非线性系统的分析相平面

④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
始条件可知，e(0)=R，
。取R=2，绘制相
轨迹如图所示。
2） r (t)=V0(t) 。
在线性区间，奇点
为稳定能够的焦点。
负饱和区和正饱和区内渐近线分别为
当V0=1.2 > KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.3,0) 为稳定焦点，且为虚奇点；饱和区内渐近线都位
于相平面的上半平面，相轨迹如下图所示 。
其等倾线方程为
●
特征根为两个不相等的负实根，
系统的零输入响应为非震荡衰减形式，存在两条 特殊的等倾线，其斜率为
相平面图如下图所示。当相轨迹初始点落在两条特
殊等倾线上时，相轨迹沿该直线趋于原点；除此之
外，相轨迹最终将沿着
的方向趋于原
点。
●
系统特征根为两个相等的负实根。取
其相平面图如下。与
相比，相轨迹的特殊
1.1
直线段交 a 2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
adxdx/dtxf(x,x) dx dx/dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称
的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
§3-4 Popov 法
Popov法是一个关于单回路非线性控制系统渐进 稳定充分条件的频率域判据。
系统由定常线性部件和一个定常非线性部件组成 的单回路反馈系统。
可以应用于高阶系统，比相平面法优越。 是准确判定稳定性的方法，比描述函书法优越。
可见， Popov法有很大的优势，而且计算简单， 适于工程应用，但是应用Popov法要满足如下条 件：
f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 f ( x , x ) 在原点附近展 成台劳级数
f(x ,x )= a x b x g (x ,x )
高阶无穷小量 g ( x , x ) 可以省略，得到
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
等倾线蜕化为一条。
●
系统微分方程为
特征根为两个共轭虚根
，系统临界稳定，
过渡过程为等幅震荡。改写系统方程为
积分后得到相轨迹方程为
●
设
系统微分方程为
特征根为两个具有正实部的共轭复根，系统 不稳定，过渡过程震荡发散。等倾线为
●
设
系统微分方程为
特征根为两个不相等的正实根，系统不稳定， 过渡过程为非周期发散。等倾线方程为
4）在开关线上做好两条相轨迹的链接。注意， 下一条相轨迹的初始条件是上一条相轨迹的终 止条件。
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
取
作为状态变量，
因为
，
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相
轨迹分析结果，可得奇点类型
区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点，
由图可知，图中两条特殊 的等倾线是相轨迹，也是 其他相轨迹的渐近线。 当初始条件位于 对应的相轨迹上时，系统 的运动将趋于原点，但 只要受到微小扰动，运动 将偏离该轨迹，并沿着
相轨迹方向发散。
因此b<0时，系统是不稳 定的。
② b=0。 系统特征根s1=0，s2= -a
相轨迹方程为
两边积分可得相轨迹方程
当V0=0.4 < KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.1,0) 为稳定焦点，且为实奇点；渐近线分别位于相平
面的上下半平面，相轨迹收敛于(0.1,0)，系统地
稳态误差为0.1，相轨迹如下图所示 。
当V0=0.8= KM0 时，线性区内相轨迹奇点(0.2,0) 为稳定焦点，为实奇点，位于开关线 e=e0 上； 正饱和区的线性微分方程为
x
x
x
(x 0,x 0)
(x 0,x 0)
x
x
(x,,x)
x
漸進穩定系統
不穩定
持續振蕩
二、相平面图绘制方法
1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化.
设二阶系统 xf(x,x)0 (*)
若令 y x 则 yf(x,y)0 dyf (x, y)
dt
dydtdtf(x,y) dy f (x, y)
x2 A2
y2
(n A)2
1
其中
A
x0
2
y02
n2
上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界
稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。
⒉图解法之一：等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
二阶微分方程 xf(x,x)0令 y x dy 来自 f (x, y)dx
y
若令 dy 常 数 a
dtdx dx
dx y
直接积分,便解出相轨迹方程 yxf(x)
并由此画出相轨迹。
例：如无阻尼二阶系统 xn2x0
令x y 则
dy dx
n2
x y
，设初始条件为 (x0, y0)
整理上式并积分
y y0
yd
y
x
x0 n
2
xd
x
1 2(y2y02)1 2n2(x02x2)
n2x2y2n2x02y02
相轨迹沿直线收敛；
区域 I：奇点(△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
由零初始条件
和
得到e(0)=R,
。相轨迹如下图所示：
若用比例环节 k =1 代替 死区特性，即无死区影 响时，线性二阶系统相 轨迹如图中虚线所示。 可以比较出死区特性对 系统运动的影响。
(2) 具有饱和特性的非线性控制系统 图中系统初始状态为零，且
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在
x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x
的平均值 x a v 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增
相平面图如下所示，相轨迹为过初始点 斜率为-a的直线。当a>0时，相轨迹收敛 并最终停止在 c 轴上；a<0时，相轨迹发散。
③ b>0。由前面可知当b>0时，方程可以表示 为 可得
根据 的选取，可以分为以下几种情况：
●
设
系统微分方程为
特征根为两个具有负实部的共轭复根，系统 稳定，过渡过程呈衰减震荡形式。
非线性系统的分析相平 面
➢1.相平面:以x和 x 为横轴和纵轴构成的坐标平
面. ➢2.相点:相平面上任一点 (x, x) ➢3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
M 1
x
M 2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
dx
f(x,y)ya0 等倾线方程
➢满足相轨迹上的切线斜率为a
➢相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 (x0, y0)沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似）
⑵画图步骤：
i.求出等倾线方程
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
f(x,x )f(x,x ) f(x,x )f(x,x )
则相轨迹关于x 对称(左右对
称)。
则相轨迹关于 x对称(上下对
称) 。
f(x,x)f(x,x) 则相轨迹关于原点对称。
3)相平面图的奇点
奇点：相平面上同时满足 x0和 f(x,x)0
的点称为奇点。
设二阶系统 x+f(x,x)=0的平衡点在原点，即
4）极限环
在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
Popov法适用于上图所示的单回路反馈控制系统，定
常非线性部件的非线性特性函数可具有任意形式，但
应满足条件
0
N[x(t)] x(t)
k,(x
0)
N[0] 0
式中的k是任意正数，也允许为无穷大。
该式表明，特殊的等倾线斜率等于位于该等倾线上 相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊 的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不会
脱离该等倾线。下面就线性二阶微分方程 参数 b<0, b=0 和 b>0 的三种不同情况具体 讨论，其相轨迹采用等倾线法或解析法绘制。 ① b<0。 系统特征根
s1，s2为符号相反的互异实根，相平面图如下。
量 t 。
t x x av
三．线性系统的相平面分析 一阶线性系统自由运动微分方程为
相轨迹方程为 设系统初始条件为
，则
相轨迹图下图所示
二阶线性系统自由运动微分方程为 当b>0 时，上述方程可表示为 特征根为 相轨迹微分方程为
令
得到等倾线方程
当a2-4b>0，且b≠0时，可得满足 k=a 的两条特殊 的等倾线，其斜率为
该区域内相轨迹是斜率为 -1/T 的直线，横轴上 大于 e0 的各个点都是奇点，所以系统存在问题 误差。
小结
1. 本章介绍了非线性系统的两种设计方法：描述函 数法、相平面法。它们都是用工程作图的方法分 析解决问题。
2. 描述函数法把非线性特性基波传递关系做为它的 替代公式，所以只适用于非线性程度较低和特性 对称的非线性元件，还要求线性部分具有良好的 低通滤波器特性。描述函数法的核心是计算非线 性特性的描述函数和它的负倒特性。由于描述函 数是系统运动状态做周期运动的描述，一般没有 考虑外界作用。所以用于分析稳定性和自持振荡， 而不能得到系统的响应。
●
系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的 等倾线，系统相轨迹发散，相平面图如下图所示。
四．非线性系统的相平面分析
一般非线性系统利用分段线性微分方程来描述。 1）分段列写非线性系统微分方程
2）在相平面上确定每一个微分方程所在区域 及开关线。
3）按照线性系统相轨迹的作法，分段求解相 轨迹方程。
①稳定的极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。
因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
下面分别研究系统在 r (t)=R·1(t) 和 r (t)=V0 t 作用下的相轨迹。 1） r (t)=R·1(t) 。
A 为常数
相轨迹方程为
等倾线方程为
为一簇平行于横轴的直线，其斜率 k 为零。当
a=0 得
，即为特殊的等倾线(k=a=0)。
对于线性区域的奇点，求得为原点，且其特征根
为负实部共轭复根，所以奇点是稳定焦点。由初