离散数学4

存在量词与全称量词
(1).存在量词：记作∃，表示“有些”、“有一个”、“某
些”、“至少一个”等。

∃xF(x):表示存在着客体域中的客体具有性质F。

当且仅当论域中至少有一个x0使得F(x0)为T 时，∃xF(x)为真。

(2).全称量词：记作∀，表示“每个”、“任何一个”、
“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。

∀xF(x):表示客体域里所有的客体都有性质F。

当且仅当对论域中所有的x来说，F(x)均为T 时，∀xF(x)为真。

2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的符号表达式与论域有关系。

例如
1.每个自然数都是整数。

(1).如果论域是自然数集合N，令I(x)：x是整数，则命题的表达式为∀xI(x)
(2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式∀xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此表达式已经不能表达原命题了。

因此需要添加谓词N(x)：x是自然数，用于表明x的特性，于是命题的符号表达式为
∀x(N(x)→I(x))
2.有些大学生吸烟。

(1).如果论域是大学生集合S，令A(x)：x吸烟，则命题的表达式为∃xA(x)
(2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式∃xA(x)表示“有些客体吸烟”，就不是表示此命题了，故需要添加谓词S(x)：x是大学生，用于表明x的特性，于是命题的表达式为
∃x(S(x)∧A(x))
⏹从上述两个例子可以看出，命题的符号表达式与论域有关。

当论域扩大时，需要添加用来表示客体特性的谓词，称此谓词为特性谓词。

特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词。

如上面两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。

⏹如何添加特性谓词，这是个十分重要的问题，这与前边的量词有关。

⏹特性谓词的添加方法如下：
⏹如果前边是全称量词，特性谓词后边是蕴含联结词“→”；如果前边是存在量词，特性谓词后边是合取联结词“∧”。

结论：
对一个给定命题符号化的程度是无止境的，但是符号化的程度越深，所得结果越复杂，所以，并不是符号化的程度越深就越好，而是在能满足推理需求的前提下，越简单越好。

小结
1.命题的符号表达式形式与论域有关系。

论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。

2.如果量词前有否定符号，如“没有...”“不是所有
的...”等，可以按照字面直译。

如“⌝∃x…”
“⌝∀x...”
3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约束变元，
才表示命题。

有时给定命题中有些量词没有明确给出，要仔细分析并写出这隐含的量词。

例如
a) 金子闪光，但闪光的不一定都是金子。

G(x),F(x)∀x(G(x)→F(x))∧⌝∀x(F(x) →G(x))
b) 没有大学生不懂外语。

S(x),K(x,y),F(x)
⌝∃x(S(x)∧∀y(F(y)→⌝K(x,y)))
有限域下公式(∀x)P(x)、(∃x)P(x)的表示法⏹设论域为{a1，a2，⋯，a n}，则有
⏹(∀x)P(x)= P(a1)∧P(a2)∧⋯∧P(a n)
⏹(∃x)P(x) = P(a1)∨P(a2)∨⋯∨P(a n)
在域{a1，a2}上多次量化公式(∀x)(∀y)F(x,y)⇔(∀x)((∀y)F(x,y))
⇔(∀y)F(a1,y)∧(∀y)F(a2,y)
⇔F(a1, a1)∧F(a1, a2)∧F(a2, a1)∧F(a2,a2)
⇔F(a1, a1)∧F(a2, a1)∧F(a1, a2)∧F(a2,a2)
⇔(∀x)F(x,a1)∧(∀x)F(x,a2)
⇔(∀y)(∀x)F(x,y)
(∃x)(∃y)F(x,y)⇔(∃x)((∃y)F(x,y))
⇔(∃y)F(a1,y)∨(∃y)F(a2,y)
⇔F(a1, a1)∨F(a1, a2)∨F(a2, a1)∨F(a2,a2)
⇔F(a1, a1)∨F(a2, a1)∨F(a1, a2)∨F(a2,a2)
⇔(∃x)F(x,a1)∨(∃x)F(x,a2)
⇔(∃y)(∃x)F(x,y)
在域{a1，a2}上多次量化公式(∃x)(∀y)F(x,y)⇔(∃x)((∀y)F(x,y))
⇔(∀y)F(a1,y) ∨(∀y)F(a2,y)
⇔(F(a1, a1)∧F(a1, a2))∨(F(a2, a1)∧F(a2, a2))
(∀y)(∃x) F(x,y)⇔(∀y) ((∃x)F(x,y))
⇔(∃x)F(x, a1) ∧(∃x)F(x, a2)
⇔(F(a1, a1)∨F(a2, a1))∧(F(a1, a2)∨F(a2, a2))
(∃x)(∀y)F(x,y)≠(∀y)(∃x) F(x,y)
2-3谓词演算的等价式与蕴涵式⏹在命题逻辑中，我们是通过对公式的命题变元赋值来讨论永真式、永真蕴含式及等价公式的。

⏹在谓词演算中，也要讨论一些重要的谓词公式。

但是由于谓词公式中可能有命题变元、客体变元。

对命题变元赋值比较容易，因为只有两个值可赋。

而对客体变元作指派却不那么简单，因为论域中的客体可能有无限个。

另外谓词公式的真值还与论域有关。

2-3.1 对谓词公式赋值
⏹对谓词公式G的赋值I包括以下几点：
（1）指定一个个体域D；
（2）对公式中出现的每个函词，指定D上的客体函数；
（3）对公式中出现的每个谓词，指定D上的谓词；
（4）对公式中出现的每个客体常量和自由变元，指定D中的一个客体；
（5）对公式中出现的每个命题变元，指定一个真值（T或F）。

⏹这样可以得到一个命题G1，称G1的真值为G在I下的真值。

⏹例如公式P→N(x)，N(x)：x是自然数，论域为实数集合R，
令P：2>1，x=4 时，此公式变成P→N(4)，它的真值就是
“T”。

若x=2.5，此公式变成P→N(2.5)，它的真值就是
“F”。

谓词公式的分类
⏹定义：设G为一个公式，如果G在任何赋值下
都是真的，则称G为普遍有效式（或永真式）；
如果G在任何赋值下都是假的，则称G为不可
满足式（矛盾式）；若至少存在一个赋值使G 为真，则称G是可满足式。

⏹由于公式的复杂性和赋值的多样性，到目前为
此，还没有一个可行的算法判断某一公式是否是可满足的或不可满足的。

但对某些特殊的公式还是可以判断的。

普遍有限式（永真式）
⏹(∀x)F(x)→(∃x)F(x)
⏹(∀x)F(x)→((∀x)(∃y)G(x,y)→(∀x)F(x ))
⏹(∀x)F(x)→((∀x)F(x) ∨(∃y)G(y))
可满足式
⏹(∀x)P(x)
个体域{人} P(x)：x是要死的。

（T）
个体域{实数} P(x)：x是整数。

（F）
⏹(∃x)P(x)
个体域{人} P(x)：x是学生。

（T）
个体域{负数} P(x)：x是正数。

（F）
⏹(∀x)(∃y)F(x,y)→(∃x)(∀y)F(x,y)
个体域{自然数} F(x,y)：x=y则命题为假。

若F(x,y)：x≤y 则命题为真。

2-3.3 谓词公式的等价公式定义
定义：给定谓词公式A、B，若对A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值
相同（即A⇆B为永真式），则称A与B等价，记作A B。

2-3.4 谓词公式的永真蕴含式定义⏹定义：给定谓词公式A、B，如果A→B为永真式，则称A永真蕴含B，记作A⇒B。

⏹例如：(G(x)∧N(x))⇒N(x)
2-3.5.重要的谓词等价公式和永真蕴含式
一.由命题公式推广出的公式
命题公式中常常用到的等价式及永真蕴含式也可以看作是谓词演算中的等价式及永真蕴含式，其中每一命题变元用谓词演算公式代入后仍保持其等价关系及永真蕴含关系。

例如
A(x)⇒A(x)∨B(x) P⇒P∨Q
∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x)) P→Q⇔⌝P∨Q ⌝(∃xA(x)∧∃xB(x))⇔⌝∃xA(x)∨⌝∃xB(x) 摩根定律
二.量词否定公式
⏹我们还是先用一个例子说明这个问题。

令
Ａ(x)表示x是优等生，论域是某班级的学生集合。

⏹⌝∀xA(x)表示：不是所有人都是优等生。

∃x⌝A(x)表示：有些人不是优等生。

⏹⌝∃xA(x)表示：没有人是优等生。

∀x⌝A(x)表示：所有人都不是优等生。

⏹从这个例子可以看出
“不是所有人都是优等生。

”与“有些人不是优等生。

”是等价的。

“没有人是优等生。

”与“所有人都不是优等生。

”
是等价的。

于是有：
量词转换公式
1. ⌝∀xA(x)⇔∃x⌝A(x)
2. ⌝∃xA(x)⇔∀x⌝A(x)
证明：设论域为{a
1,a
2
,....,a
n
}，则
⌝∀xA(x)⇔⌝(A(a1)∧A(a2)∧...∧A(a n))⇔⌝A(a1)∨⌝A(a2)∨...∨⌝A(a n)
⇔∃x⌝A(x)
类似可以证明另一个公式。

1. ⌝∀xA(x)⇔∃x⌝A(x)
2. ⌝∃xA(x)⇔∀x⌝A(x)
证明：从语义上证明2。

对任意赋值I(D)，设⌝∃xA(x)为真，则∃xA(x)为假，即对任意的x∈D，A(x)为假，所以，对任意的x∈D，⌝A(x)为真，即∀x⌝A(x)为真，因此
⌝∃xA(x)⇒∀x⌝A(x)。

对任意赋值I(D)，设∀x⌝A(x)为真，则对任意的x∈D，⌝A(x)为真，即对任意的x∈D，A(x)为假，所以∃xA(x)为假，⌝∃xA(x)为真，因此
∀x⌝A(x)⇒⌝∃xA(x)。

从这两个公式，可以总结出如下规律：将量词前的“⌝”移到量词的后边，或者将量词后的“⌝”移到量词的前边时，量词也随着改变，如果原来是全称量词改成存在量词，如果原来是存在量词改成全称量词。

所以我们也把这两个公式称为量词转换公式。

三.量词作用域的扩张公式
1. ∀xA(x)∨B⇔∀x(A(x)∨B)
2. ∀xA(x)∧B⇔∀x(A(x)∧B)
3. ∃xA(x)∨B⇔∃x(A(x)∨B)
4. ∃xA(x)∧B⇔∃x(Ａ(x)∧B)
5. B→∀xA(x)⇔∀x(B→A(x))
6. B→∃xA(x)⇔∃x(B→A(x))
7. ∀xA(x)→B⇔∃x(A(x)→B)
8. ∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)
∀xA(x)∧B⇔∀x(A(x)∧B)
证明：设D、I是使∀xA(x)∧B为T的个体域和解释，则D、I时B为T且∀xA(x)为T，所以D、I使A(x)对一切x为T，
即D、I使A(x)∧B对一切x为T，
即D、I使∀x(A(x)∧B)为T.
反之，上述证明可逆。

所以∀xA(x)∧B ⇔∀x(A(x)∧B)。

⏹B→∃xA(x)⇔∃x(B→A(x)
⏹证明：
B→∃xA(x)⇔⌝B∨∃xA(x)⇔∃x(⌝B∨A(x))⇔∃x(B→A(x))
⏹∀xA(x)→B⇔∃x(A(x)→B)
⏹证明：
∀xA(x)→B⇔⌝∀xA(x)∨B⇔∃x⌝A(x)∨B ⇔∃x(⌝A(x)∨B)⇔∃x(A(x)→B)
四.量词分配公式
1. ∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
2. ∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
⏹个体域：{某班学生}
⏹A(x)：x 是高才生。

⏹B(x)：x 是运动健将。

证明：设论域为{a 1,a 2,....,a n }，
∃x(A(x)∨B(x))
⇔(A(a 1)∨B(a 1))∨(A(a 2)∨B(a 2))∨…∨(A(a n )∨B(a n ))⇔(A(a 1)∨A(a 2)∨...∨A(a n ))∨
(B(a 1)∨B(a 2)∨...∨B(a n ))
⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
五.带有量词的蕴含式
1. ∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)
2. ∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))
⏹注意公式1.和2.不是等价公式，而是蕴含式。

⏹我们可以举一个反例，设A(x)和B(x)分别表示
“x是奇数”和“x是偶数”，个体域为{自然数}。

显然命题∃xA(x)∧∃xB(x)为真。

而
∃x(A(x)∧B(x))是表示命题“存在一些数既是奇数，也是偶数”，显然不为真。

所以说由∃xA(x)∧∃xB(x)不能推出
∃x(A(x)∧B(x)).
∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)的证明
证明：假设在论域D和赋值I下前件
∃x(A(x)∧B(x))为真，
则论域中至少有一个客体a，使得
A(a)∧B(a)为真，于是A(a)和B(a)都为
真，所以有∃xA(x)以及∃xB(x)为真，进而得
∃xA(x)∧∃xB(x)为真。

于是有
∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)
∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))的证明类似。

3.∀x(A(x)→B(x))⇒∀x A(x)→∀x B(x)
⏹论域：{某班学生}
⏹A(x)：x是高才生；
⏹B(x)：x是运动健将。

⏹为使∀x(A(x)→B(x))为真，论域内学生分布只
有两个可能：
⏹（1）班上所有学生既是高才生又是运动健将；
⏹（2）班上有的学生不是高才生，但凡是高才
生必是运动健将。

⏹此时，∀x A(x)→∀x B(x)显然为真。

3.∀x(A(x)→B(x))⇒∀x A(x)→∀x B(x)
⏹论域：{某班学生}
⏹A(x)：x是高才生；
⏹B(x)：x是运动健将。

⏹（1）班上有的高才生不是运动健将；
⏹（2）有的学生不是高才生。

⏹当论域中的学生分布满足以上两个条件时，∀x A(x)→∀x B(x)为T，而
∀x(A(x)→B(x))为F。

3.∀x(A(x)→B(x))⇒∀x A(x)→∀x B(x)
⏹用解释法证明：
⏹设在一赋值I、D下，有
∀x(A(x)→B(x))为T，则对D中
的任何一个客体x，有A(x)→B(x)为T，这必能保证∀xA(x)为T时，∀xB(x)为T，从而
∀x A(x)→∀x B(x)为T。

六．两个量词的公式
⏹对于二元谓词，如果不考虑自由变元，可以有
以下几种情况：
⏹∀x∀yA(x,y)，∀y∀xA(x,y)
⏹∃x∃yA(x,y)，∃y∃xA(x,y)
⏹∀x∃yA(x,y)，∃y∀xA(x,y)
⏹∀y∃xA(x,y)，∃x∀yA(x,y)
⏹A(x,y)：x与y同姓。

⏹x的论域：{甲村的人} y的论域：{乙村的人}
有如下一些公式：
1. ∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)
2. ∀x∀yA(x,y)⇒∃y∀xA(x,y)
3. ∃y∀xA(x,y)⇒∀x∃yA(x,y)
4. ∀x∃yA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)
5. ∀y∀xA(x,y)⇒∃x∀yA(x,y)
6. ∃x∀yA(x,y)⇒∀y∃xA(x,y)
7. ∀y∃xA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)
8. ∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)注意：下面式子不成立
∀x∃yA(x,y)⇒∃y∀xA(x,y)
⏹实际上，根据⇒具有传递性，还可以派生出一些公式。

下面我们只证明一个等价公式。

用谓词逻辑推理方法很容易证明上面那些永真蕴涵式，在此就不证明了。

下面证明公式1.。

⏹证明：设论域为{a1,a2,....,a n}，则
∀x∀yA(x,y)⇔∀yA(a1,y)∧∀yA(a2,y)∧…∧∀yA(a n,y)
⇔(A(a
1,a
1
)∧A(a
1
,a
2
)∧…∧A(a
1
,a
n
))∧
(A(a
2,a
1
)∧A(a
2
,a
2
)∧…∧A(a
2
,a
n
))∧…∧
(A(a
n ,a
1
)∧A(a
n
,a
2
)∧…∧A(a
n
,a
n
))
⇔(A(a
1,a
1
)∧A(a
2
,a
1
)∧…∧A(a
n
,a
1
))∧
(A(a
1,a
2
)∧A(a
2
,a
2
)∧…∧A(a
n
,a
2
))∧…∧
(A(a
1,a
n
)∧(A(a
2
,a
n
)∧…∧A(a
n
,a
n
))
⇔∀xA(x,a
1)∧∀xA(x,a
2
)∧…∧∀xA(x,a
n
)
⇔∀y∀xA(x,y)
2-4前束范式
1.前束范式定义：
如果一个谓词公式符合下面条件，它就是前束范式：所有量词前面都没有联接词；
所有量词都在公式的左面；
所有量词的辖域都延伸到公式的末尾。

例如∃y∀x∃z(A(x)→(B(x,y)∨C(x,y,z)))
∀x(Ａ(x)→B(x))
就是前束范式，而∃xA(x)∧∀yB(y)
∀x∃y(A(x)→(B(x,y)∧∃zC(z)))
∃xA(x)→B(x) 这三个就不是前束范式。

结论：任意一个谓词公式均和一个前束范式等值。

2.前束范式的写法
1)消去公式中的联接词→和↔(为了便于量词辖
域的扩充)；
2)如果量词前有“⌝”，则用量词否定公式将“⌝”
后移。

再用摩根定律或求公式的否定公式，将
“⌝”后移到原子谓词公式之前。

3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则
对变元换名(为量词辖域扩充作准备)
4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束
范式形式。

⏹例1. ∀xA(x)→∃xB(x)
⇔⌝∀xA(x)∨∃x B(x)
⇔∃x⌝A(x)∨∃x B(x)
⇔∃x⌝A(x)∨∃y B(y) (换元)
⇔∃x(⌝A(x)∨∃y B(y)) (量词辖域扩充)⇔∃x∃y(⌝A(x)∨B(y))
⏹另一个方法：∀xA(x)→∃xB(x)
⇔⌝∀xA(x)∨∃x B(x)
⇔∃x⌝A(x)∨∃x B(x)
⇔∃x(⌝A(x)∨B(x)) (量词分配公式)
例2.∀x(P(x)∧R(x))→(⌝∃xP(x)∧Q(x))
⇔⌝∀x(P(x)∧R(x))∨(⌝∃xP(x)∧Q(x))(去→)
⇔∃x⌝(P(x)∧R(x))∨(∀x⌝P(x)∧Q(x)) (量词转换)
⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨(∀x⌝P(x)∧Q(x)) (后移⌝)
⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨(∀y⌝P(y)∧Q(z)) (换变元)
⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨∀y(⌝P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)⇔∃x∀y((⌝P(x)∨⌝R(x))∨(⌝P(y)∧Q(z)))(扩量词辖域)
注意：前束范式不唯一。

3.前束析取范式与前束合取范式：
前束析取范式:前束范式中量词后的括号内是析取范式形式。

前束合取范式:前束范式中量词后的括号内是合取范式形式。

上例的前束析取范式为:
∃x∀y(⌝P(x)∨⌝R(x)∨(⌝P(y)∧Q(z)))
上例的前束合取范式为:
∃x∀y((⌝P(x)∨⌝R(x)∨⌝P(y))
∧(⌝P(x)∨⌝R(x)∨Q(z)))
Skolem标准形
⏹前束范式对前束量词没有次序的要求，如果对前束范式进而要求所有存在量词都在全称量词的左边，或是只保留全称量词而消去存在量词，则得到Skolem标准形。

⏹注意：一个谓词公式与它的Skolem标准形一般只能保持在某种意义下的等值关系。

仅介绍只保留全称量词而消去存在量词的Skolem标准形。

⏹定理：谓词逻辑的任一个公式A，都可以化成
相应的Skolem标准形（只保留全称量词而消去存在量词），并且A是不可满足的当且仅当其Skolem标准形是不可满足的。

⏹注：定理说明对不可满足的公式A，它与其Skolem标准形是等值的，而一般的公式与其Skolem标准形并不是等值的，因此，仅当A 是不可满足的方使用Skolem标准形。

求∀x∃y∀z∃u(F(a,x,y)∧⌝G(u,b)∧⌝H(z))的Skolem标准形
⏹化为前束范式；
⏹消去存在量词∃
⏹∀x∃y∀z∃u(F(a,x,y)∧⌝G(u,b)∧⌝H(z))（消去∃y）
∀x∀z∃u(F(a,x,f(x))∧⌝G(u,b)∧⌝H(z))（消去∃u）
∀x∀z(F(a,x,f(x))∧⌝G(g(x,z),b)∧⌝H(z))其中，f、g是不曾在原公式中出现的符号。

∃x∀yF(x,y)的Skolem标准形为∀yF(a,y)。

2-5 谓词演算的推理理论
推理方法：
直接推理、条件论证、反证法
所用公式：等价式、蕴含式
推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG
⏹后四个规则，是处理量词的，因为推理时要使用不含量词的命题公式，所以要去掉量词，如果结论有量词，还要添加量词。

⏹下面介绍四个新规则：
一.全称特指规则US (Universal Specialization)
形式：∀xA(x)⇒A(c)
(其中c是论域内指定客体)
含义：如果∀xA(x)为真，则在论域内任何指定客体c，都使得A(c)为真。

作用：去掉全称量词。

要求：c不是A(x)中的符号。

例子：∀x(P(x，y)∨∃yQ(x，y))
P(c，y)∨∃yQ(c，y)
∀x(P(x，y) ∨∃yQ(x，y)
P(y，y) ∨∃yQ(y，y)
二.存在特指规则ES(Existential Specialization)
形式：∃xA(x)⇒A(c)
(其中c是论域内指定客体)
含义：如果∃xA(x)为真，则在论域内指定客体c，
都使得A(c)为真。

作用：去掉存在量词。

要求：⑴c不是A(x)中的符号。

⑵用ES指定的客体c不应该是在此之前用US规则或
者用ES规则所指定的客体c(即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。

(3) A（x）中除x外还有其他自由出现的个体变元时，
不能用词规则。

请看下面例子：
例1. 令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。

⑴∀x(A(x)→B(x)) P
⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1
⑶∃xA(x) P
⑷A(c) ×ES A(0.1)为F
⑴∃xB(x) P
⑵B(c) ES 如c=-1
⑶∃xA(x) P
⑷A(c) ×ES A(-1)为F
三.存在推广规则EG
(Existential Generalization)
形式：A(c)⇒∃xA(x)
(其中c是论域内指定客体)
含义：如果在论域内指定客体c使得
A(c)为真，则∃xA(x)为真。

作用：添加存在量词。

要求：x不是A(c)中的符号。

⏹例子：∀x P(x,c)∧∀z Q(c,z)
∃x (∀x P(x,x) ∧∀zQ(x,z)) ( )
∃y (∀x P(x,y) ∧∀z Q(y,z)) (√)
四.全称推广规则UG
(Universal Generalization)
形式：A(c)⇒∀xA(x)
(其中c是论域内任何指定客体)含义：如果在论域内任何指定客体c都使得A(c)为真，则∀xA(x)为真。

作用：添加全称量词。

要求：x不是A(c)中的符号。

c一定是任意的客体，否则不可全
称推广。

例：实数集中，(∀x)(∃y)(x>y)是真命题，但(∀x)(x>c)是假命题。

⏹(1) (∀x)(∃y)(x>y) P
⏹(2) (∃y)(z>y) US
⏹(3) z>c ES
⏹(4) (∀x)(x>c) UG
⏹因为(2)中的z为自由变元，所以不能用ES规则，事实上，c与z有关。

例子：下列推导是否有错误？
1.(1)∀y(P(y)∨Q(y)) P
(2)P(a)∨Q(b) US（1）
2.(1) ∀xP(x)→Q(x) P
(2) P(x)→Q(x) US（1）
3.(1) ∃xR(x) ∧∀x(Q(x) ∧R(x)) P
(2) R(a) ∧∀x(Q(x) ∧R(x)) ES（1）
与量词有关的重要等价式⏹∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)⏹∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
⏹⌝∃xA(x) ⇔∀x⌝A(x)
⏹⌝∀xA(x) ⇔∃x⌝A(x)
⏹∀x(A∨B(x)) ⇔A∨∀xB(x)
⏹∃x(A∧B(x)) ⇔A∧∃xB(x)
⏹∃x(A(x)→B(x)) ⇔∀xA(x)→∃xB(x)⏹∀xA(x)→B ⇔∃x(A(x)→B)
⏹A→∀xB(x) ⇔∀x(A→B(x))
⏹A→∃xB(x) ⇔∃x(A→B(x))。