2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题
（2007年4月1月 下午1∶00－3∶00）
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．若x 3＋x 2＋x ＋1＝0，则x －27
＋x
－26
＋…＋x －
1＋1＋x ＋…＋x 26＋x 27的值是
（ ）
（A ）1
（B ）0 （C ）－1
（D ）2
2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB ＝14cm ，BC ＝12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为 （ ）
（A ）4cm
（B ）8cm
（C ）10cm
（D ）12cm
3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．
如果令a i ，j ＝⎩⎨⎧1，第i 号同学同意第j 号同学当选，2，第i 号同学不同意第j 号同学当选．
其中i ＝1，2，…，50；j ＝1，2，…，
50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为 （ ）
（A ）a 1,1＋a 1,2＋…＋a 1,50＋a 50,1＋a 50,2＋…＋a 50,50 （B ）a 1,1＋a 2,1＋…＋a 50,1＋a 1,50＋a 2,50＋…＋a 50,50 （C ）a 1,1a 1,50＋a 2,1a 2,50＋…＋a 50,1a 50,50 （D ）a 1,1a 50,1＋a 1,2a 50,2＋…＋a 1,50a 50,50
4．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c
a ＋
b ＝t ，则一次函数y ＝tx ＋t 2的图象必定经过的象限是
（ ）
（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限
（D ）第三、四象限
5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有
（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，
如果AB ＝4，AO ＝62，那么AC 的长等于
（ ）
（A ）12 （B ）16 （C ）43 （D ）8 2 二、填空题（共6小题，每小题6分，共满分36分）
7．函数y ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x ＋3|，当x ＝___________时，y 有最小值，最小值等于___________．
A
F
A
B
C
D
8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为__________．9．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB＝6cm，AC＝4cm，∠A＝60º，则AD 的长为___________cm．
10．设x1，x2，x3，...，x2007为实数，且满足x1x2x3...x2007＝x1－x2x3...x2007＝x1x2－x3 (x2007)
＝…＝x1x2x3…x2006－x2007＝1，则x2000的值是__________．
11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________．
三、解答题（共4小题，满分54分）
13．（本题满分12分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且ac＝b．
（1）求该二次函数的解析表达式；
（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．
14．（本题满分12分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分
别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．
15．（本题满分14分）2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为P 1，P 2，P 3，…，
P 2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．
A B C
D E F G P Q M N
16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017；
（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C
解：由3
2
10x x x +++=，得1x =-，
所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．
2．答案：A
解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C
解：由题意得C 正确． 4．答案：A
解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，
当0a b c ++≠时，12t =
，11
24
y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．
综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．
5．答案：C
解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则
1
2
a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），
化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨
-=⎩或42
44
ka kb -=⎧⎨-=⎩．
解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩
⎪
⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．
6．答案：B
解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则
△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．
二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）
7．答案：-2，2
解：当x ≤-3时，y = -3x -6；
当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4；
A
D
（第2题）
A
B C
E
F
O G
（第6题）
当x ＞-1时，y =3x +6．；
所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个
解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：
5
3
12 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得
︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2
1
30sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5
3
12．
10．答案：1，或2
5
3±-
解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)
32119991
x x x x x -=1，
解得123200012319991515
,22x x x x x x x x ±
±=
=
． 所以12000
=x ，或200032x =- 11．答案：23
8104
解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，
乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．
，1201202402.91208120)1(1202402
.9)1(1208x x x x
解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=23
8104秒时，
甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
12．答案：36 解：2015
2013
的个位数字是7，
所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m
+⨯=107．
由条件N =4M ，得k m
+⨯107=)710(4+k ，即39
)
410(7-=m k ．
当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)
解：（1）由B （0，4）得，c =4．
G 与x 轴的交点A （2b
a
-
，0），
由条件ac b =，得
b c a =，所以2b a -=22
c -=-，即A （2-，0）．
所以4,4240.b a a b =⎧⎨
-+=⎩解得1,4.
a b =⎧⎨=⎩
所求二次函数的解析式为244y x x =++．
（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），
所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为
y =36x --．
令36x --=2
44x x ++， 解得12x =-，25x =-．
将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．
所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =
111
(49)53924222
+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．
（第13题）
14．(12分)
证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则
四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且3
1
=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴
DN
AN
PN MN =． ∵ AD ∥CE ，
∴
DN
CQ
PN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DN
CQ
+ =DN
CQ AN +．
又
=OQ DN 3
1
=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．
∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴
+PN MN =PN PQ DN
CQ
AN +=2，即 MN +PQ =2PN ．
15．(14分)
解：不能．
理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则
j =2,22007,
22007,22007.i i i i ≤⎧
⎨
->⎩
若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．
16．(16分)
解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．
首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，
B
A
C
M
N P E F
Q
D
G O
每对数记作(m ，2009-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)
因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，
因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．
其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)
2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．
又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，
于是1111200920084017m m k k +-++-=． （2）不成立．
当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：
1003 ，1004， (2008)
则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017； 当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017． 所以1006n ≤时都不成立．。