几何概型的常见类型

集合关系与充要条件
陈 凌 宗平芬
(贵州省六盘水市第一中学 , 553002)
数学思维活动中 , 探究命题的充要条件 有极为重要的数学思维价值 , 这是因为充要 条件与等价转化思想如同孪生兄弟 , 而等价 转化思想的广泛应用可将待证 (待解 ) 的数学 问题转化为与之等价的易证 (已解 ) 的问题. 数学关系中的各种充要条件的应用 , 是实现 这种转化的基本手段.
S阴影
=1 2
×5 6
×5 3
= 25, 36
S正 = 22 = 4.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第 10期 高中数学教与学
构成事件 A 的区域的度量 (长度 、面积或体积 ) 试验的全部结果构成的区域的度量 (长度 、面积或体积 )
二 、常见类型 1. 长度型 例 1 取一根长度为 3 m的绳子 ,拉直后 在任意位置剪断 , 则剪得两段的长都小于 2 m 的概率有多大 ? 分析 从每一个位置剪断绳子 , 都是一 个基本事件. 剪断位置可以是长度为 3 m的绳 子上的任意一点 , 基本事件有无限个 , 而且每 一个基本事件的发生都是等可能的 , 因此事 件的发生概率只与剪断位置所处的绳子段的 长度有关 ,符合几何概型的条件. 解 记事件 A 为“剪得两段绳长都小于 2 m ”, 把绳子三等份 ,于是当剪断位置处于中 间一段上时 ,事件 A 发生. 由于中间一段的长
( 3) 若上述条件都不成立 , 则“x ∈ B ”是 “x ∈ A ”的既不充分也不必要条件.
二 、用集合关系表述命题条件 将充要条件问题以集合关系表现出来 , 是用集合关系探究数学知识中各种充要条件 问题的基础. 如探索方程或不等式的解集 , 就 是求方程或不等式成立的充要条件 ; 直角坐 标系下的曲线交点问题的求解过程 , 也就是 探索以对应的方程组的解集为其充要条件的 过程. 对于条件 p与结论 q, 若“p真 ”等价于集 合 A = { x | p ( x) 真 } ,“q真 ”等价于集合 B = { x | q ( x) 真 } , 则条件 p与结论 q的关系可通 过集合 A, B 之间的集合关系来表述 : ( 1) 当 A = B 时 , 条件 p是结论 q的充分且 必要条件 ; ( 2) 当 A B 时 , 条件 p是结论 q的充分但 不必要条件 ; ( 3) 当 A B 时 , 条件 p是结论 q的必要但 不充分条件 ; ( 4) 若在上述情况之外 , 则条件 p是结论 q的既不充分也不必要条件.
一 、几何概型的概念 如果每个事件发生的模型为几何概率模型 , 简称几何概 型. 特点 : ( 1) 无限性 , 即在一次试验中 , 基本 事件的个数是无限的. ( 2) 等可能性 , 即在每个基本事件发生的 可能性均相等. 计算公式 : P (A ) =
因为 VA = 0. 1升 , VΩ = 2 升.
∴P (A ) = VA = 0. 1 = 0. 05.
VΩ
2
几何概型的内容在高考中尚未得到全面
考核 , 但作为一种常用的概率模型 , 它涉及图
形的长度 、面积 、体积等与几何有关的知识 ,
是一个很能体现学生分析问题 、解决问题的
能力的题型 , 同学们应当好好掌握.
集合概念早已渗透到现代数学研究的各 个领域 , 也就很自然地成为探索各种充要条 件的基础. 对于那些可以转化为集合关系的 充要条件问题 , 若能用好集合概念 , 则能简化 思维过程 , 提高思维效率.
一 、子集 、真子集及相等集合关系中所蕴 含的充要条件问题
首先 , 从子集关系理解充分条件与必要 条件 , 对于集合 A, B , 若 A Α B , 则“x ∈ A ”是 “x ∈B ”的充分条件 , 同时称“x ∈B ”是“x ∈ A ”的必要条件.
而基本事件的发生是等可能的.
解 记事件 B 为“射线 OA 落在 ∠XO T
内 ”,因为 ∠XO T = 60°,所以
P (B )
= 36600°°=
1. 6
3. 面积型
例 3 如图 2, 向正方形内随机地投掷飞
镖 ,求飞镖落在阴影部分的概率.
分析 由于随机地投掷飞镖 , 飞镖落在 正方形内每一个点的机会是等可能的 , 所以 符合几何概型的条件.
·7·
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
高中数学教与学 2008年
几何概型的常见类型
颜泽刚 董巧英
(安徽省泗县双语中学 , 234300)
几何概型是高中课程改革后增加的一种 概率类型 , 也是一种常见的概率模型. 为便于 同学们更好地掌握这种概型 , 现将其性质及 常见类型归纳如下 :
∴P
S阴影 =
= 25 ×1
= 25 .
S正 36 4 144
4. 体积型
例 4 有一杯 2升的水 , 其中含有 1 个细
菌 , 用一个小杯子从这杯水中取出 0. 1 升 , 求
小杯水中含有这个细菌概率.
分析 这个细菌在水中的位置是任意的
和等可能的 , 所以符合几何概型的条件.
记事件 A 为“小水杯中含有这个细菌 ”,
其次 , 将充要条件问题用集合表现出来 , 是指 :
( 1) 当 A = B 时 ,“x ∈ A ”是“x ∈ B ”的 充分且必要条件 ;
( 2) 当 A B (A是 B 的真子集 ) 时 ,“x ∈ A ”是“x ∈ B ”的充分不必要条件 ;
同时 ,“x ∈ B ”是“x ∈ A ”的必要不充分 条件 ;
度为 3 ×1 = 1 m,所以事件 A 发生的概率为 3
P (A) = 1 . 3
·6·
2. 角度型 例 2 如图 1, 在直角坐标系内 , 射线 O T 落在 60°角的终边上 ,任作一条射线 OA, 求射 线 OA 落在 ∠XO T内的概率.
分析 此题关键是搞清过 O 作射线 OA
可以在平面的任意位置 , 而且是等可能的. 因