福建漳州一中2019高三上年末考试-数学理

福建漳州一中2019高三上年末考试-数学理
高三年数学科〔理科〕试卷
考试时间：120分钟 总分值：150分 【一】选择题：〔以下每题有且只有一个正确选项，每题 5分，共50分〕 全集 U ={2,345}，M ={3,4,5}，N ={4,5}，那么〔 M C|N ={4} B 、M U N
假设a 、b 为任意非零实数，且 1、 2、 1 1 B b , 1 a b a 且a 丨在(0 +oC )是减函数，那么 充分不必要条件 B 、 等比数列{& }中， 0 B 1 C 1D A 4、 二u C 、(
C u N) M a b ,那么以下不等式成立 C 、lg(a —b) 0 =u D
的是〔 D 、 Q a 、(
C u M )
D N =N
〕 p 是q 的〔〕 必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 ，且2a 2，3a 3，4a 。

成等差数列，那么 1
3-1=1 1或 33等于〔〕
4 长方形 B(4,2), _
J X 通过点B 现将一质点随机投 0(0,0), A(4,0)‘ C(02),曲线 C(0,2)
y 方形OABC 中，那么质点落在图中阴影区域的概率 2 B 、3 C 、4 3 4 7 12 6、 如下图是三棱锥 D- ABC 的三视图，假设在三棱锥的直观图 中，点0为线段BC 的中点，那么异面直线 DO 与AB 所成角的 余弦值等于
A 、^
B 、
"6 7、 函数 f (x) =1 +cos2x -2sin 2
(^ -—) A 2 B 、3 C 、4 D 、 7 y * c
I y =
o
A X
的四个顶点为 入长 〔〕 V T ~5~
2. ■:
是()
主视图
侧视图
，其中R ，那么以下 C(A)
B(D) AE 2
俯视图
结论中正确的选项是() f(x)是最小正周期为 二的偶函数B 、仁刈的一条对称轴 是 二
x =一 3 f(X )的最大值为2D 将函数y =屁n2x 的图象左移江得到函数f(X )的图象 JT 6 〔1〕班进行的演讲竞赛中，共有 6位选手参加，其中 4位女生，2位男生，假如2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么6位选手出场顺序的排法种数为 〔〕。

A 9、 8、咼
320B 、384C 、408D 480 定义：假设平面点集A 中的任一个点伽, 、，总存在正实数r ，使得集合： y 。

) 2 / O- 八，那么称A 为一个开集、给出以下集合:
B 二{(X,y)| ；(x —X 0) (y — y 。

) : r} A
A
x, y) |x 2 y 2 =4 ②、(x, y) | x 2y -1
0'
③ Xx, y) II x y 匡 4［④(x,y) |0 ：：： x 2 (y ._2)2 :：: 1?
其中为开集的集合是〔〕
(2 - \/x)8展开式中 不含x ‘项的系数的和为 ________________ 2 2
13、以抛物线：y 2 =20x 的焦点为圆心，且与双曲线： x
- y =1的两条渐近线都相切
16
9
的圆的方程为 _______ 。

14
、假设曲线f(x"2-3x-alnx 存在与直线x y-^0 互相垂直的切线，那么实数
a 的取值范围是
15、如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至E ，使得
DE =CD ，假设动点p 从点A 动身，沿正方形的边按如下路
③.」的最大值为3;④假设满足，」
=k 的点P 有且只有两个，那么
(1 3 )。

线运动：A > B > C > D > E > A > D ，其中AP
,那么以下判断中：
①当P 为BC 的中点时，•- 2 ；②满足
.■ ■ -1的点P 恰有三个; 正确判断的序号是 ______ 三、解答题〔共70分〕: 16.某高校在2018年考试成绩中随机抽取 100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组［75 , 80)，第2组［80 , 85)，第3组［85 , 90)，第4组［90 , 95)，第5组［95 , 100］得到的频率分 布直方图如下图， 〔1〕分别求第3, 4, 5组的频率； 〔2〕假设该校决定在笔试成绩高的第 3, 4, 组中用分层抽样抽取 6名学生进入第二轮面试， ① 学生甲和学生乙的成绩均在第三组， 求学生甲 和学生乙不同时进入第二轮面试的概率； ② 假设第三组被抽中的学生实力相当，。

〔请写出所有正确判断的序号〕 在第二轮 面试中获得优秀的概率均为 3，设第三组中被 4 抽中的学生有X 名获得优秀，求 X 的分布列和
频率 A 、 ①④
②③C ②④ D ③④
1
函数 …, ex
，假设2012
ke
，那么a 2 . b 2的最小值为〔〕
f (x) = In
E f(
⑺)=503(a b)
e —x
kJ
2013
A 、
6
B 8
C 9
D 12
11、
fg©
f(x_4)
x^o ，那么 f(2013)
=
x 0
12、
【二】填空题〔共 5小题，
每题4
O
〔1〕假设直线|通过椭圆的 左焦点F ，且使得A P
，A B = 3，求直线l 的方程;
b n 1 ，数列：b n /的前n 项和为T n ，
a n a n 1
〔1〕求数列 玄1的通项公式及数列 g 的前n 项和T n ； 〔2〕是否存在正整数
m, n (1
：：： m
：
n)
，使得T 1、T m 、T n 成等比数列？假设存在，求出所
有的m,n 的值；假设不存在，请说明理由。

另一点B(x 2,y 2)，与l 0父于点M 2,
数学期望。

17
、向量 m=( s i nA , s i nB) 'nl(c
osB , cosA) 'm zsin2C ，且 A
、B
、C
分别 为ABC 的二边a 、b 、c 所对的角, (1)求角C 的大小; ⑵假设si nA, si nB,si nC 成等差数列，且CA ・(AB - AC) =18，求c
边的长及厶ABC 的
面积。

18、如图，在直角梯形ABCP 中, 沿线段CD 折成60的二面角 P -CD - A ，设 E ，F ，
G 分别 是PD ，PC ,
BC 的中点、 (1)求证：PA //
平面 EFG ； 平面 〔2〕假设M 为线段CD 上的一个 动点，问点 M 在什么位置时， 直线MF 与平面EFG 所成的角 最大？并求此最大角的余弦值。

19、数列:是各项均不为 0
的等差数列，S n 为其前
2 亠
n 项和，且满足 a n 二S 22，令
20
、椭圆C
的方程为 U1，直线
4 3
l 0:x=4，A 是椭圆C 的右顶点，点p (x 1,yj 是
椭圆上异于左、右顶点的一个动点，直线
PA 与］交于点M ，直线I 过点P 且与椭圆交于
〔2〕假设点B 恰为椭圆的左顶点，问x 轴上是否存在定点 D ,使得对变化的点 p ,以MM 为直径的圆总通过点 D ，假设存在，求如此的圆面积的最小值，假设不存在说明理由。

21、定义在R 上的偶函数彳化)的最小值为1,当x. [0,；)时，f(x) = a e x ，
〔1〕假设当x<0时都有不等式：f (x) • kx 一 1 _ 0恒成立，求实数k 的取值范围; 〔2
〕求最大的整数m (m 1)，使得存在r R ，只要x ・[1,m]，就有f(x t^ex
漳州一中2018〜2018学年上学期期末考试
数学〔理〕答案2018.2.2
、选择题:
1 —10、CDBDAADCCB 【二】填空题：仆 812
、—
11113
、(
x_5)2 y 2 =914、a_ -2
15
、①②③
【三】解答题:
3
9
=n p = 3 -
4. 4
解：〔1〕 ■ 一
m n =sin AcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin C :• sin C =sin2 C =2sin C cosC (1)
二 cosC =—，
2
〔2
〕由得sin A sin B 二2sin C ，由正弦疋理可知a ' b = 2c , 又」T —
.FT
②由得X 〜
3 且
k
“3
、 k ,
1、3 _k ，
k 二 0,1,2,3， B(3,-) 4 P(X :
=k) = C 3 H)
4
X 的分布列如下：
X 的数
学
X
0 1
2
3
P
丄
_9
27 27 64
64
64 64
因此学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率
16、解：〔1〕第三组的频率为
第五组的频率为
0.06 5=0.3 ；第四组的频率为 0.02 5 =0.1
0.04
0.2
〔2〕①设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试为事件
M:那么
P(M^|r
C 30 1 145
P(M ) =1 -■
145 145
EX
17、 又
•
又,0 ：： c ：：二，… 二
二 C ——
n =sin2C ‘
1
)
1
)-
又' CA (AB - AC) =18 '…CA CB =18，即 ab = 36 由余弦定理得：c 2 =a 2 b^2abcosC 二36 •
c 二 6.
1
1
v3
L S ABC
absinC 36 9 - 3
2
2 2
18、方法一:
〔1
丨证明：=AD 丄CD, PD 丄CD,A CD 丄平面PAD 二平面PAD 丄平面ABCD
过P 作AD 的垂线，垂足为 O 那么P0丄平面ABCD
过0作BC 的垂线，交BC 于H,分别以"Oh J OD OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系，
--/pDO 是二面角 P — PC — A 的平面角，A PDO = 60 ，
又 PD =4,二 OP =2..3.OD =2, AO =1,得 A(0,—1,0), P(0,0,2. 3), D(0,2,0)，
3 1 故 、 3 _
E(0,1, .3),F(—,1,、3),G(3, —,0) EF = (—,0,0), EG = (3,-— ,- . 3)
2 2 2 2
设平面EFG 的一个法向量为■/
、那么
n = (x,y,z),
〔2〕解：设 ，那么
，设MF 与平面EFG 所成角为,
M(x ',0)
M 「([x“3)
那么
sin^ =|cos ：： n,MF ]— MF -
|n ||MF |
故当 3
取到最大值，那么 二取到最大值，如今点 M 为线段CD 的中点，MF 与平
x = — 时，sin 日
2
面EFG 所成角的余弦值
方法二：〔1〕证明：取 =H, G 为 AD BC 的中点，A HG//CD ,
又 EF//CD ,A EF//HG ,A E , F , G, H 四点共面，
又••• PA//EH , EH 平面 EFGH PA 二平面 EFGH A PA// 平面 EFG
〔2〕过M 作MOL 平面EFG 垂足O,连结OF , °FM 即为MF 与平面EFG 所成角， 因为CD//EF ,故CD//平面EFG 故CD 上的点M 到平面EFG 的距离 MO 为定长，
故要使/OFM 最大，只要MF 最短，
MF _ CD 时，即M 为线段CD 中点时，/■ OFM 最大, 可求得平面EFG 所成角的余弦值
cos-
26 19、解：〔1〕因为 是等差数列，由
{a n
}
2 a
n
-S
2n -1 (a 1 - a 2n 4
)(2 n -1)
=(2 n- 1)a n
又因为a n=0，因此a n =2n-1,由
b n
因此
「J"1 J-1
川
1
2 3 3
5
a n
a
n 1
4(
(2n -1)(2n 1)
2 2n -1 2n 1
2n -1 2n 1 2n 1
『T T
n EF J
T
n EG -0 =0,
1 3x y
2
取z = 1,得 n = (0, -2 3,1)
-3z = 0,
，而
PA 二(0,-1,-2.3),
n PA = 0 2、3 - 2 ..3 =0,. n _ PA
又PA -平面EFG ，故PA/平面EFG
口 5品° COST
26
AD 的中点H,连结EH HG 故当
1
)
1 )-
〔2〕由〔1〕知，
n ,
T n : 2n 1
那么
假设TT T 成等比数列,
T 1 , T m , T
n
解法一：由
2 m 2 4m +4m+1 从而4晶 仝， 1 m ：： 1
——
2 2 故可知：当且仅当 m =2， 解法二：因为 n 6n
3 从而：.6 1 m ::: 1
2
20、〔 1〕解：
由得椭圆 3x 2 4y 2 =12 x = my _i 因此
T 1 3"2m 1
m 2m 1
，可得3
—,T n
)
2
n
「
3 2n 1 2
-2 m 4m 1
2n 1 2
m
2
4m 4m 1
n
6n 3 ，因此-2m 2 4m 1 . 0，.
2
6n 3
n m
又m N ，且m 1，因此m = 2，如今n = 12、
=12，使数列｛丁 ]■中的T T T 成等比数列。

2
d
m
1 4m 4m 1 6
，故
i
< -
6
1 n
芒， 2 C 左焦点F (-10)，设直线]:x n
冃口 2 '即 2m —4m
—1 ：：： 0，
〔以下同上〕。

二(
3m ? +4)y ? -6my- 9=0n y i+y 2 = =my -1(m = 0) 62m
( 1) 3m 2 4 -9 y 1 y 2 2—- (2)
3m + 4 且厶.0恒成立， I' A(2,0)'由 A P A B =3=
(治-2,y 1)
(X 2 -2皿)=3= (x^2)(x^2) y 1y^3 (my 1 -3)(my 2 -3) y 』2 =3 即(m 2 1)力丫2 -3m(y 1 y ：) 6 = 0 将〔1〕〔 2〕代入上式解得 2 15，•• m 2
= — m
9
〔2〕假设点B 恰为椭圆的左顶点， ,15，•直线l 的方程是：3x 「15y * = 0 =± -3
即 B(-2,0)，如今 l : y1
，• y = — (x + 2)
X 1 2
6y i M 2(
4, ) x 1 +2 直线PA 方程为 ，
1
(x-2) M 1(
4,
X 1 — 2
X 1 — 2
那么有
y i
，设存在点
2y 1
) D(t,0)'
使得 一 DM 1 _ DM 2 = 0 - DM 1 DM 2 = 0 - (4 -1) $
P(x i ,y i )在椭圆 C 上, A 3x i 2 4y i 2 =12 二 2
y i
代入上式得 3 ，解得t (4 -t)2
12 (-一)=0
4
/ _4
1 或 7 ,• D(1,0)或 D(7,0)
I
如今直径
| M 1M 2 |=|
6y
2y 1
x 1 2
当且仅当 6% 2% X 1 2 2 - X 1
M
〕因为 f(x)=ae 当 x ：
0时，-x 0，那么 f(x) = f(-x) =e 21、解: i 辿•辿_2 X 1 _2
X 1
2 2 _ X 1
x 1 = 1 '卩仆丄3
) ' '
S min = 3 兀=9北 x 为单调函
数，故f (°)邛，得 丄，综上： a =1,
f ( — $ ,x c 0
因此当x 0时， x ，那么 x x 玉0 ，g(x) =e + kx —1，
g (x) = k — e ① 假设k 乞1,那么当x 空0时，一 x _ 0,e 」_1,—e 」二「1, k —e 」空k 一1乞0 , g(x)为减
函数，而g(0) =0，从而当x _ 0时，g(x) _ g(0)，符合题意；
② 假设k 1时，那么当x ・(「弋-1 nk)时，g'(x) ：：：
［., g(x)为减函数， 当x ・(-1 nk,0)时，g (x) . 0 , g(x)为增函数，因此g (x) ：：：
g(0) = 0不合题意， •••综合①②可得
〔2〕因为任意
当1 t _0时， 当1 t :: 0时， 故m • t 0，故 k 的取值范围为(一©1]。

x [1,m]，都有 f (x t) zex ，故 f (1 t) ze 且 f (m t) Eem e 1 ' < e ，从而 1 t _1，「一 1 _t _0 e 工 ° 岂 e ，从而 一(1 t)乞 1，：••一 2 _ t ：
-1，综上 得. f (m t) _em 得. -2 _t _ 0， e mt ^em ，即存在t ・
［-2,0］，满足』 ...em
— m
e 2，即 e m -e 3
m =e em t
■ p ~m —{ e } min e
令 g(x)二e x 「e 'x ，x [2, <0^ 母)，那么 g'(x) = e X —e 3 x ・
(2,3)时，g '(x) ::: 0，g(x)单调递减； x (3,=：)时，g '(x) 0， g(x)单调递增， 又
3 3 3 3 2 g(3) 2e
：： 0，g(2) e ：： 0，g(4) = e (e-4) ：：
0，g(5)=e(e —4) 0 由此可见，方程g(x H 0在区间［2,；)上有唯一解m °・(4,5)，且当X ・
［2,m 。

］时 g(x)岂0，当 x ［m 0,：：
)时 g(x) 一0，m Z ，故 m max = 4，如今 t = -2.
下面证明：f(x-2)=e2乜ex 对任意［1,4 ］恒成立， ① 当 xf1,2］时，即 e 2^ 兰ex ，等价于 e*e x ，
:' xf1,2］，• e^e,^1，xe X
色 e ② 当［2,4］时，即e x 「ex ，等价于{e x ‘ -x}max 乞0 令 h(x) e X '-x '那么 h'(x)二e X
”-1，• h(x)在(2,3)上递减，在(3,4)上递增， 'hmax
二 max{ h ⑵
,
h(4)}
'而 h(2) = 1
- 2 ：： 0, h(4) e - 4 ：： 0 '
e
f(x-2)辽ex 对任意［1,4］恒成立。

综上所述,。