厦门大学运筹学OR习题讲解
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由此，我们就可以列出初始单纯形表如下： 由此，我们就可以列出初始单纯形表如下：
cj → CB XB b* -M 0 -M x7 2
3 x1 -4 1 -2
-4 x2 1 1 3
2 x3 -2 3 -1
-5 x 4χ 1 -1 2
5 x4δ -1 1 -2
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 -1 -M
在这个标准型中， 在这个标准型中，只有变量 x5 可以作为初始的基 变量，为得到一组初始的基变量， 变量，为得到一组初始的基变量，我们必须在第一个可得
′ ′ Max Z ′ = 3x1 − 4x2 + 2x3 − 5x4 + 5x4′ − Mx7 − Mx8 ′ ′ − 4x1 + x2 − 2x3 + x4 − x4′ + x7 = 2 x + x + 3x − x′ + x′′ + x = 14 1 2 3 4 4 5 ′ ′ − 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 − 2x4′ − x6 + x8 = 2 x1, x2 , x3 , x′ , x′′, x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0 4 4
《运筹学》课程小结与答疑 运筹学》 厦门大学管理学院 2001.08.17
是非判断题： ） 是非判断题：（1） 线性规划问题的每一个基可行解对应 可行域的一个顶点，如果线性规划问题存在最优解， 可行域的一个顶点，如果线性规划问题存在最优解，则最 优解一定对应可行域边界上的一个点； 优解一定对应可行域边界上的一个点； （2）单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，检验 ）单纯形法求解标准型式的线性规划问题时， 对应的非基变量x 都可以被选作为换入变量； 数> 0 对应的非基变量 j 都可以被选作为换入变量； （3）在单纯形法计算中，选取最大正检验数 σk 对应的 在单纯形法计算中， 变量x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长； 变量 k 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长； （3）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后， 变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除， 变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计 结果； 算 结果；
的值； （1）求 a – g 的值； ） （2）表中给出的解是否为最优解？ ）表中给出的解是否为最优解？
解：（1）根据单纯形表的计算规则有： ）根据单纯形表的计算规则有： 2a + 0×5 + 28×0 = 14 × × 由此得出： 由此得出：a = 7 ； 再由： 再由：0 – (2×3 + 0×6 + 28×0) = b × × × 0 – (2×0 + 0×d + 28×e) = c × × × 0 – [2×(-14/3) + 0×2 + 28×f ] = 0 × × × 2 – (2×1 + 0×0 + 28×0) = g × × × 可得出： 可得出：b = -6 ， g = 0， f = 1/3， ， ， 是基变量，所以有： 而由于 x2 是基变量，所以有： d = 1， e = c = 0， ， ， 故可得出： 故可得出： a - g = 7 – 0 = 7 。
-M -M x7 1 0 0 0 x8 0 0 1 0
x5 14 x8 2
检验数 σj
3 - -4+ 2- -5+ 56M 4M 3M 3M 3M
书 P52，第4题： ， 题
cj → CB 2 0 28 -Z XB x6 x2 x4 b* a 5 0 -14 0 x1 3 6 0 b 0 x2 0 d e c 0 x3 -14/3 2 f 0 28 x4 0 0 1 0 1 x5 1 5/2 0 -1 2 x6 1 0 0 g
（2）又由于 b = -6 < 0 ， c = 0，g = 0，即表中的非 ， ， 所以，表中给出的解是最优解， 基变量全都 ≤ 0 ，所以，表中给出的解是最优解，但 由于有非基变量 x3 的检验数 σ3 = 0，所以，该问题 ，所以， 有无穷多个最优解。 有无穷多个最优解。 补充例题：如下表为用单纯形法计算时某一步的表格。 补充例题：如下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已 知该线性规划的目标函数为Max Z = 5x1 + 3x2，约束形式 知该线性规划的目标函数为 为松弛变量， 为 ≤，x3，x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得目标 ， 函数值 Z=10， ， （1）求表中的所有未知数 a、b、c、d、e、f、g； ） 、 、 、 、 、 ； （2）表中所给出的解是否为最优解，为什么？ ）表中所给出的解是否为最优解，为什么？
5 x1 x3 x1 2 a c d b
3 x2 0 e -1
0 x3 1 0 f
0 x4 1/5 1 g
检验数σj
为基变量，所以由表格有： 0、 解：（1）因为x1、 x3为基变量，所以由表格有：b = 0、 ：（1）因为x c = 0、d = 1、f = 0，又由于此时的目标函数值为 Z = 10， 、 、 ， ， 也就是： 也就是：0 × 2 + 5 × a = 10，由此求得：a = 2；再由求检 ，由此求得： ； 验数的公式有： 验数的公式有：-1 = 3 - （0 × 0 + 5 × e）及 g = 0 – (0 × 1/5 ） + 5 × 1 便可得：e = 4/5，g = -5。 便可得： ， 。
解: (1)
d ≥ 0 , c1 < 0 , c2 < 0 ;
(2) d ≥ 0 , c1 ≤ 0 , c2 ≤ 0 且 c1× c2 = 0 ; (3) d = 0 ; (4) d ≥ 0 , a1 ≤ 0 , c2 > 0 ; (5) c1 > 0 , c1 ≥ c2 , d /4 > 3/a3 , a3 > 0 。 书P46，第11题： ， 题 解：设由各种工序组合而生产的产品I 的数量分别为： 设由各种工序组合而生产的产品 的数量分别为： (A1, B1)→x1 , (A1, B2)→x2 , (A1, B3)→x3 , (A2, B1)→x4 , → → → → (A2, B2)→x5 , (A2, B3)→x6 ; → → 由各种工序组合而生产的产品II 的数量分别为： 由各种工序组合而生产的产品 的数量分别为：
问题1： 问题 ：如何将一般的线性规划问题化成标准型并根 据实际问题的需要列出初始单纯形表。 据实际问题的需要列出初始单纯形表。 （1）首先将原问题化成标准型，具体就是： ）首先将原问题化成标准型，具体就是： 把目标最小的化成目标为最大的形式； 把目标最小的化成目标为最大的形式； 约束条件右端的常数项均化成 ≥ 0 的常数； 的常数； 对于取值可正可负的变量， 对于取值可正可负的变量，通过令其为两个正变量 的相减， 即非负)形式 的相减，将其所有变量均化成 ≥ 0 (即非负 形式； 即非负 形式； 通过加入非负的松弛变量或非负的剩余变量把“ 通过加入非负的松弛变量或非负的剩余变量把“ ≥” 形式的不等式化成等式； 或 “≤ ”形式的不等式化成等式；
（2）由于 b = 0、 f = 0、 g = -5，此时，所有非基变量检 ） 、 、 ，此时， 验数全都小于0， 验数全都小于 ，所以表中所给出的解就是该线性规划问 题的最优解（此时还是唯一最优解）。最优解为： 题的最优解（此时还是唯一最优解）。最优解为： ）。最优解为 （x1、 x2、 x3、 x4）=（2、0，2，0） （ 、 ， ， ） 书P53，第5题： ， 题 如下表是求某极大化线性规划问题计算得到的单 纯形表。表中没有人工变量， a1、a2、a3、d、c1、c2 纯形表。表中没有人工变量， 、 为待定常数。试说明这些常数分别取何值时， 为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结 论成立。 论成立。 （1）表中解为唯一最优解； ）表中解为唯一最优解；
（4） 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变 ） 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后， 量及相应列的数字可以从单纯形表中删除， 量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算 结果； 结果； （5）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解 ） 的非负凸组合来表示； 的非负凸组合来表示；即：假设 X1、X2、…、Xn 是某线 、 性规划问题的所有基可行解，α1、α2、…、αn是一组非负 性规划问题的所有基可行解， 、 实数且
（2）表中解为最优解，但存在无穷多个最优解； ）表中解为最优解，但存在无穷多个最优解； （3）表中解为退化的可行解； ）表中解为退化的可行解； （4）该线性规划问题具有无界解； ）该线性规划问题具有无界解； （5）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为 ）表中解非最优，为对解进行改进， x1 ，换出变量为 x6 。 XB x3 x4 x6 -Z b* d 2 3 x1 4 -1 a3 c1 x2 a1 -3 -5 c2 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 x5 a2 -1 -4 -3 x6 0 0 1 0
解：原目标变成新目标： 原目标变成新目标： Max Zχ = 3x1 – 4x2 + 2x3 – 5x4 将第一个约束条件两边同乘以( 1)变成: 将第一个约束条件两边同乘以(-1)变成: 变成 -4x1 + x2 – 2x3 + x4 = 2 令 x4 = x4χ- x4δ, 在第二个约束条件中加入非负松弛 变量 x5 ，在第三个约束条件中加入非负剩余变量 x6 ，就可将原线性规划问题化成如下标准型： 就可将原线性规划问题化成如下标准型：
（2）在完成上述步骤后，根据问题的需要，适当加 ）在完成上述步骤后，根据问题的需要， 入人工变量，利用大 法列出初始单纯形表 法列出初始单纯形表。 入人工变量，利用大M法列出初始单纯形表。 举例如下： 举例如下：
Min Z = −3 x1 + 4 x2 − 2 x3 + 5 x4 4 x1 − x2 + 2 x3 − x4 = −2 x + x + 3 x − x ≤ 14 1 2 3 4 − 2 x1 + 3 x2 − x3 + 2 x4 ≥ 2 x1 , x2 , x3 ≥ 0, x4 无约束
′ ′ MaxZ ′ = 3x1 − 4x2 + 2x3 − 5x4 + 5x4′ ′ ′ − 4x1 + x2 − 2x3 + x4 − x4′ = 2 x + x + 3x − x′ + x′′ + x = 14 1 2 3 4 4 5 ′ ′ − 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 − 2x4′ − x6 = 2 x1, x2 , x3 , x′ , x4′, x5 , x6 ≥ 0 ′ 4
α1 + α2 + … + αn = 1，则对于任何一个可行解 X ，
都有： 都有：X = α1X1 + α2X2 + … + αnXn ； （6）在运输问题中，只要给出一组含（m + n –1）个非 ）在运输问题中，只要给出一组含（ ） 负的变量{x ，满足： 负的变量 ij}，满足： ∑ xij = ai , ∑ xij = b j
j =1 i =1 n m
，就可以作为运输问题的一个初始基可行解； 就可以作为运输问题的一个初始基可行解；
（7）有产地产量和销地的销量均为整数时，用表上作业 ）有产地产量和销地的销量均为整数时， 法求得的运输问题的最优解也为整数解； 法求得的运输问题的最优解也为整数解； （8）在目标规划问题中，正偏差变量应取正值，负偏差 ）在目标规划问题中，正偏差变量应取正值， 变量应取负值； 变量应取负值； （9）若将指派问题的效率矩阵的每个元素都乘上同一个 ） 常数k（>0），将不影响最优指派方案； ），将不影响最优指派方案 常数k（>0），将不影响最优指派方案； （10）解决传统库存问题的三个步骤是：画存贮状态图， ）解决传统库存问题的三个步骤是：画存贮状态图， 建立费用函数，求经济订购批量。 建立费用函数，求经济订购批量。
cj → CB XB b* -M 0 -M x7 2
3 x1 -4 1 -2
-4 x2 1 1 3
2 x3 -2 3 -1
-5 x 4χ 1 -1 2
5 x4δ -1 1 -2
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 -1 -M
在这个标准型中， 在这个标准型中，只有变量 x5 可以作为初始的基 变量，为得到一组初始的基变量， 变量，为得到一组初始的基变量，我们必须在第一个可得
′ ′ Max Z ′ = 3x1 − 4x2 + 2x3 − 5x4 + 5x4′ − Mx7 − Mx8 ′ ′ − 4x1 + x2 − 2x3 + x4 − x4′ + x7 = 2 x + x + 3x − x′ + x′′ + x = 14 1 2 3 4 4 5 ′ ′ − 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 − 2x4′ − x6 + x8 = 2 x1, x2 , x3 , x′ , x′′, x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0 4 4
《运筹学》课程小结与答疑 运筹学》 厦门大学管理学院 2001.08.17
是非判断题： ） 是非判断题：（1） 线性规划问题的每一个基可行解对应 可行域的一个顶点，如果线性规划问题存在最优解， 可行域的一个顶点，如果线性规划问题存在最优解，则最 优解一定对应可行域边界上的一个点； 优解一定对应可行域边界上的一个点； （2）单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，检验 ）单纯形法求解标准型式的线性规划问题时， 对应的非基变量x 都可以被选作为换入变量； 数> 0 对应的非基变量 j 都可以被选作为换入变量； （3）在单纯形法计算中，选取最大正检验数 σk 对应的 在单纯形法计算中， 变量x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长； 变量 k 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长； （3）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后， 变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除， 变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计 结果； 算 结果；
的值； （1）求 a – g 的值； ） （2）表中给出的解是否为最优解？ ）表中给出的解是否为最优解？
解：（1）根据单纯形表的计算规则有： ）根据单纯形表的计算规则有： 2a + 0×5 + 28×0 = 14 × × 由此得出： 由此得出：a = 7 ； 再由： 再由：0 – (2×3 + 0×6 + 28×0) = b × × × 0 – (2×0 + 0×d + 28×e) = c × × × 0 – [2×(-14/3) + 0×2 + 28×f ] = 0 × × × 2 – (2×1 + 0×0 + 28×0) = g × × × 可得出： 可得出：b = -6 ， g = 0， f = 1/3， ， ， 是基变量，所以有： 而由于 x2 是基变量，所以有： d = 1， e = c = 0， ， ， 故可得出： 故可得出： a - g = 7 – 0 = 7 。
-M -M x7 1 0 0 0 x8 0 0 1 0
x5 14 x8 2
检验数 σj
3 - -4+ 2- -5+ 56M 4M 3M 3M 3M
书 P52，第4题： ， 题
cj → CB 2 0 28 -Z XB x6 x2 x4 b* a 5 0 -14 0 x1 3 6 0 b 0 x2 0 d e c 0 x3 -14/3 2 f 0 28 x4 0 0 1 0 1 x5 1 5/2 0 -1 2 x6 1 0 0 g
（2）又由于 b = -6 < 0 ， c = 0，g = 0，即表中的非 ， ， 所以，表中给出的解是最优解， 基变量全都 ≤ 0 ，所以，表中给出的解是最优解，但 由于有非基变量 x3 的检验数 σ3 = 0，所以，该问题 ，所以， 有无穷多个最优解。 有无穷多个最优解。 补充例题：如下表为用单纯形法计算时某一步的表格。 补充例题：如下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已 知该线性规划的目标函数为Max Z = 5x1 + 3x2，约束形式 知该线性规划的目标函数为 为松弛变量， 为 ≤，x3，x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得目标 ， 函数值 Z=10， ， （1）求表中的所有未知数 a、b、c、d、e、f、g； ） 、 、 、 、 、 ； （2）表中所给出的解是否为最优解，为什么？ ）表中所给出的解是否为最优解，为什么？
5 x1 x3 x1 2 a c d b
3 x2 0 e -1
0 x3 1 0 f
0 x4 1/5 1 g
检验数σj
为基变量，所以由表格有： 0、 解：（1）因为x1、 x3为基变量，所以由表格有：b = 0、 ：（1）因为x c = 0、d = 1、f = 0，又由于此时的目标函数值为 Z = 10， 、 、 ， ， 也就是： 也就是：0 × 2 + 5 × a = 10，由此求得：a = 2；再由求检 ，由此求得： ； 验数的公式有： 验数的公式有：-1 = 3 - （0 × 0 + 5 × e）及 g = 0 – (0 × 1/5 ） + 5 × 1 便可得：e = 4/5，g = -5。 便可得： ， 。
解: (1)
d ≥ 0 , c1 < 0 , c2 < 0 ;
(2) d ≥ 0 , c1 ≤ 0 , c2 ≤ 0 且 c1× c2 = 0 ; (3) d = 0 ; (4) d ≥ 0 , a1 ≤ 0 , c2 > 0 ; (5) c1 > 0 , c1 ≥ c2 , d /4 > 3/a3 , a3 > 0 。 书P46，第11题： ， 题 解：设由各种工序组合而生产的产品I 的数量分别为： 设由各种工序组合而生产的产品 的数量分别为： (A1, B1)→x1 , (A1, B2)→x2 , (A1, B3)→x3 , (A2, B1)→x4 , → → → → (A2, B2)→x5 , (A2, B3)→x6 ; → → 由各种工序组合而生产的产品II 的数量分别为： 由各种工序组合而生产的产品 的数量分别为：
问题1： 问题 ：如何将一般的线性规划问题化成标准型并根 据实际问题的需要列出初始单纯形表。 据实际问题的需要列出初始单纯形表。 （1）首先将原问题化成标准型，具体就是： ）首先将原问题化成标准型，具体就是： 把目标最小的化成目标为最大的形式； 把目标最小的化成目标为最大的形式； 约束条件右端的常数项均化成 ≥ 0 的常数； 的常数； 对于取值可正可负的变量， 对于取值可正可负的变量，通过令其为两个正变量 的相减， 即非负)形式 的相减，将其所有变量均化成 ≥ 0 (即非负 形式； 即非负 形式； 通过加入非负的松弛变量或非负的剩余变量把“ 通过加入非负的松弛变量或非负的剩余变量把“ ≥” 形式的不等式化成等式； 或 “≤ ”形式的不等式化成等式；
（2）由于 b = 0、 f = 0、 g = -5，此时，所有非基变量检 ） 、 、 ，此时， 验数全都小于0， 验数全都小于 ，所以表中所给出的解就是该线性规划问 题的最优解（此时还是唯一最优解）。最优解为： 题的最优解（此时还是唯一最优解）。最优解为： ）。最优解为 （x1、 x2、 x3、 x4）=（2、0，2，0） （ 、 ， ， ） 书P53，第5题： ， 题 如下表是求某极大化线性规划问题计算得到的单 纯形表。表中没有人工变量， a1、a2、a3、d、c1、c2 纯形表。表中没有人工变量， 、 为待定常数。试说明这些常数分别取何值时， 为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结 论成立。 论成立。 （1）表中解为唯一最优解； ）表中解为唯一最优解；
（4） 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变 ） 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后， 量及相应列的数字可以从单纯形表中删除， 量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算 结果； 结果； （5）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解 ） 的非负凸组合来表示； 的非负凸组合来表示；即：假设 X1、X2、…、Xn 是某线 、 性规划问题的所有基可行解，α1、α2、…、αn是一组非负 性规划问题的所有基可行解， 、 实数且
（2）表中解为最优解，但存在无穷多个最优解； ）表中解为最优解，但存在无穷多个最优解； （3）表中解为退化的可行解； ）表中解为退化的可行解； （4）该线性规划问题具有无界解； ）该线性规划问题具有无界解； （5）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为 ）表中解非最优，为对解进行改进， x1 ，换出变量为 x6 。 XB x3 x4 x6 -Z b* d 2 3 x1 4 -1 a3 c1 x2 a1 -3 -5 c2 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 x5 a2 -1 -4 -3 x6 0 0 1 0
解：原目标变成新目标： 原目标变成新目标： Max Zχ = 3x1 – 4x2 + 2x3 – 5x4 将第一个约束条件两边同乘以( 1)变成: 将第一个约束条件两边同乘以(-1)变成: 变成 -4x1 + x2 – 2x3 + x4 = 2 令 x4 = x4χ- x4δ, 在第二个约束条件中加入非负松弛 变量 x5 ，在第三个约束条件中加入非负剩余变量 x6 ，就可将原线性规划问题化成如下标准型： 就可将原线性规划问题化成如下标准型：
（2）在完成上述步骤后，根据问题的需要，适当加 ）在完成上述步骤后，根据问题的需要， 入人工变量，利用大 法列出初始单纯形表 法列出初始单纯形表。 入人工变量，利用大M法列出初始单纯形表。 举例如下： 举例如下：
Min Z = −3 x1 + 4 x2 − 2 x3 + 5 x4 4 x1 − x2 + 2 x3 − x4 = −2 x + x + 3 x − x ≤ 14 1 2 3 4 − 2 x1 + 3 x2 − x3 + 2 x4 ≥ 2 x1 , x2 , x3 ≥ 0, x4 无约束
′ ′ MaxZ ′ = 3x1 − 4x2 + 2x3 − 5x4 + 5x4′ ′ ′ − 4x1 + x2 − 2x3 + x4 − x4′ = 2 x + x + 3x − x′ + x′′ + x = 14 1 2 3 4 4 5 ′ ′ − 2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 − 2x4′ − x6 = 2 x1, x2 , x3 , x′ , x4′, x5 , x6 ≥ 0 ′ 4
α1 + α2 + … + αn = 1，则对于任何一个可行解 X ，
都有： 都有：X = α1X1 + α2X2 + … + αnXn ； （6）在运输问题中，只要给出一组含（m + n –1）个非 ）在运输问题中，只要给出一组含（ ） 负的变量{x ，满足： 负的变量 ij}，满足： ∑ xij = ai , ∑ xij = b j
j =1 i =1 n m
，就可以作为运输问题的一个初始基可行解； 就可以作为运输问题的一个初始基可行解；
（7）有产地产量和销地的销量均为整数时，用表上作业 ）有产地产量和销地的销量均为整数时， 法求得的运输问题的最优解也为整数解； 法求得的运输问题的最优解也为整数解； （8）在目标规划问题中，正偏差变量应取正值，负偏差 ）在目标规划问题中，正偏差变量应取正值， 变量应取负值； 变量应取负值； （9）若将指派问题的效率矩阵的每个元素都乘上同一个 ） 常数k（>0），将不影响最优指派方案； ），将不影响最优指派方案 常数k（>0），将不影响最优指派方案； （10）解决传统库存问题的三个步骤是：画存贮状态图， ）解决传统库存问题的三个步骤是：画存贮状态图， 建立费用函数，求经济订购批量。 建立费用函数，求经济订购批量。