4.3.2 等比数列的前n项和公式

同理,得a2=13,a1=5.
(2)∵数列
an 2n
p
为等差数列,且
an 2n
p
-
an-1 2n-1
p
=
an -2an-1-p 2n
=
2n -1-p 2n
=1-
1
2n
p
(n≥2,n
∈N*),
∴1-1 p 是与n无关的常数,∴1+p=0,即p=-1.
2n
(3)由(2)知,等差数列
a2nn-1
=2(
n
2
-1),
∴S4n=
a1(1-q4n ) 1-q
=
2( n
2-1)(1-24 ) 1- n 2
=2×15=30.
解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值,
∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1,
由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3=
a1
(1-q3 1-q
S偶 S奇
=
1 2
.
4.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍构成等比数列. (✕)
提示:当公比为-1时不成立. 5.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列. ( ✕ ) 提示:当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,从而{Sn}是递减数列,结 论错误.
即
S22n
-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵
S2n -Sn Sn
=
6-2 2
=2,∴S4n-S3n=Sn·2
3=16,∴S4n=S3n+16=30.
解题模板 通过对比四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解法二采
用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n项和的 性质,简化运算,且思路清晰.
思路点拨
思路一:设Sn=Aqn-A 由S4=1,S8=17,求出A,q 求出Sn.
思路二:将S4=1,S8=17代入Sn=
a1
(1-q 1-q
n
)
中,求出a1,q
求出Sn.
解析 解法一:由S4=1,S8=17,知q≠±1, 故设Sn=Aqn-A(A≠0,q≠±1),
∴
Aq4 Aq8
-A -A
得S3=
a1
(1-q3 1-q
)
=
2(1-q3 1-q
)
=6,
化简并整理,得(q+2)(q-1)2=0,解得q=-2.
此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8. 综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.
解题模板
1.an=a1qn-1,Sn=
a1(1-qn ) 1-q
或Sn
a1-anq 1-q
∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.
由已知得,Sn=
a1
(1-qn 1-q
)
=2①,S3n=
a1
(1-q3n 1-q
)
=14②,
② ,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,
①
由于数列{an}各项均为正数,
∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= n 2 .
∴a1=
Sn (1-q) 1-qn
2.已知数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn= a(1-an ). ( ✕ )
1-a
提示:当a=1时,Sn=n,结论不成立.
3.已知等比数列{an}的公比为 1 ,则该数列的前100项中,偶数项的和与奇数项的和
2
之比为25. ( ✕ )
提示:当等比数列的项数为2n时,
S偶 S奇
=q,所以
S偶 S奇
=q;若项数为2n+1,
则 S奇 -a1 =q.
S偶
4.当q=1时,
Sn Sm
=
n ;当q≠±1时, Sn
m
Sm
1-qn
=
1-q
m
.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
1.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3·2n-3,则该数列是等比数列. ( √ ) 提示:等比数列前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn(q≠1)的形式,所以该数列是等比数 列.
a1
(1-q 1-q
n
)
求Sn较简便;
若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn=
a1-anq 1-q
求Sn较简便.
2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个基本量,已知其中三个量就可利用通项
公式和前n项和公式求出另外两个量.
设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.
已知量 选用公式
首项、公比与项数
① na1 (q 1),
Sn=
②
a1(1-q 1-q
n
)
(q
1)
首项、末项与公比
③ na1 (q 1),
Sn= ④ a11--aqnq (q 1)
2 |等比数列前n项和公式的函数特征
1.当公比q≠1时,设A= qa-11,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型 函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.
1, 17,
两式相除并化简,得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.
当q=2时,a1=
1 15
,Sn=
1 15
(1-2n 1-2
)
=
1 15
(2n-1);
当q=-2时,a1=-
1 5
,Sn=
-
1 5
[1-(-2) 1 2
n
]
=
1 15
[(-2)n-1].
在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q. 解析 由题意得,若q=1,则S3=3a1=6,符合题意. 此时,q=1,a3=a1=2. 若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,
根据等比数列的定义和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性质,在 等比数列前n项和的有关问题中,把握好等比数列前n项和性质的使用条件,恰当 运用性质能帮助我们简化运算,快速解题.
已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 ( B ) A.80 B.30 C.26 D.16
3|与等比数列有关的数列求和
1.数列求和要先求数列的通项公式,通过观察通项公式的特点,选择合适的求和方 法.注意各求和方法的使用条件及注意事项.一般地,若{an},{bn}中一个是等差数 列,一个是等比数列,则常用错位相减法求数列{anbn}的前n项和,常用分组求和法 求数列{an±bn}的前n项和. 2.错位相减法 已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,由这两个数列中项数相同的项的 乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}的各项乘{bn} 的公比q,并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的 求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分 类讨论.
(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;
(2)若数列
an 2n
p
为等差数列,求实数p的值;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
思路点拨
(1)由an=2an-1+2n-1及a4=81,递推出a3,a2,a1的值. (2)利用等差数列的定义,求出p的值.
(3)求出an 错位相减法求Sn.
解析 (1)由an=2an-1+2n-1(n∈N*,且n≥2), 得a4=2a3+24-1=81,得a3=33,
)
=14,
即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.
∵an>0,∴q=2,∴S4=
a1
(1-q 1-q
4
)
=2×15=30.
解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由解法一知,q≠1,则S4n=
a1
(1-q 1-q
4n
)
=
a1[(1-qn ) qn (1-q3n )]
1-q
=
a1
(1-qn 1-q
思路点拨
思路一:由Sn,S3n的值,求出a1,q 求出S4n. 思路二:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q 求出S4n.
思路三:由Sn=
a1
(1-qn 1-q
)
,推出Sn,S3n与S4n的关系
求出S4n.
思路四:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列 求出S4n.
解析 解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
3 |等比数列前n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其
前n项和公式可推得Sn有如下性质:
1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.
2.当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则
qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.
由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,
∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn
)
+qn·a1(1-q3n
1-q
)
=Sn+qnS3n.
这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,
要求S4n,只需求出qn即可.
由于S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+ q2n),
的公差为1,
∴ an -1= a1-1+(n-1)=n+1,
2n 2
∴an=(n+1)·2n+1.
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n, 记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①, 则2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②,
求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等 比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则
当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1·n(a1
2
an )
;
当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn
=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,
∴ S3n =1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.
Sn
∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.
解法四:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列,且Sn=2,S3n=14,得(S2n-2)2=2×(14-S2n),
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∵q≠1,∴Sn=
a1b1 -anb1q n 1-q
+db1·q((11--qq)n2-1)
.
设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
(q≠1)两公式共有5个量.解题时,已知3个
量可求出另外2个未知量.
2.当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个
公式.所以解题时要判断q的值能不能等于1,若q不能等于1,直接应用公式;若q可
以等于1,则要进行分类讨论.
2|等比数列前n项和的性质及其应用
1|等比数列前n项和公式及其应用
1.等比数列的前n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此,当公比未知时,要 先对公比进行分类讨论,再求和.
0(a 0),
(1)若数列{an}的通项公式为an=an,则{an}的前n项和为Sn=
n(a 1),
a
(1-a
n
)
(a
0且a
1).
1-a
(2)若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn=
4.3.2 等比数列的前n项和公式
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及其证明思路. 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,会用等比数列的前n项和公式 解决与等比数列有关的问题. 3.理解等比数列前n项和公式的函数特征,应用等比数列前n项和公式的有关性质 解题.
1 |等比数列的前n项和公式
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,
解得q=2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱq=-1(舍去).
∴{an}的通项公式为an=2·2n-1=2n.
(2)Sn=
2(1-2n 1-2
)
+
n
1
n(n-1) 2
2
=2n+1+n2-2.
已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N*,且n≥2),a4=81.
1, 17,
两式相除,化简得q4=16,∴q=±2.
当q=2时,A=
1 15
,Sn=
1 15
(2n-1);
当q=-2时,A= 1 ,Sn= 1 [(-2)n-1].
15 15
解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,
由S4=1,S8=17,知q≠±1,
∴
a1(1-q4 ) 1-q
a1(1-q8 ) 1-q