带电粒子在磁场中的螺旋线运动及其运用

带电粒子在磁场中的螺旋线运动及其运用
江苏省海门中学物理组邱刚
我们知道，若带电粒子垂直进入匀强磁场，那么它在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，若带电粒子与匀强磁场成θ角的方向进入匀强磁场，那么它的受力和运动情况又将如何？
以电子为例，如图所示，磁场水平
向右，电子以v的速度与磁场成θ角的
方向进入匀强磁场，根据运动的独立性，
把粒子速度分解成垂直磁场的分速度
v⊥和平行磁场的分速度v∥，垂直磁场
的分速度会引起带电粒子做匀速圆周运
动，而平行磁场的分速度不会受到磁场
力的作用，因而做匀速直线运动，实际电子同时参与这两个分运动，这两个分运动的合成就是螺旋运动。

下面我们就利用运动的合成与分解的知识来分析这个运动。

如图，和磁场平行的速度分量v∥=v cosθ，和磁场垂直的速度分量v⊥=v sinθ。

根据带电粒子在匀强磁场中运动的半
径公式
qB
mv
R=
和周期公式
qB
m
T
π2
=
，电子在沿磁场投影方向做圆周运动的半径qB
mv R
θsin
=
，因为电子沿磁场方向做匀速运动，所以每个周期内电子在磁场方向前进的距离相等，若把电子在每个周期内前进的距离定义为螺旋运动的螺距，则该螺旋运动是等
螺距运动，且螺距
qB
m
v
T
v
d
π
θ
2
cos
∥
=
=。

带电粒子的螺旋运动在现代科技中的运用主要体现在磁聚焦和磁约束。

特别是对于核聚变的研究，磁约束成为一热门话题，与之相关的有磁聚焦与磁约束等技术，而它们又有什么具体应用呢？
如图所示，一束发散角不大的带电粒子束，当它们在磁场B的方向上具有大致相同的速度分量时，它们有相同的螺距，这与带电粒子在垂直B方向的速度大小、方向无关。

所以，经过一个周期它们必将重新会聚在另一点，这种发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦。

尽管每个粒子的轨迹和半径不尽相同，但它们在距出发点为h、2h、… 等处又会交汇于一点。

发散粒子依靠磁场作用会聚于一点的现象称为磁聚焦。

它与光束经光学透镜聚焦相类似。

磁聚焦的应用很广，如在教学和实验上，有磁聚焦法测量电子荷质比，利用磁聚焦法测量地磁场；在工业中，带电粒子在磁场中的螺线运动被广泛应用于“磁聚焦”技术，电子枪就是磁聚焦应用的产物。

磁聚焦在许多电真空系统（如电子显微镜）中得到广泛应用，实际中用得更多的是短线圈内非均匀磁场的磁聚焦。

我们进一步考虑，仍以电子为例，若电子以v的速
度与磁场成θ角的方向进入一个非匀强磁场，那么电子
将做什么运动呢？从上面的分析中，我们知道，电子在
匀强磁场中做螺旋线运动，其轨道半径R与磁感强度B
成反比，所以，在很强的磁场中，每个带电粒子的轨道
半径R很小，它活动便被束缚在一根磁感线附近的很小
范围内，只能沿磁感线做纵向运动，在纵向，同样可以利用磁约束对粒子的运动加以限制。

理论上可以证明，当带电粒子由较弱的磁场区进入较强的磁场区时（B增加），它的横向动能要按比例增加。

然而由于洛伦兹力是不做功的，带电粒子的总动能不变，则纵向动能即纵向速度就要减小，甚至为零。

通常将这种由弱到强的磁场位形叫做磁镜。

如下左图，两个同向通电线圈产生中间弱两边强的磁场位形，带电粒子在横向受到磁场约束，在纵向则在两线圈中来回反射，从而达到约束的目的。

不过，一部分纵向动能较大的粒子仍然有可能从磁镜两端逃出。

而采用下右图所示的环形磁约束结构则可避免这种情况。

这种结构就是托卡马克装置的基本结构。

地球磁场两极强、中间弱就是一个天然磁瓶，它使得来自宇宙射线的带电粒子在两磁极间来回振荡从而形成范•艾仑辐射带。

生活在地球上的人类及其他生物都应十分感谢这个天然的磁镜约束，正是靠它才将来自宇宙空间、能致生物于死命的各种高能射线或粒子捕获住，使人类和其他生物不被伤害，得以安全地生存下来。

磁约束的应用主要在可控热核聚变方面，核聚变的点火温度十分高，没有任何一种实物可以容纳，因此，人们想到了磁场，希望在磁场中实现可控热核聚变，在科技工作者的不断努力下，我们在这方面已经取得了一定进展。

磁约束聚变，是一种利用磁场与高热等离子体来引发核聚变反应的技术。

它的作法是，先加热燃料，使它成为等离子体形态，再利用磁场，拘束住高热等离子体中的带电粒子，使它进行螺线运动，进一步加热等离子体，直到产生核聚变反应。

目前可以使用托卡马克技术来达成磁约束聚变。

例题：如图甲半径为R的圆筒形真空管中有两个隔板，其中心有小孔A和A/，相距为L，区域Ⅰ中有电子枪K，区域Ⅱ中有左右方向的匀
强磁场，区域Ⅲ中既无磁场也无电场。

由电子枪K
发出的电子穿过小孔A成发散电子束进入区域
Ⅱ，设所有电子穿过小孔A时沿A A/方向的分速
度都为v，现调节区域Ⅱ中磁场的磁感应强度B
使电子束能穿过A/，（电子的电量为e,质量为m,
且设电子碰到管壁均不弹回。

）
（1）试描述电子在区域Ⅱ中的运动（要有代表
性），并求出B的值
电子中，运动方向与管轴间的最大夹角为多少？
（3）若在区域Ⅱ中的磁场按图乙所示随时间周期性变化，问要使t=0时刻进入Ⅱ区域的电子能从A / 孔飞出，T 的值取多少？
解：（1）电子做沿轴线方向的匀速直线运动和垂直于轴线方向的匀速圆周运动 eL mnv
B eB m
T L vnT ππ22,=∴==(n=1,2,3........)
(2)eL mv
B π2min =，使夹角最大，则v y 最大
当圆轨迹与圆筒相切时，v y 最大，如图所示
即mv eBR
v v m eBR v eB mv R
y y y
2tan ,2,2====α
mv eBR
2arctan max =α
(3)nv L
n T B eB m n T n T '
=∴'='=2,22磁圆磁带入，把π
关于考纲变化中反电动势教学建议
江苏省海门中学物理组尹秀辉
一、反电动势概念
实验：闭合开关s，观察电动机启动过程中，电灯明暗变化情况？电机正常工作并以恒定速度旋转后，用手摩擦转轮，使电机转速减小时，灯泡亮度逐渐加强，为什么？
电机正常工作并以恒定速度旋转时，其两端产生了与供电电源E1的方向相反，称为反电动势。

二、反电动综合应用
应用一：电磁感应中电——动——电模型
例1.间距为l的平行导轨水平放置，与电动势为E、内阻为r的
电源连接，处在大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当电路
闭合时，质量为m、电阻为R的导体从静止开始沿导轨运动，与
导轨的动摩擦因数为μ. 试讨论导体的运动
应用二：电磁感应中线框切割模型
例2. 正方形的闭合线框，边长为a,质量为m, 电阻为R,在竖直平面
内以某一水平速度在垂直于框面的水平磁场中，运动一段时间t后
速度恒定，运动过程中总有两条边处在竖直方向（即线框自身不转
动），如图所示。

已知磁场的磁感应强度在竖直
方向
规律逐渐增大，在t时间内：
应用三：电磁感应与电容综合
例3. 如图所示。

水平放置的足够长光滑金属导轨ab、cd处
于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨平面垂直．质量为m、
电阻为R的金属棒ef静止于导轨上．导轨的另一端经过开
关S与平行板电容器相连，开始时，开关打开，电容器上板
带正电，带电量为Q．现闭合开关S，金属棒开始运动，则
下列说法正确的有（）
A.电容器所带电量逐渐减少，最后变为零
B.电容器两板问场强逐渐减小，最后保持一个定值不变
C.金属棒中电流先增大后减小，最后减为零
D.金属棒的速度逐渐增大，最后保持一个定值不变。