三角形内接矩形型基本图形完整版课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、探索发现
基本图形
一、探索发现
基本图形
问题1：你会给这样的矩形起一个怎样的名字？
A
P
P
N
A N
B
Q
MC
B
Q
M
C
三角形的内接矩形
三角形的内接正方形
1.矩形在三角形的内部； 特征：
2.四个顶点都在三角形的边上.
一、探索发现
基本图形
问题2：请你画一画三种三角形的内接正方形.
C
A A
B
A
A
C
B A
B
C
B
C
B
C
A
B
C
二、应用体验
析型
用型
问题3：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工 成的正方形零件的边长为多少mm？
A
思路探寻 （1）图中相等的线段有哪些？
解法展示 （2）如何建立这些线段的关系？PN//BC
n次，求PnNn的长．（直接写出结果）
思路探寻 在满足（1）的条件下你能总结线段PN与BC的关系吗？ P2
N2
若按问题（2）继续内接，规律一样吗？ 解法展示 解
P
N
Q2 E M2
B
Q
D
M
C
你能与“三角形中位线的
性质”联系起来吗？
四、感悟提升
A
P
N
B
Q
M
CB
矩形（包括正方形） 四个顶点都在
在三角形内部
（1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大．
（2）在（1）的条件下，若再在△APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此下去，操作
n次，求PnNn的长（直接写出结果）．
A
思路探寻 在问题5基础上考虑，要求面积未知量有哪些？ 如何表示？
设PN=x
P
解法展示 解 设PN=x，矩形PNMQ面积为y，做高AD交PN于点E，
A
A
A
G
F
S100
R100
D
E
A
D第1题图 E
3.(1) DE=4.8.
S2
R2
S1
R1
B
B P1 P2
P100 D
Q100 Q2 Q1
C
B
第2题图
G
F
第3题图
D
N
C
BQ
M
E
P
C
(2)分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC内部时，y=x2 (0<x≤
G 第3题图 F
); ②当正方形DEFG的一部分在△ABC内部时，由△ADE∽ △ABC得，
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正
方形，则正方形的边长为________________.
C
A
G
F
S100
S2 S1
R100
R2 R1
A
D 第1题图 E
B
2. 如图，等腰三角形ABC中AB=AC=
B P1 P2
P100 D
Q100 Q2 Q1
N E
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
BB
Q
D
M
C
开口方向向下，
二次函数求 最值问题
三、拓展生长
规律探究
类比思想
变式生长 在△ABC中，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为△ABC的内接矩形，（P
在AB上，N在AC上，M、Q在BC上）， （1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大．
（2）在（1）的条件下，若再在△APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此A下去，操作
C
第2题图
，底边BC上的高AD=4，在BC边上有100个不同
的点P1，P2，… P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1Q1R1S1，P2Q2R2S2，… P100Q100R100S100 .设第一个内接矩形的周长分别为c1，c2，… c100，求c1+c2+…+c100的值.
五、自主作业
P
E
N
解 设加工成的正方形为PNMQ， 如图，边长为xmm.
△APN∽△ABC
由PN//BC，得△APN∽△ABC，
B
Q
DM
C
PN BC
AE , AD
即
x 80 x . 120 80
方法：在平行线截得的三角形相似中，利 用相似比等于对应高之比求边长.
二、应用体验
特殊
一般
问题4：如图，锐角△ABC中，三边长为a，b，c，记a，b，c三边的高分别为 ha，
3.如图，在锐角△ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的 两 个 动 点 (D 不 与 A ， B 重 合 ) ， 且 保 持 DE//BC ， 以 DE 为 边 ， 在 点 A 的 异 侧 作 正 方 形
DEFG.
(1)如图(2)，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长;
hb和 ，你会分别表示三个内接正方形的边长吗？
A
你能用a 和 ha表示该正方形边长吗？
A
△APN∽△ABC
P
N
c
ha
b
B
c a
b C
相似三角形，是在几何线段计算中一种重要的数学工具.
B
Q
aD M
C
三、拓展生长
几何问题
代数问题
问题5：如图，有一块△ABC材料，BC=15，高AD=12，把它加工成一个矩形零件，
三角形边上
A
P
N
方程思想、转化思想、类比思想、函数思想
Q
M
C
思想方法
三角形的相似比 等于对应高之比
图形提炼
三角形内接矩形 型基本图形
xa
aha a ha
xb
bhb b hb
A
xc
chc c hc
P
N
c
ha
b
B
Q
aD M
C
几何问题
图形应用
求矩形边长、周长、面积
讨论面积最值.
代数问题
五、自主作业
使矩形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，若PN=x，矩形
PNMQ的周长为y.
求PNMQ周长
PQ=?
A
（1）求y与x之间的函数y关=?系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求当矩形PNMQ的周长为28时矩形的面积.
解 （1）∵四边形PNMQ是矩形，
P
E
N
∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC.
y
x
2
ห้องสมุดไป่ตู้
0
x
24 5
2 3
x2
8x
24 5
x
12
PN AE ，即 x 12 PQ . BC AD 15 12
求边长、 周长问题
B
Q
D
M
C
（2）∵矩形PNMQ的周长为28，
∵矩形PNMQ在△ABC内，
∴0＜PN＜BC，即0＜x＜15.
求面积问题
三、拓展生长
函数思想
变式生长 在△ABC中，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为△ABC的内接矩形，（ P在AB上，N在AC上，M、Q在BC上），
(2)设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式
，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
A
A
D
E
D
N
E
G
F
B
图1
C
B
G M 图2 F
C
五、自主作业
答案解析
1.
2.提示：
C
，且BC=AD=4 得 c1 =8，同理可得c2 =c3=… =c100 =8， ∴c1+c2+…+c100 =800.
基本图形
一、探索发现
基本图形
问题1：你会给这样的矩形起一个怎样的名字？
A
P
P
N
A N
B
Q
MC
B
Q
M
C
三角形的内接矩形
三角形的内接正方形
1.矩形在三角形的内部； 特征：
2.四个顶点都在三角形的边上.
一、探索发现
基本图形
问题2：请你画一画三种三角形的内接正方形.
C
A A
B
A
A
C
B A
B
C
B
C
B
C
A
B
C
二、应用体验
析型
用型
问题3：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工 成的正方形零件的边长为多少mm？
A
思路探寻 （1）图中相等的线段有哪些？
解法展示 （2）如何建立这些线段的关系？PN//BC
n次，求PnNn的长．（直接写出结果）
思路探寻 在满足（1）的条件下你能总结线段PN与BC的关系吗？ P2
N2
若按问题（2）继续内接，规律一样吗？ 解法展示 解
P
N
Q2 E M2
B
Q
D
M
C
你能与“三角形中位线的
性质”联系起来吗？
四、感悟提升
A
P
N
B
Q
M
CB
矩形（包括正方形） 四个顶点都在
在三角形内部
（1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大．
（2）在（1）的条件下，若再在△APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此下去，操作
n次，求PnNn的长（直接写出结果）．
A
思路探寻 在问题5基础上考虑，要求面积未知量有哪些？ 如何表示？
设PN=x
P
解法展示 解 设PN=x，矩形PNMQ面积为y，做高AD交PN于点E，
A
A
A
G
F
S100
R100
D
E
A
D第1题图 E
3.(1) DE=4.8.
S2
R2
S1
R1
B
B P1 P2
P100 D
Q100 Q2 Q1
C
B
第2题图
G
F
第3题图
D
N
C
BQ
M
E
P
C
(2)分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC内部时，y=x2 (0<x≤
G 第3题图 F
); ②当正方形DEFG的一部分在△ABC内部时，由△ADE∽ △ABC得，
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正
方形，则正方形的边长为________________.
C
A
G
F
S100
S2 S1
R100
R2 R1
A
D 第1题图 E
B
2. 如图，等腰三角形ABC中AB=AC=
B P1 P2
P100 D
Q100 Q2 Q1
N E
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
BB
Q
D
M
C
开口方向向下，
二次函数求 最值问题
三、拓展生长
规律探究
类比思想
变式生长 在△ABC中，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为△ABC的内接矩形，（P
在AB上，N在AC上，M、Q在BC上）， （1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大．
（2）在（1）的条件下，若再在△APN中作一个内接矩形P2N2M2Q2，如此A下去，操作
C
第2题图
，底边BC上的高AD=4，在BC边上有100个不同
的点P1，P2，… P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1Q1R1S1，P2Q2R2S2，… P100Q100R100S100 .设第一个内接矩形的周长分别为c1，c2，… c100，求c1+c2+…+c100的值.
五、自主作业
P
E
N
解 设加工成的正方形为PNMQ， 如图，边长为xmm.
△APN∽△ABC
由PN//BC，得△APN∽△ABC，
B
Q
DM
C
PN BC
AE , AD
即
x 80 x . 120 80
方法：在平行线截得的三角形相似中，利 用相似比等于对应高之比求边长.
二、应用体验
特殊
一般
问题4：如图，锐角△ABC中，三边长为a，b，c，记a，b，c三边的高分别为 ha，
3.如图，在锐角△ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的 两 个 动 点 (D 不 与 A ， B 重 合 ) ， 且 保 持 DE//BC ， 以 DE 为 边 ， 在 点 A 的 异 侧 作 正 方 形
DEFG.
(1)如图(2)，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长;
hb和 ，你会分别表示三个内接正方形的边长吗？
A
你能用a 和 ha表示该正方形边长吗？
A
△APN∽△ABC
P
N
c
ha
b
B
c a
b C
相似三角形，是在几何线段计算中一种重要的数学工具.
B
Q
aD M
C
三、拓展生长
几何问题
代数问题
问题5：如图，有一块△ABC材料，BC=15，高AD=12，把它加工成一个矩形零件，
三角形边上
A
P
N
方程思想、转化思想、类比思想、函数思想
Q
M
C
思想方法
三角形的相似比 等于对应高之比
图形提炼
三角形内接矩形 型基本图形
xa
aha a ha
xb
bhb b hb
A
xc
chc c hc
P
N
c
ha
b
B
Q
aD M
C
几何问题
图形应用
求矩形边长、周长、面积
讨论面积最值.
代数问题
五、自主作业
使矩形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，若PN=x，矩形
PNMQ的周长为y.
求PNMQ周长
PQ=?
A
（1）求y与x之间的函数y关=?系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求当矩形PNMQ的周长为28时矩形的面积.
解 （1）∵四边形PNMQ是矩形，
P
E
N
∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC.
y
x
2
ห้องสมุดไป่ตู้
0
x
24 5
2 3
x2
8x
24 5
x
12
PN AE ，即 x 12 PQ . BC AD 15 12
求边长、 周长问题
B
Q
D
M
C
（2）∵矩形PNMQ的周长为28，
∵矩形PNMQ在△ABC内，
∴0＜PN＜BC，即0＜x＜15.
求面积问题
三、拓展生长
函数思想
变式生长 在△ABC中，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为△ABC的内接矩形，（ P在AB上，N在AC上，M、Q在BC上），
(2)设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式
，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
A
A
D
E
D
N
E
G
F
B
图1
C
B
G M 图2 F
C
五、自主作业
答案解析
1.
2.提示：
C
，且BC=AD=4 得 c1 =8，同理可得c2 =c3=… =c100 =8， ∴c1+c2+…+c100 =800.