数学实验上机考试题目

数学实验
期末上机考核
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请按要求回答以下问题：
Part A、Matlab软件的应用（本大题两大类，共70分）
以下问题的解答过程中如需软件，均应用matlab软件进行。

一、计算题（本大题共4小题，共55分）
1、缆车的缆绳绳长问题（20分）
某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，全长约1471m，高差为380m，采用循环单线式修建，缆绳悬挂在下站到上站的行程的8个铁塔上，这8个铁塔依山势走向而距离不等（示意图见图1）。

假设从下站到第1铁塔的水平距离为d0，高差为h0，记此为第0段缆绳；从第1铁塔到第2铁塔的水平距离为d1，高差为h1，此为第1段缆绳；...，从第8铁塔到上站的水平距离为d8，高差为h8，此为第8段缆绳。

具体数据见下表：
第0段第1段第2段第3段第4段第5段第6段第7段第8段d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 220 200 140 120 100 120 140 200 220 h0 h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8
50 45 40 38 34 38 40 45 50 假设每一段缆绳下垂的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬挂绳处1m，并假定所悬挂的缆绳为抛物线（图2）。

请按以下要求回答问题：
图1 从山脚到山顶的缆车索道示意图
图2 第i段所悬挂的抛物线缆绳（i=0,1, (8)
（1）对第i段缆绳建立如下图所示的坐标系，请写出该段抛物线方程及所满足的条件。

（4分）
（2）请计算第2段缆绳的方程各参数，及该段缆绳的长度，并画出该段缆绳的抛物线图形（10分）。

该问题的解答步骤如下：
步骤一、编写程序计算第2段缆绳方程的各参数
提示1：方程（组）求解命令：solve
提示2：字符型与数值型的转换命令：double，例如double(2/5)=0.4
步骤二、根据程序运行的结果，写出抛物线方程的数学表达式如下：
步骤三、应用matlab 计算缆绳长度，请写明编程语言及计算结果。

提示：第i 段缆绳（抛物线方程为2y ax bx c =++）在0i x d ≤≤内弧线长度的计算公式为：
20
1(2)i
d ax b dx ++⎰
（0,1,2,...,8i =）
（3）计算各段索道的方程，及整个索道工程所用的索道总长度，将结果填入下表：（6分） 段道数 方程 索道长度
第0段 第1段 第2段 第3段 第4段 第5段 第6段 第7段 第8段
则索道总长度为： （米）
2、世界末日问题（10分）
在古印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针（下图的A 、B 、C ），其中一根宝石针从下到上插放着由大到小的64片有孔的金片（如下图），昼夜都有一个值班的僧侣，按下列法则移动金片：一次只能移动一片，小片永远要放在大片的上面。

于是就有谣言称：当64片金片都从一根宝石针上取下，全部移到另一根宝石针上时，世界末日就来临了！听到这个传说后，一位数学家笑了。

这位数学为什么会笑？请按下列要求回答问题：
（1）设将n 片金片按由大到小的顺序套在另一根针上需要移动的次数为n a ，则n a 的递推公式
如下： 111
21n n a a a -=⎧⎨=+⎩
（2）通过计算机编程对（1）中的递推公式进行计算：计算当只有20片金片时，从一根宝石
针上移至另一根宝石针上时，需要移动多少次？如果每次移动一次需要一秒钟，请问移完64片金片需要多少亿年的时间？（10分） 问题回答按以下步骤完成： 步骤一、程序编写
步骤二、根据程序的计算结果，回答问题如下：
3、水中含盐量的变化（17分）
池水含盐问题：设某个可以容纳无限多水的池中最初有水2000 m 3，含盐2 kg 。

现以4m 3 / 分 的速率向池中注入浓度为 0.025 kg / m 3 的盐水，又以 2m 3 / 分的速率从池中流出混合后的盐水。

设()x t 表示t 时刻池中含盐量，()V t 表示t 时刻池水的容量，则()x t 和()V t 的变化方程如下：
422()40.0252()2(0)2000,(0)2000dV
dt dx
x t dt
V t V x ⎧=-=⎪⎪
⎪=⨯-⨯⎨⎪⎪==
⎪⎩
现请按要求回答以下问题：
（1）应用matlab 求解上述微分方程组（9分） 步骤一、程序编写
步骤二、根据运行结果，请写出()V t 与()x t 的方程
（2）应用matlab 计算欲使池中盐水浓度达到 1 kg / m 3，需要多长时间？此时池中的水的容量
是多少？（8分） 步骤一、程序
步骤二、运行结果整理：
4、质量控制问题（10分）
某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员，一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时.检验员每错检一次，工厂要损失2元。

为了保证质量，一级检验员和二级检验员每日检查总量分别不能高于1800件。

为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
该问题请按以下步骤完成：
步骤一、设需要一级和二级检验员人数分别为x1、x2人，请写出该问题的优化模型：（4分）解：
步骤二、计算机求解步骤（6分）
（一）程序编写如下：
（二）运行结果如下：
（三）由计算机的运行结果，回答原问题：
二、综合实验题（本大题共1小题，共15分）
5、理发店服务问题
一个理发店内有一位服务员A，顾客们随机到达店内，其中60％的顾客仅需剪发，每位花3分钟时间，另外的40％顾客既要剪发又要洗发，每位花费时间5分钟。

请模拟该理发店10分钟内的服务情况。

该问题做了如下的假定：
（1）任一分钟内到达一位顾客的概率p=0.5
（2）同一分钟内不会有一个以上顾客到达
（3）如果店里两名服务员都空闲, 则顾客选择服务员A
（4）先到先服务
（5）顾客都会耐心等待服务, 而且服务员都不能休息
请按以下要求回答问题：
（1）请写出模拟方法（5分）
（2）假设顾客到来及所需要的服务情况如下表，请通过编程模拟完成下表中的其他信息。

（10分）
时间（分）有无顾客到顾客服务类型A是否在工作排队等待人数
0 0 无闲0
1 0 无
2 0 无
3 1 剪发
4 0 无
5 1 剪发
6 0 无
7 1 剪发
8 1 剪发
9 1 剪发+洗发
10 0 无
注：请附上程序，并将运行结果填入下表。

二、Spss软件的应用（本大题共2题，共30分）
6、粮食加工厂用四种不同的方法储存粮食，储存一段时间后分别抽样化验，得到粮食含水率如下，各次化验的样品数不一样，请试分析这四种贮藏粮食方法是否导致粮食的含水量产生差异。

（15分）
表2 粮食存贮方法与含水量之间的关系测试结果
方法含水率
a 7.3 8.3 7.6 8.4 8.3
b 5.8 7.4 7.1
c 8.1 6.4 7
d 7.9 9
7、土壤内NaCl 的含量对植物的生长有很大的影响，NaCl 含量过高，将增加组织无机盐的积累，抑制植物的生长。

表2中的数据，是每1000克土壤中所含NaCl 的不同克数（X），对植物单位叶面积干物质重的影响（Y）。

根据这7对数据请求出植物的干物质重量与土壤NaCl 含量的回归方程，并预测NaCl含量为2.0（克/ 1000克土）的土壤上面用同样方法种植该植物的干重(毫克／分米2)。

（15分）
表2 不同NaCl含量对单位叶面积干物质重的影响
NaCl含量X
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8
(克／1000克土壤)
干重Y
80 90 95 115 130 115 135
(毫克／分米2)。