OAPB =S △POA +S △POB =21·2·6cos θ+21·6·2sin θ =6(sin θ+cos θ)=26sin(θ+4π),θ∈(0,2π), ∴当θ=4π时,(S OAPB )max =26,此时点P 的坐标为(23,2). 拓展延伸 分析本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求S △POA +S △POB ，S OAPB 的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求S OAPB 的最大值.。
高中数学 第2讲 参数方程 2 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高中选修4-
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图221，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图221【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图222所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图222【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
辽宁省北票市高级中学人教版高中选修2-1数学导学案：2.2.1椭圆及标准方程(1) Word版缺答案
2.2.1椭圆及标准方程（1）一、 学习目标及学法指导1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．通过用简易工具画椭圆的图像掌握椭圆的定义；3．通过椭圆标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的两种形式．二、预习案※学习探究1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移3.思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？4.经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．新知１：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为；当0<122a F F <时，其轨迹为．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．新知２：椭圆的标准方程：（1）回顾求圆的标准方程的基本步骤建系→设点→建立等量关系→代入坐标→化简（2）如何建立坐标系可以使方程的形式简单？当焦点在x 轴上时：①建系：②设点：③建立关系式：根据椭圆的定义，知④代入坐标⑤化简指出：（1）比较,a b 的大小关系 a b 0（2）方程()222210x y a b a b+=>>叫做椭圆的标准方程，这里222c a b =- 思考：若焦点在y 轴上，椭圆的标准方程怎样建立？归纳：明确椭圆的两种标准方程的异同点（1）方程的右边都是1；（2）在两个方程中，总有0a b >>（3）,,a b c 的关系式（4）怎么由椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上？※焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：()222210x y a b a b+=>>其中222b a c =-※若焦点在y 轴上，两个焦点坐标，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：三、课中案1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)4,3a b ==,焦点在x 轴上(2)1,b c ==焦点在y 上2.已知椭圆的方程为22136100x y +=,则a =,b =,c =,焦点的坐标为焦距为,如果此椭圆上一点P 到焦点1F 的距离为8,则点P 到另一个焦点2F 的距离等于3.求下列椭圆的焦点坐标: (1)2219x y += (2)221312x y +=(3)2224x y +=(4)22169144x y +=四、课后案1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为 （ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹 2.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．4B ．14C ．12D ．83. 椭圆2214x y n +=的焦距为2，求n 的值．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3椭圆的简单几何性质二课堂导学案
2.2.3 椭圆的简单几何性质（二）课堂导学三点剖析一、椭圆的第二定义【例1】椭圆92522y x +=1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，求P 到右焦点的距离.解法一:如右图，设P 到左、右准线的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2=45022=c a =12.5. 又d 1=2.5，∴d 2=10. 又54||22==e d PF ， ∴|PF 2|=54·d 2=54×10=8. 解法二：由54||11==a c d PF 及d 1=2.5， 得|PF 1|=54·d 1=2. 又|PF 1|+|PF 2|=2a=10， ∴|PF 2|=10-|PF 1|=8. 温馨提示根据椭圆的第二定义，往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离. 二、焦半径【例2】 对于椭圆2222by a x +=1.（a ＞b ＞0）它的左、右焦点分别是F 1（-c ，0）和F 2（c ，0），P （x 0，y 0）是椭圆上的任一点，求证：|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0，其中e 是椭圆的离心率.证明:椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的两焦点：F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），相应的准线方程分别是：x=c a 2-和x=ca 2.∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率. ∴cax PF 201||+=e ，022||x c a PF -=e. 化简得：|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0.温馨提示|PF 1|、|PF 2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径.|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点. 三、利用椭圆第二定义求最值【例3】 已知定点A （-2，3），点F 为椭圆121622y x +=1的右焦点，点M 的椭圆上移动时，求|AM|+2|MF|的最小值，并求此时点M 的坐标.解:如右图，由椭圆方程，得a=4，b=23，c=2，∴e=21，右焦点F （2，0），右准线l ：x=8. 设点M 到右准线l 的距离为d ，则d MF ||=e=21，即|2MF|=d.∴|AM|+2|MF|=|AM|+d.由于A 在椭圆内，过A 作AK⊥l，K 为垂足，易证|AK|即为|AM|+d 的最小值，其值为8-（-2）=10.此时M 点纵坐标为3，得横坐标为23.∴|AM|+2|MF|的最小值为10，这时点M 的坐标为（23，3）.温馨提示（1）转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了.（2）本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线中也有类似问题，注意总结规律.各个击破类题演练 1在椭圆92522y x +=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析：设P 点的坐标为（x ，y ），F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点.∵椭圆的准线方程为x=±425， ∴x PF x PF -=+425||425||21.∵|PF 1|=2|PF 2|， ∴x PF x PF -=+425||425||221,∴x=1225. 把x=1225代入方程92522y x +=1，得y=±4119. 因此，P 点坐标为（1225，±4119）. 变式提升 1点M （x ，y ）与定点（3，0）的距离和它到直线l ：x=325的距离的比是常数53，求点M 的轨迹.解：设d 是点M 到直线l ：x=325的距离. 由题意：点M 的轨迹就是集合 P={M|d MF ||=53}. 由此得53|325|)3(22=-+-x y x .化简得16x 2+25y 2=400.即162522y x +=1. 所以点M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为10、8的椭圆. 类题演练 2设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过F 的弦，试判断以AB 为直径的圆与左准线的位置关系. 解：如下图，设M 为弦AB 的中点（即圆心），A′、B′、M′分别是A 、B 、M 在准线l 上的射影，由椭圆第二定义，得|AB|=|AF|+|BF|=e （|AA′|+|BB′|）.∵0＜e ＜1，∴|AB|＜|AA′|+|BB′|=2|MM′|， ∴2||AB ＜|MM′|， ∴以AB 为直径的圆与左准线相离.变式提升 2椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则当m 取得最大值时，点P 的坐标是（ ）A.（5，0）和（-5，0）B.（25，233）和（25，-233） C.（0，3）和（0，-3） D.（235，23）和（235-，23） 答案：C类题演练 3设P （x 0，y 0）是椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上任意一点，F 1为其左焦点.（1）求|PF 1|的最小值和最大值；（2）在椭圆52522y x +=1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直. 解：（1）对应于F 1的准线方程为x=c a 2-，根据椭圆的第二定义：cax PF 201||+=e ， ∴|PF 1|=a+ex 0.又-a≤x 0≤a. ∴当x 0=-a 时，|PF 1|min =a+ac（-a ）=a-c ； 当x 0=a 时，|PF 1|max =a+ac·a=a+c. （2）∵a 2=25，b 2=5，∴c 2=20，e 2=54.∵|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴（a+ex 0）2+（a-ex 0）2=4c 2.将数据代入得25+54x 02=40. ∴x 0=±235.代入椭圆方程得P 点的坐标为（235，25），（235，-25），（-235，25），（-235，-25）.变式提升 3椭圆4522y x +=1的右焦点为F ，设A （25-，3），P 是椭圆上一动点，则|AP|+5|PF|取最小值时，P 的坐标为（ ）A.（5，0）B.（0，2）C.（25，3） D.（0，-2）或（0，2） 答案：C。
辽宁省北票市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及标准方程2导学案无答案新人教B版选修1_1
2.1.1椭圆及标准方程（2）一、 学习目标及学法指导1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．二、预习案复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 __________________________ ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 ．提问: 椭圆的定义,椭圆的标准方程及如何判别椭圆的焦点在哪个轴上基础训练:1.已知方程22+=1410x y k k-- ⑴若方程表示焦点在x 轴的椭圆，则实数k 的取值范围⑵若方程表示焦点在y 轴的椭圆，则实数k 的取值范围 .2. 过椭圆22+=1259x y 的左焦点()1F 4,0-作直线l 交椭圆于A,B 两点，()2F 4,0是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长为三、课中案题型一 求椭圆的方程(基本量运算)例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 两焦点的坐标分别是()()4,0,4,0-,椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10;(2) 两个焦点分别是()()122,0,2,0F F -,且椭圆经过点53,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭分析: 可类比圆的方程的求法,先确定椭圆的标准方程的形式,用待定系数法求解 (椭圆有两种标准方程,要注意选择或分类讨论)变式(1) 椭圆的两个焦点的距离是8,椭圆上一点到两焦点的距离和等于10讨论: 方程类型是否确定,有几解?变式(2) 椭圆经过点35,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 思考: 此时类型不太明显,要不要分两种情况,如何设方程可避免讨论?得出: 可设方程()2210,0,x y m n m n m n+=>>≠练习:若椭圆的两焦点为()()124,0,4,0F F -,椭圆的弦AB 过21F ABF ∆，的周长20,求该椭圆的方程※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．题型二 求轨迹方程例210=指出它所表示的曲线例3已知B,C 是两个定点,BC=6,且C AB ∆周长等于16,求顶点A 的轨迹方程.分析: 合理建立坐标系,而建立坐标系是为了直接用标准方程,两种中选一种注意:例4已知定圆221:40C x y x ++=,圆222:4600C x y x +--=,动圆M 和定圆1C 外切和圆2C 内切,求动圆的圆心M 的轨迹方程例5在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例6设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．四、课后案1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？2求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．3.一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．4.“m >n >0”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.设集合{}1,2,3,4A =m n A ,,∈,则方程221y x m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的个数是 ( )A.6B.8C.12D.166.已知椭圆的标准方程为221(0)25y x m m +=>并且焦距为6,则实数m 的值为 .。
辽宁省北票市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质(2)导学案(无答案)新人教B版选修1_1
2.3.2抛物线的几何性质（2）【学习目标】1、理解并掌握抛物线的几何性质；2、类比椭圆和双曲线，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。
【预习案】完成下表前6行：补充抛物线的几何性质：抛物线22(0)y px p =>1、通径：2、焦半径：3、焦点弦：类比22(0)y px p =>的几何性质完成上表中的后9行：例1、斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
变式：已知抛物线24y x =的弦AB 经过它的焦点F ，弦AB 的长为20，求直线AB 的方程。
例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。
例3、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点（1）12x x ⋅是否为定值？12y y ⋅呢？（2）11FA FB +是否为定值？例4、已知抛物线2y x =,动弦AB 的长为2，求AB 中点纵坐标的最小值。
【课后案】1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q +=（ ） (A)2a (B)12a (C)4a (D)2a2.已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若OA OB =,且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是：( )（A ）x p = (B) 3x p = (C) 32p x = (D) 52p x =3．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线垂直于x 轴，又抛物线与双曲线交于点P(32，6)，求抛物线和双曲线的方程．4.A B 、是抛物线22(0)y px p =>上的两点,满足OA OB ⊥(O 为坐标原点).、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; 求证:⑴A B⑵直线AB经过一个定点.。
高中数学 第二章 参数方程 2.1 曲线的参数方程导学案(无答案)新人教B版选修4-4(2021年
辽宁省北票市高中数学第二章参数方程2.1 曲线的参数方程导学案（无答案）新人教B版选修4-4
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2。
1曲线的参数方程
一、 学习目标及学法指导
1.学习目标：理解曲线的参数方程的定义，会求某些曲线的参数方程，会参数方程与普通方程的互化
2。
重难考点：曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化 二、预习案
自主学习：预习教材30—34页并完成下列问题
三、课中案 典例分析
例1 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动,角速度为s
rad
60
.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程
例2 选取适当的参数，把直线方程y=2x+3化为参数方程。
例3
四．课堂检测：
五、课后案
_____________
六．课堂小结。
高中数学 第二章 参数方程 2.3 圆锥曲线的参数方程导学案(无答案)新人教B版选修4 4 学案
2.3圆锥曲线的参数方程
一、 学习目标及学法指导
1．学习目标：掌握椭圆的参数方程并能灵活应用它解题，了解抛物线、双曲线的参数方程
2．重、难、考点：椭圆的参数方程 二、预习案
自主学习：预习教材41-46页并完成下列问题
中心在点M 0(x 0,y 0)的椭圆1)()(2
2
0220=-+-b
y y a x x 的参数方程为_________________
三、课中案 典例分析
例1（1） 椭圆的方程为
15
)2(3)1(2
2=++-y x ，写出它的参数方程
（2）已知椭圆的参数方程为)(sin 4cos 2为参数t t
y t x ⎩⎨⎧==，点M 在椭圆上，对应参数3π
=t ，点O 为原点，求直线OP
的倾斜角α
变式1：（1）写出椭圆x 2
+4y 2
=16的参数方程
（2）椭圆的参数方程为)(sin 22cos 31为参数t t
y t x ⎩⎨⎧+-=+=，点P 为椭圆上对应6π
=t 的点，求直线OP 的斜率
例2
例3
四．课堂检测：变式探究
1.
2. 6.
五．课后案1.
2.
六．课堂小结。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1
2.2.1双曲线及标准方程一、 学习目标及学法指导1．从具体情境中抽象出双曲线的模型；2．通过用简易工具画双曲线的图像掌握双曲线的定义；3．通过双曲线标准方程的推导过程掌握双曲线的标准方程的两种形式． 二、预习案 一、课前准备（预习教材P 45~ P 48找出疑惑之处）复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线； 由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？ 2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？三、课中案 ※ 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式:已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为_____例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．※ 动手试试练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =； （2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升 ※ 学习小结 1 ．双曲线的定义； 2 ．双曲线的标准方程． ※ 知识拓展GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．※ 当堂检测1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为 （ ）． A ．25- B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b = （ ）．4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程 为 ．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．四、课后案1.方程x = ( ) A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分2.双曲线221169y x -=的焦点坐标为 ( )A.(0)0),B.(0(0,,C.(-5,0),(5,0)D.(0,-5),(0,5)3.如果椭圆22162y x +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12F F P ,,是两曲线的一个交点,那么cos 12F PF ∠的值是 ( ) A.13B.23C.73D.144.已知定点A ,B 且|AB |=4,动点P 满足|PA |-|PB |=3,则|PA |的最小值是( )A.12B.32C.72D.55.设m 是常数,若点F (0,5)是双曲线2219y x m -=的一个焦点,则m = .6.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)过点()()15163543P Q ,,-,且焦点在坐标轴上;(2)经过两点(7,A --，B ．(3)c =经过点(-5, 2),焦点在x 轴上;(4)与双曲线221164y x -=有相同焦点,且经过点2).7．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？※ 能力提升8.已知双曲线22163y x -=的焦点为12F F ,,点M 在双曲线上,且1MF x ⊥轴,则1F 到直线2F M 的距离为 ( )65D.569.若双曲线221(0y x m m n -=>,n >0)和椭圆221y x a b+=(a >b >0)有相同的焦点12F F M ,,为两曲线的一个交点,则|1MF |⋅|2MF |等于 .10.对于曲线C:22141y x k k +=,--下面四个命题:①曲线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则512k <<.其中命题正确的序号为 .11.有一双曲线方程为2212149y x F F -=,,是其两个焦点,点M 在双曲线上. (1)若1290F MF ∠=,求△12F MF 的面积;(2)若1260F MF ∠=时,△12F MF 的面积是多少?若12120F MF ∠=时,△12F MF 的面积又是多少?12.在△ABC中,BC=2,且1sin sin sin2C B A-=,求点A的轨迹.※拓展探究13.从双曲线22221(00)yx a ba b-=>,>的左焦点F引圆2x+2y=2a的切线,切点为T,延长F T交双曲线右支于P 点,若M 为线段FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO |-|MT |与b -a 的大小关系为( )A.|MO |-|MT |>b -aB.|MO |-|MT |=b -aC.|MO |-|MT |<b -aD.不确定14.求下列动圆圆心M 的轨迹方程:(1)与定圆C:22(2)2x y ++=内切,且过点A (2,0);(2)与定圆1C :22(1)1x y +-=和定圆2C :22(1)4x y ++=都外切;。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1
2.1.1椭圆及标准方程（1）一、 学习目标及学法指导1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．通过用简易工具画椭圆的图像掌握椭圆的定义；3．通过椭圆标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的两种形式．二、预习案（预习教材文P 32~ P 37找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++=表示以 为圆心, 为半径的 ． ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当0<122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F ．新知２：椭圆的标准方程：（1）回顾求圆的标准方程的基本步骤建系→设点→建立等量关系→代入坐标→化简（2）如何建立坐标系可以使方程的形式简单？当焦点在x 轴上时：①建系：②设点：③建立关系式：根据椭圆的定义，知④代入坐标⑤化简指出：（1）比较,a b 的大小关系 a b 0（2）方程()222210x y a b a b+=>>叫做椭圆的标准方程，这里222c a b =- 思考：若焦点在y 轴上，椭圆的标准方程怎样建立？归纳：明确椭圆的两种标准方程的异同点（1）方程的右边都是1；（2）在两个方程中，总有0a b >>（3）,,a b c 的关系式（4）怎么由椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上？焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是（一）基础训练：1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)4,3a b ==,焦点在x 轴上(2)1,b c ==焦点在y 上2.已知椭圆的方程为22136100x y +=,则a = ,b = ,c = ,焦点的坐标为 焦距为 ,如果此椭圆上一点P 到焦点1F 的距离为8,则点P 到另一个焦点2F 的距离等于3.求下列椭圆的焦点坐标: (1)2219x y += (2)221312x y += (3)2224x y +=(4)22169144x y +=三、课中案例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程1422=+m y x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ． 变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．．6 C ．．12练2 ．方程1922=-my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．四、课后案1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为 （ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ． (0,1)3.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．5. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=．6. 椭圆2214x y n +=的焦距为2，求n 的值．。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2
2.1.2椭圆的几何性质（4）一、 学习目标及学法指导1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系及弦长公式．二、预习案复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？复习3、怎样求直线与圆的交点坐标？问题：直线与椭圆的位置关系如何判断？1、对于直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=的位置关系的判断常通过联立方程组，讨论解的个数 方程组222201Ax By C x y ab ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩2、弦长公式：设对于直线y kx m =+与椭圆22221x y a b+=交于AB 两点，则AB =_______三、课中案※ 典型例题例1：当m 取何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？例2：已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点交椭圆于,A B 两点，求弦长AB例3：椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若AB =OC 的斜率为2，求椭圆方程例4：（11江苏，18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB※ 学习小结 1 ．椭圆在生活中的运用；2 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用∆判定）．3 ．直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x -= 其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．四、课后案1.点(),1A a 在椭圆22142x y +=的内部,则a 的取值范围是2. 若直线1()y kx k R =-∈与椭圆2214x y m +=恒有公共点，求实数m 的取值范围是3.过椭圆2224x y +=的左焦点作倾斜角为30的直线,则弦长AB=4.椭圆22116x y m+=的两个焦点为12,F F 且126F F =,弦AB 过点1F ,且△2ABF 的周长为20,则m =5.AB 是过椭圆()222210x y a b a b+=>>中心的弦,(),0F c 是椭圆的右焦点,则△AFB 的面积的最大值是6.中心在原点,一个焦点为(F 的椭圆被直线32y x =-所截得的弦的中点的横坐标是12,求椭圆的方程7.已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积8.已知椭圆221164x y +=和直线20x y +-=,椭圆上是否存在一点P,使得P 点到直线的距离最大?最大距离是多少?9.求椭圆内接矩形的最大面积.。
辽宁省北票市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2
2.1.2椭圆的几何性质（2）一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定 的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并 画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标 准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案 （一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。
练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。
②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式 已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290F PF ∠=o ,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到,求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。
高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程学案
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题． 2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题． 3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．1．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为________．(1)圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．(2)通常规定φ∈[0,2π)．(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如x －m2a 2＋y －n 2b 2＝1(a ＞b ＞0)可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数)．【做一做1－1】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( )．A ．π B.π2 C ．2π D.3π2【做一做1－2】 A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程．2．双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的参数方程是__________规定参数φ的取值范围为__________．【做一做2】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )．A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)3．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为____________． (2)参数t 的几何意义是________________． 答案：1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0) [0,2π)【做一做1－1】 A【做一做1－2】 解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)．由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ.由此可得x －224＋(y －1)2＝1即为所求．2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ.φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2【做一做2】 C 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2＝1. 而x ＝sin α2＋cos α2＝2sin(α2＋π4)，故x ∈[－2，2]．3．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1，利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝b cos θ的形式，二者只是形式上不同而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．题型一 求圆锥曲线的参数方程【例1】 椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．题型二 圆锥曲线普通方程与参数方程的互化【例2】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θsin θ＋cos θ，y ＝sin θsin θ＋cos θ(θ为参数)表示什么曲线？分析：消去参数，化为普通方程再判断．反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．题型三 圆锥曲线参数方程的应用【例3】 设M 为抛物线y 2＝2x 上的动点，给定点M 0(－1,0)，点P 为线段M 0M 的中点，求点P 的轨迹方程．分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法． 题型四 易错辨析【例4】 已知P 为椭圆x 216＋y 212＝1上一点，且∠POx ＝π3，求点P 的坐标．错解：设点P 的坐标为(x ，y )，如图所示， 由椭圆的参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos π3，y ＝23sin π3，即P 的坐标为(2,3)．答案：【例1】 解：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝3，c ＝5， ∴b ＝2，∴椭圆的普通方程为x 232＋y 222＝1，化为参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．【例2】 解：∵x ＝cos θ·sin θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋12，∴x －12＝sin 2θ＋cos 2θ2.∵y ＝sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ－cos 2θ＋12，∴y －12＝sin 2θ－cos 2θ2.∴(x －12)2＋(y －12)2＝1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ4＝12.∴原参数方程表示的曲线是圆心为(12，12)，半径为22的圆．【例3】 解：令y ＝2t ，则x ＝y 22＝2t 2，得抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)，则设动点M (2t 2,2t )，定点M 0(－1,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－1＋2t2，y ＝120＋2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12＋t2，y ＝t(t 为参数)，这就是点P 的轨迹的参数方程．化为普通方程是y 2＝x ＋12.这是以x 轴为对称轴，顶点在(－12，0)的抛物线．【例4】 错因分析：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ和圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M (x ，y )所对应的角∠xOM ，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．正解：设|OP |＝t ，点P 的坐标为(t cos π3，t sin π3)，代入椭圆方程得12t 216＋32t 212＝1，即t ＝855，所以点P 的坐标为(455，4515)．1椭圆2cos ,5sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的焦距为( )．21．22129 D ．2292椭圆45cos ,3sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)的焦点坐标为( )．A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0)3参数方程2cos ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线为( )．A ．抛物线的一部分B ．抛物线C ．双曲线的一部分D ．双曲线4实数x ，y 满足221169x y +=，则z ＝x －y 的最大值为________，最小值为________． 5如图，由椭圆2249x y +＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．答案：1．B2．D 利用平方关系化为普通方程：22(4)259x y -+＝1. 3．A4．5 －5 由椭圆的参数方程，可设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，∴z ＝x －y ＝4cos θ－3sin θ＝5cos (θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝34.∴－5≤z ≤5.5．解：椭圆2249x y +＝1的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)，∴2cos 2cos 2cos ,23sin ,2x y θθθθ+⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去θ，得22449x y +＝1， 即点P 的轨迹方程为22449x y +＝1.。
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2.3圆锥曲线的参数方程
一、 学习目标及学法指导
1．学习目标：掌握椭圆的参数方程并能灵活应用它解题，了解抛物线、双曲线的参数方程 2．重、难、考点：椭圆的参数方程 二、预习案
自主学习：预习教材41-46页并完成下列问题
中心在点M 0(x 0,y 0)的椭圆
1)()(2
2
0220=-+-b y y a x x 的参数方程为_________________
三、课中案 典例分析
例1（1） 椭圆的方程为
15
)2(3)1(2
2=++-y x ，写出它的参数方程
（2）已知椭圆的参数方程为)(sin 4cos 2为参数t t
y t x ⎩⎨⎧==，点M 在椭圆上，对应参数3π
=t ，点O 为原
点，求直线OP 的倾斜角α
变式1：（1）写出椭圆x 2
+4y 2
=16的参数方程
（2）椭圆的参数方程为)(sin 22cos 31为参数t t
y t x ⎩⎨⎧+-=+=，点P 为椭圆上对应6π
=t 的点，求直线OP 的
斜率
四．课堂检测：
六．课堂小结。