密码学课程的渐进式教学案例化设计

第２９卷第３期北京电子科技学院学报
２０２１年９月
Ｖｏｌ.２９Ｎｏ.３ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｓｔｉｔｕｔｅＳｅｐ.２０２１
密码学课程的渐进式教学案例化设计
∗
张艳硕㊀刘天宁
北京电子科技学院ꎬ北京市㊀１０００７０
摘㊀要:作为信息安全专业的核心课程ꎬ密码学为信息安全提供了深刻的理论依据和丰富的应用实践ꎮ密码学在实际教学过程中面临着知识跨度广㊁实践性强㊁应用背景多等难点ꎮ因此ꎬ如何设计密码学课程的教学内容ꎬ如何改善密码学课程的教学方法一直是今后需要持续研究的问题ꎮ本文旨在提出密码学课程的渐进式教学案例设计ꎬ用实用性㊁教学性强的例子ꎬ由浅入深ꎬ循序渐进地去讲解密码学知识ꎬ使学生逐渐了解密码算法和应用ꎬ并逐渐适应和掌握学习密码学课程的方法ꎮ关键词:密码学ꎻ渐进式教学ꎻ教学设计ꎻ人才培养中图分类号:ＴＮ９１８ ４㊀㊀㊀文献标识码:Ａ
文章编号:１６７２－４６４Ｘ(２０２１)３－７３－８４
∗㊀基金项目:２０２０年教育部新工科项目 新工科背景下数学课程群的教学改革与实践 ㊁中央高校基本科研业务费(项目编号:３２８２０２００８)和教育部 信息安全 国家级一流本科专业建设点项目资助
∗∗㊀作者简介:张艳硕(１９７９ )ꎬ男ꎬ副教授ꎬ博士ꎬ硕士生导师ꎬ从事密码数学理论研究ꎮＥｍａｉｌ:ｚｈａｎｇ＿ｙａｎｓｈｕｏ＠１６３.ｃｏｍ
刘天宁(２０００－)ꎬ男ꎬ本科在读ꎬ信息安全专业ꎮＥｍａｉｌ:ｔｉａｎｎｉｎｇ＿０５１８＠ｑｑ.ｃｏｍ１㊀引言
随着信息技术的大规模应用和数字经济的加速发展ꎬ密码学在信息安全领域中的重要地位日益凸显ꎮ密码学是集数学㊁计算机科学以及通信与信息系统等多学科一体的交叉学科ꎬ涉及到的内容非常广泛[１]ꎮ密码学是一门注重密码理论与实践技能相结合的课程[２]ꎬ核心问题主要在于如何让学生建立密码学的基本学习框架和模型ꎬ并为建立信息安全的立体体系起到承上启下的作用ꎮ密码学教学是一个层次分明的渐进过程ꎮ
渐进式教学法是我国传统的教学方法ꎬ它产生和形成于我国深厚的文化背景中[３]ꎮ循序渐进是渐进式教学法的要旨ꎮ渐进式教学具有内容上由浅入深㊁由易到难的特点ꎬ便于学生学
习㊁理解㊁掌握和综合运用ꎮ渐进式教学方法已经在众多学科教学中应用ꎬ其实用性已经得到较为充分的证实ꎬ而目前密码学教学还没有较为完善㊁系统的渐进式教学模式的提出ꎮ
本文旨在提出密码学课程的渐进式教学案例设计ꎬ用实用性㊁教学性强的例子ꎬ由浅入深ꎬ循序渐进地去讲解密码学知识ꎬ使学生逐渐了解密码算法和应用ꎬ并逐渐适应和掌握学习密码学课程的方法ꎬ让学生轻松掌握更多的密码学知识ꎬ更好地培养学生的密码应用能力ꎬ适应密码学不断发展的大环境ꎮ
２㊀密码学课程的基本特征
２ １㊀课程知识面广
密码学是一门交叉学科ꎬ其内容繁多ꎬ覆盖
知识面非常广泛ꎬ课程难度大ꎬ理论性和应用性
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均比较强[４]ꎮ故密码学的学习需要很多前置课程作为基础ꎬ前置课程分别包含信息安全数学基础㊁概率论与数理统计㊁高等数学等ꎮ前置课程的知识量大㊁难度高ꎬ体现出密码学这门课程对数学基础的要求ꎮ学好密码学课程的前提条件是需要学生掌握基础的数论㊁代数等数学知识ꎬ如ＲＳＡ算法就需要模运算[５]以及中国剩余定理的基础知识ꎮ
２ ２㊀课程实践性强
对于大部分学生来说ꎬ学习密码学的目的在于日后如何更好应用其知识ꎮ如果完成密码学课程之后不知道在哪里应用ꎬ怎么应用ꎬ所学知识就很容易遗忘ꎮ因此ꎬ我们需要重视实践教学ꎬ让学生在学完这门课程之后知道如何应用自己所学到的密码知识ꎮ例如比特币挖矿机制的设计是基于密码学哈希函数的单向性ꎻ在区块链系统中ꎬ区块链账户地址的生成㊁数据传输还会用到支持加密和解密的密码体制ꎮ因此密码学课程的教学不应局限于基础算法与协议ꎬ还应强化其实践性ꎮ[５]
２ ３㊀课程应用面多
随着密码法的颁布ꎬ密码算法和应用将得到长足的发展ꎬ密码算法及其应用技术的不断发展与革新ꎬ使得密码学课程的内容更加实用ꎬ密码学课程的知识更加丰富[２]ꎮ因此密码学课程的教学应做到与时俱进ꎬ为学生提供最新密码算法㊁应用的相关知识ꎬ利用最新文献资料对相关密码学问题做进一步的研究ꎬ有效拓展学生的知识面ꎮ
３㊀密码算法渐进式教学案例设计从本质上讲ꎬ密码学的主要内容是一些具体的加密和签名算法ꎮ简而言之ꎬ密码学的主要内容是研究实现加密和认证的方法[６]ꎬ由此可见密码算法对于密码学课程的重要性ꎮ密码学算法的主要教学内容包括序列密码㊁分组密码㊁公钥密码㊁数字签名和ｈａｓｈ函数等ꎮ本节就前四块内容进行渐进式教学案例的设计ꎮ３ １㊀序列密码的渐进式教学案例设计
序列密码是密码学的一个重要分支ꎬ序列密码是学生最先接触的现代密码ꎮ学好序列密码可以为学生密码学的学习打好坚实的基础ꎮ采用渐进式教学案例设计可以让学生从简单算法入手ꎬ一步步比较简单算法和复杂算法的相同㊁不同点来学习结构框架较为类似的复杂算法ꎮ在进行序列密码教学时我们以ＺＵＣ－１２８和ＺＵＣ－２５６这两个先进国产序列密码算法为例ꎮ
ＺＵＣ算法ꎬ即祖冲之算法ꎬ是由我国学者自主设计的加密和完整性算法ꎬ它是移动通信３ＧＰＰ机密性算法ＥＥＡ３和完整性算法ＥＩＡ３的核心[７]ꎮＺＵＣ算法属于同步序列密码ꎬ也是中国第一个成为国际密码标准的算法ꎮ我们在教学中可以先通过学习了解ＺＵＣ－１２８算法来渐进学习适用于现在５Ｇ通信的ＺＵＣ－２５６算法ꎮＺＵＣ－１２８算法可以分为三部分ꎬ一个素域上的线性反馈移位寄存器ꎬ比特重组算法(ＢＲ)以及一个有限状态自动机(ＦＳＭ)[８]ꎮ(１)线性反馈移位寄存器
该ＬＦＳＲ由１６个３１比特寄存器组成ꎬ分别记为ｓ０ꎬｓ１ꎬ...ꎬｓ１５ꎮＬＦＳＲ的运行模式有２种:初始化模式和工作模式ꎮ
(２)比特重组
比特重组的目的是为了连接存储单元为３１比特字的ＬＦＳＲ和存储单元为３２比特字的ＦＳＭꎬ它从ＬＦＳＲ的中抽取１２８个比特组成４个３２比特字ꎬ分别记为Ｘ０㊁Ｘ１㊁Ｘ２㊁Ｘ３ꎮ(３)有限状态机
有限状态机ＦＳＭ由２个３２比特记忆单元组成ꎬ记为Ｒ１和Ｒ２ꎮＦＳＭ的输入为比特重组输出的其中３个３２比特字Ｘ０㊁Ｘ１㊁Ｘ２ꎬ它的输出为一个３２比特字Ｗꎮ
在完成ＺＵＣ－１２８算法学习后ꎬ我们采用渐进式教学的方法来学习更为复杂的ＺＵＣ－２５６算法ꎮ
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第２９卷密码学课程的渐进式教学案例化设计㊀
学生通过学习ＺＵＣ－１２８算法已经对ＺＵＣ系列整体结构有了较为深入的了解ꎬＺＵＣ－２５６和ＺＵＣ－１２８算法的结构相同[９]ꎬＺＵＣ－２５６同
ＺＵＣ－１２８算法的主要区别是:
(１)密钥长度从１２８比特提升到２５６比特(２)密钥加载方式及常数设置不同
(３)应用场景不同
我们通过ＺＵＣ－１２８的密钥加载方式㊁常数设置等和ＺＵＣ－２５６做出对比ꎬ见表１ꎬ让学生在了解ＺＵＣ－２５６整体结构的基础上ꎬ对其内部设计细节有更加直观㊁深入的学习ꎮ
表１㊀ＺＵＣ－１２８和ＺＵＣ－２５６内部设计细节及应用场景对比㊀算法名称
对比内容
ＺＵＣ－１２８ＺＵＣ－２５６㊀密钥长度１２８比特２５６比特
㊀密钥加载算法的密钥为:ｋ０ ｋ１ ｋ１５ꎬ
算法的ＩＶ为:ｉｖ０ ｉｖ１ ｉｖ１５ꎬ
密钥和ＩＶ以８比特字节为单位
密钥和ＩＶ加载方式:
㊀Ｆｏｒｉ＝０ｔｏ１５
㊀㊀ｓｉ＝ｋｉ ｄｉ ｉｖｉ
㊀Ｅｎｄ算法的密钥为:Ｋ３１ꎬＫ３０ꎬ ꎬＫ０
算法的ＩＶ为:
ＩＶ２４ꎬＩＶ２３ꎬ ꎬＩＶ１７ꎬＩＶ１６ꎬＩＶ１５ꎬ ꎬＩＶ０ꎬ
密钥为８比特字节ꎬＩＶ为１８４比特
ＩＶｉ(０ɤｉɤ１６)为８比特字节ꎬＩＶｉ(１７ɤｉɤ２４)为６比特长的比特串ꎬ
占据字节的低６位密钥和ＩＶ装载按照如下方式进行:
ｓ０＝Ｋ０ʊｄ０ʊＫ２１ʊＫ１６
ｓ１＝Ｋ１ʊｄ１ʊＫ２２ʊＫ１７
ｓ２＝Ｋ２ʊｄ２ʊＫ２３ʊＫ１８
ｓ３＝Ｋ３ʊｄ３ʊＫ２４ʊＫ１９
ｓ４＝Ｋ４ʊｄ４ʊＫ２５ʊＫ２０
ｓ５＝ＩＶ０ʊ(ｄ５｜ＩＶ１７)ʊＫ５ʊＫ２６
ｓ６＝ＩＶ１ʊ(ｄ６｜ＩＶ１８)ʊＫ６ʊＫ２７
ｓ７＝ＩＶ１０ʊ(ｄ７｜ＩＶ１９)ʊＫ７ʊＩＶ２
ｓ８＝Ｋ８ʊ(ｄ８｜ＩＶ２０)ʊＩＶ３ʊＩＶ１１
ｓ９＝Ｋ９ʊ(ｄ９｜ＩＶ２１)ʊＩＶ１２ʊＩＶ４
ｓ１０＝ＩＶ５ʊ(ｄ１０｜ＩＶ２２)ʊＫ１０ʊＫ２８
ｓ１１＝Ｋ１１ʊ(ｄ１１｜ＩＶ２３)ʊＩＶ６ʊＩＶ１３
ｓ１２＝Ｋ１２ʊ(ｄ１２｜ＩＶ２４)ʊＩＶ７ʊＩＶ１４
ｓ１３＝Ｋ１３ʊｄ１３ʊＩＶ１５ʊＩＶ８
ｓ１４＝Ｋ１４ʊ(ｄ１４｜(Ｋ３１)４Ｈ)ʊＩＶ１６ʊＩＶ９
ｓ１５＝Ｋ１５ʊ(ｄ１５｜(Ｋ３１)４Ｌ)ʊＫ３０ʊＫ２９
常数设置ｄ０＝０ｘ４４ｄ７ｄ１＝０ｘ２６ｂｃꎬ
ｄ２＝０ｘ６２６ｂｄ３＝０ｘ１３５ｅꎬ
ｄ４＝０ｘ５７８９ｄ５＝０ｘ３５ｅ２ꎬ
ｄ６＝０ｘ７１３５ｄ７＝０ｘ０９ａｆꎬ
ｄ８＝０ｘ４ｄ７８ｄ９＝０ｘ２ｆ１３ꎬ
ｄ１０＝０ｘ６ｂｃ４ｄ１１＝０ｘ１ａｆ１ꎬ
ｄ１２＝０ｘ５ｅ２６ｄ１３＝０ｘ３ｃ４ｄꎬ
ｄ１４＝０ｘ７８９１ｄ１５＝０ｘ４７ａｃ
ｄ０＝０１０００１０ｄ１＝０１０１１１１
ｄ２＝０１００１００ｄ３＝０１０１０１０
ｄ４＝１１０１１０１ｄ５＝１００００００
ｄ６＝１００００００ｄ７＝１００００００
ｄ８＝１００００００ｄ９＝１００００００
ｄ１０＝１００００００ｄ１１＝１００００００
ｄ１２＝１００００００ｄ１３＝１０１００１０
ｄ１４＝００１００００ｄ１５＝０１１００００
应用(１)适用于４Ｇ无线通信
(２)是新一代宽带无线移动通信系统
国际标准
(１)适用于５Ｇ应用环境下的２５６比特安全性
(２)对于认证部分的伪造攻击ꎬ可提供相当于标签长度的
安全性
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㊀㊀渐进式教学案例设计不仅可以让学生了解序列密码的基本流程㊁结构ꎬ还能让学生以更加清晰的学习脉络来了解最新的序列密码ꎬ同时也为学生日后学习序列密码提供新的思路ꎮ随着密码技术的发展ꎬ将来学生需要学习的序列密码位数可能达到５１２位甚至更多ꎬ在进行这些序列密码教学时ꎬ仍然可以采用渐进式教学方法ꎮ通过对比１２８㊁２５６位序列密码和这些高位数序列密码的不同点(主要还是在密钥加载㊁常数设置㊁应用领域等方面)ꎬ在理解这些序列密码的基本流程㊁结构后ꎬ更好地学习位数更长㊁更加复杂的序列密码ꎮ
３ ２㊀分组密码的渐进式教学案例设计
分组算法是现代密码学中的重要组成部分ꎬ是学生需要掌握的核心密码知识ꎬ采用渐进式教学案例设计可以让学生从基础算法入手ꎬ在掌握基础算法的基础上ꎬ不断学习基于这些算法的改进算法ꎬ从而渐进地学习掌握分组密码的核心思想ꎬ提升学生分组密码的知识理论水平ꎮ(１)在进行分组密码的多重加密算法教学时我们以ＤＥＳ和３ＤＥＳ算法为例ꎮ
ＤＥＳ全称为ＤａｔａＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＳｔａｎｄａｒｄꎬ即数据加密算法ꎬ它是一种分组密码体制ꎬ１９７７年由美国国家标准局颁布为数据加密标准ꎮ[１０]
ＤＥＳ算法的核心思想是:复杂函数可以通过简单函数迭代若干轮得到ꎬ因此可以充分利用Ｆ函数及非线性运算ꎮＤＥＳ采用典型的Ｆｅｉｓｔｅｌ结构迭代分组密码ꎮ
在完成ＤＥＳ算法的学习后ꎬ我们采用渐进式教学的方法来学习以ＤＥＳ算法为基础的３ＤＥＳ算法ꎮ我们通过学习ＤＥＳ算法已经对分组密码整体结构有了基础了解ꎬ而所谓的３ＤＥＳ加密算法ꎬ指的是通过同一算法和３个密钥对明文加解密３次[１１]ꎬ称为 三重加解密 ꎬ我们可以认为３ＤＥＳ算法＝ＤＥＳ算法＋３密钥ꎮ我们在了解ＤＥＳ的基础上ꎬ对３ＤＥＳ内部设计细节(ＤＥＳ如何与密钥相结合)以及密钥选取进行更加针对性的学习ꎮ我们在授课时可以按照表２内容进行重点教学ꎮ
表２㊀ＤＥＳ和３ＤＥＳ算法重点教学内容对比
算法ＤＥＳ３ＤＥＳ
重点教学内容
Ｆｅｉｓｔｅｌ结构
函数迭代思想
ＤＥＳ的具体算法
ＤＥＳ与密钥结合的过程
３条密钥的选取
㊀㊀３ＤＥＳ是ＤＥＳ加密算法的一种模式ꎬ它使用３条６４位的密钥对数据进行三次加密ꎮ它以ＤＥＳ为基本模块ꎬ通过组合分组方法设计出分组加密算法ꎮＫ代表ＤＥＳ算法使用的密钥ꎬＫ１㊁Ｋ２㊁Ｋ３决定了算法的安全性ꎬ若三个密钥互不相同ꎬ本质上就相当于用一个长为１６８位的密钥进行加密ꎮ[１２]
通过渐进式教学我们可以清晰地掌握３ＤＥＳ算法的核心是ＤＥＳ算法的实现以及ＤＥＳ算法所对应密钥的选取和使用ꎮ在３ＤＥＳ算法的教学上ꎬ我们可以将重心移到３条６４位密钥的选取以及密钥如何与ＤＥＳ结合上ꎮ渐进式教学同样也适用于其他多重加密分组密码ꎬ将来在教学时可能会出现重数更多的ＤＥＳ算法或其他分组密码的多重加密算法ꎬ在进行这些分组密码教学时ꎬ我们还应在介绍其基本算法的基础上将教学重点放在该算法和密钥结合过程以及算法与对应密钥的选取和使用上ꎮ
(２)在进行分组密码的算法及其标准教学时我们以Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法和ＡＥＳ为例ꎮ
Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法是由比利时学者ＪｏａｎＤａｅｍｅｎ和ＶｉｎｃｅｎｔＲｉｊｍｅｎ所提出的ꎬＲｉｊｎｄａｅｌ算法是基
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于代换－置换网络的迭代算法ꎮ明文数据经过多轮次的转换后方能生成密文ꎬ每个轮次的转换操作由轮函数定义ꎮ轮函数任务就是根据密钥编排序列(即轮密码)对数据进行不同的代换及置换等操作ꎮ
图１㊀Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法具体流程
㊀㊀图１左侧为轮函数的流程ꎬ主要包含４种主要运算操作:字节代换(ＳｕｂＢｙｔｅ)㊁行移位(ＳｈｉｆｔＲｏｗ)㊁列混合(ＭｉｘＣｏｌｕｍｎ)㊁轮密钥加(Ａｄ￣ｄＲｏｕｎｄＫｅｙ)ꎮ图右侧为密钥编排方案ꎬ在Ｒｉｊｎｄａｅｌ中称为密钥扩展算法(ＫｅｙＥｘｐａｎｓｉｏｎ)ꎮ在完成Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法的学习后ꎬ我们采用渐进式教学的方法来学习ＡＥＳꎮ由一般到特殊的过程是渐进式学习的基本过程ꎮ在学习密码学的过程中ꎬ我们可以以渐进的方式发现密码算法的特点ꎬ掌握其基本规律ꎬ由浅入深ꎬ通过案列的分析对比来解决密码学中的重㊁难点算法ꎮＡＥＳ(高级加密标准)ꎬ在密码学中又称Ｒｉ￣ｊｎｄａｅｌ加密法ꎬ是美国联邦政府采用的一种区块加密标准ꎮ
ＡＥＳ和Ｒｉｊｎｄａｅｌ加密法并不完全一样(虽然在实际应用中二者可以互换)ꎬ因为Ｒｉｊｎｄａｅｌ加密法可以支持更大范围的区块和密钥长度ꎮ可以说ＡＥＳ就是Ｒｉｊｎｄａｅｌ的子集ꎮＡＥＳ和Ｒｉｊｎｄａｅｌ结构类似[１３]ꎬ但是其块大小以及密钥长度不同ꎬ我们在进行密码学教学时可以在学习Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法的基础上通过研究分组大小以及密钥长度对算法的影响来渐进学习ＡＥＳꎬ将二者算法融会贯通ꎮ下表３可以作为我们渐进学习的对照表ꎮ
表３㊀Ｒｉｊｎｄａｅｌ和ＡＥＳ渐进式教学内容对比
ＲｉｊｎｄａｅｌＡＥＳ
分组大小１２８/１６０/１９２/２２４/２５６位１２８位
密钥长度１２８/１６０/１９２/２２４/２５６位１２８/１９２/２５６位轮函数(１)字节代换㊁行移位㊁列混合㊁轮密钥加
(２)轮数:１０轮到１４轮基于Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法密钥扩展１２８/１９２/２５６位密钥分别生成１１/１３/１５组１２８位的轮密钥基于Ｒｉｊｎｄａｅｌ算法
㊀㊀最后我们需要在教学时强调ＡＥＳ不等于ＲｉｊｎｄａｅｌꎬＡＥＳ是Ｒｉｊｎｄａｅｌ的子集ꎮ同样渐进式教学为我们将来学习分组密码的加密标准提供了新的教学思路ꎮ在进行分组密码的算法及其
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标准教学时ꎬ我们可以先介绍其密码算法ꎬ再在学习算法的基础上通过比对两者在分组大小㊁密钥长度㊁轮函数构成㊁密钥扩展等方面的区别来渐进学习分组密码的加密标准ꎮ(３)在进行加密结构近似的分组密码教学时我们以ＬＢｌｏｃｋ和ＵＢｌｏｃｋ算法为例ꎮ
在学习密码学的过程中ꎬ密码算法的整体结构往往对密码算法的安全性起到决定性作用ꎬ故学习密码算法的结构应是密码学教学的重点ꎬ本
文将以ＬＢｌｏｃｋ和ＵＢｌｏｃｋ这两个结构近似的国产分组算法为例ꎬ采用渐进式教学的方法来介绍如何学习结构近似的分组算法ꎮ
ＬＢｌｏｃｋ是２０１１年吴文玲提出的轻量级分组
密码算法[１４]ꎬ采用３２轮的Ｆｅｉｓｔｅｌ￣ＳＰ加密结构ꎬ分组长度为６４比特ꎬ密钥长度为８０比特ꎮ
记第ｉ轮加密输入为Ｘ２ｉꎬＸ２ｉ＋１ꎬ输出为Ｘ２ｉ＋２ꎬＸ２ｉ＋３ꎬ即明文Ｐ＝Ｘ０ Ｘ１ꎬ密文Ｃ＝Ｘ６４
Ｘ６５ꎬ加密流程如图２所示:
图２㊀ＬＢｌｏｃｋ加密流程
㊀㊀ＬＢｌｏｃｋ密钥扩展算法包含循环移位㊁４比特Ｓ盒㊁常数异或三种简单操作ꎬ便于硬件实现ꎮ
我们在教学的时候可以重点介绍ＬＢｌｏｃｋ算法的Ｆｅｉｓｔｅｌ￣ＳＰ加密结构ꎮ
Ｆｅｉｓｔｅｌ和ＳＰＮ结构是分组密码最重要的两
个结构组件ꎬ分析这两个结构对分组密码具有重要意义ꎬ应用Ｆｅｉｓｔｅｌ结构或者ＳＰＮ结构类型的分组密码有ＭＩＢＳ㊁Ｃａｍｅｌｌｉａｌ㊁Ｅ２㊁ＤＥＳ等ꎮ[１５]
我们在进行ＵＢｌｏｃｋ教学时ꎬ可以针对之前ＬＢｌｏｃｋ算法的Ｆｅｉｓｔｅｌ￣ＳＰ加密结构进行拓展ꎬ渐进地学习ＵＢｌｏｃｋ的ＰＸ结构ꎮ
ＵＢｌｏｃｋ是２０１９年吴文玲提出的国产分组
密码ꎬ分组长度和密钥长度支持１２８和２５６比
特ꎮＵＢｌｏｃｋ的整体结构称为ＰＸ结构[１６]ꎮＰＸ
结构是ＳＰ结构的一种细化结构ꎬＰＸ是ＰｓｈｕｆｂＸｏｒ的缩写ꎬＰｓｈｕｆｂ和Ｘｏｒ分别是向量置换和异或运算指令ꎮ采用Ｓ盒和分支数的理念ꎬ
ＰＸ结构针对差分分析和线性分析具有可证明的安全性ꎬ对于不可能差分分析㊁积分分析㊁中间相遇攻击等分析方法具有相对成熟的分析评估理论支持ꎮ在同等安全情况下ꎬＰＸ结构具有更好的软件和硬件实现性能ꎮ
我们可以在掌握Ｌｂｌｏｃｋ算法的Ｆｅｉｓｔｅｌ￣ＳＰ结构的基础上ꎬ渐进地学习具有细化Ｆｅｉｓｔｅｌ￣ＳＰ结构的ＵＢｌｏｃｋ算法ꎮ
ＰＸ结构如图３所示:
图３㊀ＵＢｌｏｃｋ算法的ＰＸ结构
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㊀㊀渐进式教学案例设计可以让学生在完成Ｌｂｌｏｃｋ算法的学习后ꎬ通过对比Ｌｂｌｏｃｋ算法的Ｆｅｉｓｔｅｌ￣ＳＰ结构与ＵＢｌｏｃｋ算法的ＰＸ结构来渐进学习两个加密结构近似的分组算法ꎬ也为日后学生学习加密结构近似的密码算法开拓学习思路ꎮ３ ３㊀公钥密码的渐进式教学案例设计
公钥密码是现代密码学的重要分支[１７]ꎬ但是公钥密码技术大都基于复杂的数学难题ꎬ如陷门单向函数等ꎮ其中包含的算法也涉及到大数分解㊁离散对数等数学问题ꎬ相关的数学理论公式繁多ꎬ比较难以理解ꎬ对于数学基础一般的学生更是挑战ꎮ而采用渐进式教学案例设计可以为学生提供一种快速㊁高效学习复杂㊁变种公钥算法的方式ꎮ在进行公钥密码教学时我们以ＲＳＡ和ＩＳＲＳＡＣ算法为例ꎮ
由于ＲＳＡ算法的广泛应用以及该算法与后续数字签名课程的联系ꎬ我们采用ＲＳＡ及其变种算法进行公钥密码渐进式教学方法的设计ꎮＲＳＡ公开密钥密码体制的原理是:根据数论ꎬ寻求两个大素数比较简单ꎬ而将它们的乘积进行因式分解却极其困难ꎬ因此可以将乘积公开作为加密密钥ꎮ
基于ＲＳＡ算法的案例教学目的在于提高学生对于涉及复杂数学问题的公钥密码技术的兴趣和理解能力ꎬ也为后续复杂㊁变种公钥算法学习打下理论和实践基础ꎮ
我们在教学时可以为学生介绍较为前沿的ＲＳＡ变种算法ꎬ让学生了解较新㊁实用的公钥密码算法ꎮ
２０１８年３月ꎬＴａｎｇａｖｅｌ和Ｖａｒａｌａｋｓｈｍｉ提出了 用于云数据机密性的改进安全ＲＳＡ密码系统(ＩＳＲＳＡＣ) ꎬ[１８]在他们的项目中ꎬＩＳＲＳＡＣ被证明比ＲＳＡ更安全ꎮ
学习ＩＳＲＳＡＣ算法可以让学生接触到较为前沿的ＲＳＡ变种算法ꎬ在进行教学时我们可以通过表４对ＲＳＡ算法和ＩＳＲＳＡＣ算法进行对比ꎬ渐进地学习ＩＳＲＳＡＣ算法ꎮ
表４㊀ＲＳＡ和ＩＳＲＳＡＣ渐进式教学内容对比
ＲＳＡＩＳＲＳＡＣ
大素数选取ｎ＝ｐｑｎ＝ｐ ｑ (ｐ－１) (ｑ－１)
ｍ＝ｐ ｑ
部分公钥生成选择数字ｅꎬ满足以下条件
ｇｃｄ(ｅꎬφ(ｎ))＝１
选择数字ｅꎬ满足以下两个条件
１<ｅ<(ｐ－１)(ｑ－１)(ｐ－２ｒ)(ｑ－２ｒ)
２ｒ
ｇｃｄ(ｅꎬ(ｐ－１)(ｑ－１)(ｐ－２ｒ)(ｑ－２ｒ)
２ｒ)＝１
部分私钥生成(ｄｅ)ｍｏｄφ(ｎ)＝１ｅ ｄʉ１ｍｏｄａ(ｎ)公㊁私钥(ｅꎬｎ)㊁ｄ(ｅꎬｎ)㊁(ｄꎬｍ)加密Ｃ＝ＭｅｍｏｄｎＣʉＭｅｍｏｄｎ
解密Ｍ＝ＣｄｍｏｄｎＭʉＣｄｍｏｄｍ
㊀㊀渐进式教学案例设计可以让学生在完成基础公钥算法的学习后ꎬ通过对比基础算法与变种算法在大素数选取㊁公私钥生成㊁加解密的相同不同点来渐进学习较为新颖㊁复杂的变种算法ꎬ也为将来学生学习变种算法提供新思路ꎮ３ ４㊀数字签名的渐进式教学案例设计
数字签名在实际应用中非常广泛ꎬ不论是电子政务还是区块链技术都需要数字签名技术的支撑ꎬ由此可见数字签名的重要性ꎮ在数字签名教学中采用渐进式教学案例设计可以让同学们
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更好学习这一非常实用的密码技术ꎮ在进行数字签名的算法及其标准教学时我们以ＤＳＡ算法和ＤＳＳ签名标准为例ꎮ
在进行密码学教学时ꎬ同学们往往对ＤＳＳ签名标准和ＤＳＡ算法分不清ꎬ采用渐进式教学方法可以让同学们在了解签名算法后更有效的学习基于这种算法的签名标准ꎮ
ＤＳＳ数字签名标准使用的算法称为数字签名算法ＤＳＡꎬ它是在ＥｌＧａｍａｌ和Ｓｃｈｎｏｒｒ两个方案基础上设计出来的ꎮ
ＤＳＡ算法如下:
(１)全局公钥Ｋ:ｐꎬｑꎬｇꎮｐꎬｑꎬｇ作为系统参数ꎬ供所有用户使用ꎬ在系统内公开ꎮ(２)一个长度为ｌ比特的大素数Ｐꎬｌ的大小在５１２到１０２４之间ꎬ且为６４的倍数ꎮ(３)(Ｐ－１)即(ｐ)的一个长度为１６０比特的素因子ｑꎮ
(４)一个ｑ阶元素ｇɪＺ∗ｐꎮｇ可以这样得到ꎬ任选ｈɪＺ∗ｐꎻ如果ｈ(ｐ－１)/ｑｍｏｄｐ>１ꎬ则令ｇ＝ｈ(ｐ－１)/ｑｍｏｄｐꎬ否则重选ꎮ
(５)一个用户随机选取的整数ｘɪＺ∗ｐꎬ并计算出ｙ＝ｇｘｍｏｄｐꎮ
(６)一个ＨＡＳＨ函数(ＳＨＡ－１)Ｈ:{０ꎬ１}ңＺｐꎮ
这些系统参数构成ＤＳＡ的密钥空间:Ｋ＝{ｐꎬｑꎬｇꎬＨꎬｘꎬｙ}ꎬ其中{ｐꎬｑꎬｇꎬＨꎬｙ}为公开密钥ꎬｘ是私有密钥ꎮ
签名:对消息Ｍ生成数字签名时ꎬ随机选取一个秘密整数ｋɪＺｐꎬ计算出ｒ＝(ｇｋｍｏｄｐ)ｍｏｄｑꎻｓ＝ｋ－１(Ｈ(ｍ)＋ｘｒ)ｍｏｄｑꎮ则输出(ｒꎬｓ)为签名人对Ｍ的签名ꎮ
数字签名标准ＤＳＳ
在ＤＳＳ教学中我们主要介绍ＤＳＳ的签名模型ꎮ
数字签名标准ＤＳＳ(ＤｉｇｉｔａｌＳｉｇｎａｔｕｒｅＳｔａｎｄａｒｄ)是由美国国家标准技术协会ＮＩＳＴ于１９９１年８月公布ꎬ并于１９９４年１２月１日正式生效的一项美国联邦信息处理标准ꎮ
我们在了解了ＤＳＡ算法后可以对基于它的签名标准ＤＳＳ更好地进一步学习ꎬ我们可以将具体的ＤＳＡ算法结合ＤＳＳ框架基础进行讲解ꎬ让学生更好理解签名标准的算法以及签名标准ꎮ为学生之后学习签名标准提供良好思路ꎮ
ＤＳＳ的签名与验证过程如下: (１)发送方将发送的信息原文用ＳＨＡ函数编码ꎬ产生固定长度的数字摘要ꎮ(２)发送方用自己的私钥对摘要加密ꎬ形成数字签名ꎬ附在原文后面ꎮ
(３)发送方产生通信密钥ꎬ用它对带有数字签名信息进行加密ꎬ传到接受方ꎮ(４)发送方用接收方的公钥对自己的通信密钥进行加密后ꎬ传到接收方ꎮ接收方收到加密后的通信密钥ꎬ用自己的私钥对其进行解密ꎬ得到发送方的通信密钥ꎮ
(５)接收方用发送方的通信密钥对收到的经加密签名原文解密ꎬ得到数字签名和原文ꎮ(６)接收方用发送方公钥对数字签名解密ꎬ得到摘要ꎻ同时将原文ＳＨＡ函数编码ꎬ产生另一个摘要ꎮ
(７)接收方将两个摘要比较ꎬ若一样ꎬ说明信息没有被破坏或篡改ꎮ
在ＤＳＡ算法及ＤＳＳ标准的学习时ꎬ我们可以先介绍ＤＳＡ算法的签名验签过程ꎬ在掌握算法的基础上ꎬ循序渐进地学习基于ＤＳＡ算法的ＤＳＳ签名标准ꎮ渐进式教学为我们学习签名算法及其标准提供了新的方法ꎮ我们在介绍其签名算法具体过程的基础上ꎬ将具体签名算法步骤与签名标准的模型及基础框架相对应ꎬ以此来渐进学习基于这种签名算法的签名标准ꎮ
４㊀密码学应用的渐进式教学案例设计
㊀㊀随着密码学的不断发展和进一步深入研究ꎬ
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第２９卷密码学课程的渐进式教学案例化设计㊀
密码学的新知识和不断更新换代ꎬ涉及云计算㊁大数据㊁区块链和物联网的密码学新技术已经应用到人们生活中的方方面面ꎮ密码学课程有必要向同学介绍一些最新密码学应用的基础知识ꎮ４ １㊀共识机制
所谓共识机制ꎬ是通过特殊节点的投票ꎬ在很短的时间内完成对交易的验证和确认ꎻ对一笔交易ꎬ如果利益不相干的若干个节点能够达成共识ꎬ我们就可以认为全网对此也能够达成共识ꎮ共识机制是区块链技术的重要组件[１９]ꎮ学习共识机制可以拓宽学生学习密码学应用技术的视野和知识广度ꎮ
(１)在进行共识机制的理论知识教学时我们以工作量证明与权益证明为例ꎮ
在比特币系统中ꎬ采用工作量证明机制保证所有节点对一个待确认交易集合达成一致[１９]ꎮ只有完成工作量证明的节点才能提出这
一阶段的待定区块ꎬ之后网络中的节点在这个区块后继续尝试完成工作量证明ꎬ产生新的区块ꎮ当某一节点收到两个不同的待定区块时ꎬ选择链更长的那个区块进行验证ꎮ链越长意味着该链所包含的工作量越多ꎮ
由于工作量证明机制资源消耗大且计算资源趋于中心化ꎬ权益证明机制受到广泛关注ꎮ如果把工作量证明中的计算资源视为对区块进行投票的份额ꎬ那么权益证明就是将与系统相关的权益作为投票的份额ꎮ
我们在学习时可以通过表５对比的方法来渐进学习这两种共识机制ꎮ
表５㊀工作量证明与权益证明渐进式教学内容对比
工作量证明权益证明
出现背景(１)防止垃圾邮件保证所有节点
对一个待确认交易集合达成一致
(１)解决工作量证明机制资源消耗大
且计算资源趋于中心化的问题
主要算法
(１)产生挑战ｃ的随机算法
(２)生成ｓ解决挑战ｃ的算法
(３)验证挑战ｃ是否被ｓ解决的算法
(１)产生挑战ｃ的随机算法
(２)验证节点权益状态ｓ是否可解决挑战ｃ的算法
(３)公开验证挑战ｃ是否被ｓ解决的算法
优点
(１)实现区块链的一致性
(２)在诚实方拥有的计算资源占多数的情况下ꎬ
可有效抵御二次支付ꎬ保证系统的安全性
(１)一定程度上解决了工作量证明机制能耗大
的问题ꎬ缩短了区块的产生时间和确认时间ꎬ
提高了系统效率
存在问题
(１)工作量证明机制存在严重的效率问题
(２)作量证明机制的安全性要求攻击者所占的
计算资源不超过全网的５０％
(３)工作量证明过程通常是计算一个无意义的序列ꎬ
需要消耗大量计算资源㊁电力能源ꎬ造成浪费
(１)在网络同步性较差的情况下ꎬ
系统极易产生分叉ꎬ影响一致性
㊀㊀渐进式教学为我们学习共识机制提供了更多思路ꎬ在日后学习共识机制时ꎬ我们可以针对新型共识机制在出现背景㊁算法㊁优缺点等方面与之前学习的共识机制做出对比分析ꎬ从而更加快速清晰地学习这些新型共识机制ꎮ在完成扩展的工作量证明与权益证明的学习后ꎬ我们可以进一步渐进学习拜占庭一致性协议ꎮ(２)在进行共识机制的具体应用教学时我们以工作量证明㊁权益证明以及拜占庭一致性协议为例ꎮ
拜占庭一致性协议最初用于小范围服务器复制问题[１９]ꎬ后来服务器数量可扩展至数十
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